雷賢卿， 李濟(jì)順， 薛玉君， 暢為航

（河南科技大學(xué)，河南 洛陽 471003）

隨著計算機(jī)技術(shù)、自動控制技術(shù)、傳感器技術(shù)、激光技術(shù)等在精密加工領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用，精密和超精密加工技術(shù)得到了極大的發(fā)展，與之相適應(yīng)的精密測量技術(shù)已成為保證產(chǎn)品質(zhì)量的關(guān)鍵技術(shù)之一，致使尋求和設(shè)計新的幾何量測量方法及形狀誤差評定算法成為精密測量技術(shù)的研究熱點。

圓度誤差是指在垂直于被測圓柱體軸線截面上的圓輪廓對其理想圓的變動量，是機(jī)械零件精度及裝配質(zhì)量的重要指標(biāo)，在評定機(jī)械零件產(chǎn)品質(zhì)量中有著重要的作用。圓度誤差評定算法一直是國內(nèi)學(xué)者的研究焦點，常采用迭代法、單純形法、遺傳算法等優(yōu)化算法評定圓度誤差[1-10]，這些優(yōu)化算法在對圓心和步長的確定時存在一定難度，而且算法較復(fù)雜。本文根據(jù)圓度誤差的定義，提出一種基于極坐標(biāo)測量數(shù)據(jù)的圓度誤差網(wǎng)格搜索算法，該算法可得到最大內(nèi)切圓法、最小外接圓法和最小區(qū)域法的圓度誤差值。

1 算法原理

2 算法步驟

（1） 用最小二乘法計算出被測圓輪廓的最 小二乘圓心極坐標(biāo)1( , )O ε α 及最小二乘圓度誤差f（圓度誤差的最小二乘法，在許多文獻(xiàn)里已 有詳細(xì)介紹，限于篇幅，本文省略）。

（2） 構(gòu)造網(wǎng)格點。如圖1 所示，以點O1(ε ,α )為圓心、以f 為半徑構(gòu)造一圓形區(qū)域，將此圓的半徑m 等分并畫出一系列同心圓，將圓周n 等分，等分點與1( , )O ε α 的連線與一系列同心圓的m n× 個交點即為構(gòu)造的網(wǎng)格點。網(wǎng)格點Oij( sij, γij)在極坐標(biāo)系的坐標(biāo)為

圖1 極坐標(biāo)網(wǎng)格搜索原理

（3） 以網(wǎng)格點 Oij(sij,γij)為圓心，按式（2）計算所有測點 Pk(ρk,θk)的半徑值 Rijk并找出此時的最大半徑 Rijmax、最小半徑 Rijmin及半徑極差ΔRij。有m × n個網(wǎng)格點就可得到m × n個最大半徑、最小半徑和半徑的極差值。

（4） 比較m n× 個最大半徑值，其最小者為最小外接圓的半徑，用符號outR 表示；此對應(yīng)網(wǎng)格點即為最小外接圓圓心，用 Ow( sw, γw)表示；與此圓圓心相對應(yīng)的最小半徑用符號 rout表示。則最小外接圓法圓度誤差值 fout為

（5） 比較m × n個最小半徑值，其最大者為最大內(nèi)接圓的半徑，用符號 rin表示，此對應(yīng)的網(wǎng)格點即為最大內(nèi)接圓圓心，用 Oc( sc, γc)表示；與此圓圓心相對應(yīng)的最大半徑，用符號 Rin表示。則最大內(nèi)接圓法圓度誤差值 fin為

（6） 比較m × n個半徑極差值，其最小者為包容被測點的兩同心圓的最小區(qū)域，與此半徑對應(yīng)的網(wǎng)格點即為最小區(qū)域圓圓心，用 Oz( sz, γz)表示。則最小區(qū)域法圓度誤差值為 fz

從以上搜索過程可以看出：該算法求出的圓度誤差與理想值之間的接近程度與等分?jǐn)?shù)m、n 有關(guān)，等分?jǐn)?shù)越大，計算結(jié)果接近理想值的程度越高。

為提高評定精度，可在步驟（2）增加等分點數(shù)或者以第一次的計算結(jié)果 fz為半徑，以O(shè)z( sz, γz)為參考點，布置間隔更小的網(wǎng)格，重復(fù)步驟（2）～步驟（6）；當(dāng)半徑極差的最小值（記為 Rmin）與半徑極差的次最小值（記為CRmin）非常接近（如小于最小二乘圓度誤差的 1%）時，可以認(rèn)為此時的最小區(qū)域法圓度誤差值已十分接近符合最小條件圓度誤差的真值，此時的最小半徑差就是最小區(qū)域法圓度誤差。

該算法的程序流程圖如圖2 所示。

圖2 極坐標(biāo)網(wǎng)格搜索流程圖

3 實驗驗證

（1） 三坐標(biāo)圓度測量

在三坐標(biāo)測量機(jī)（Brown Sharpe, Global Status574，數(shù)據(jù)采集與處理系統(tǒng)：pc-DMIS）上，測量基本尺寸為 Φ 80 × 35的軸承套圈的圓度誤差。從pc-DMIS系統(tǒng)中提取測樣點的極坐標(biāo)如表1所示，數(shù)據(jù)處理結(jié)果如表2所示，依據(jù)測量點的坐標(biāo)表1及表2中四種評定方法的圓心坐標(biāo)，計算出的圓度誤差值如表3所示。

表1 測樣點的坐標(biāo)

表2 數(shù)據(jù)處理結(jié)果

表3 計算出的圓度誤差值(mm)

（2） 圓度誤差的網(wǎng)格搜索評定

用本文提出的極坐標(biāo)網(wǎng)格搜索算法，以表2中最小二乘圓心坐標(biāo)為參考，以表3 中最小二乘法圓度誤差0.0265mm 為半徑設(shè)置圓形區(qū)域，對表1 的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到三種評定方法的圓心坐標(biāo)及圓度誤差值如表4 所示。

表4 計算出的圓心坐標(biāo)及圓度誤差(mm)

（3） 實驗結(jié)果分析

三坐標(biāo)測量機(jī)（Brown Sharpe, Global Status574，數(shù)據(jù)采集與處理系統(tǒng)：pc-DMIS）是公認(rèn)的高精密測量設(shè)備，其數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)中的圓度誤差評定結(jié)果具有權(quán)威性。

對比表4 與表3 的圓度誤差數(shù)值可以看出，同一種評定方法中，采用極坐標(biāo)網(wǎng)格搜索算法得到的圓度誤差值與三坐標(biāo)測量機(jī)上得到的數(shù)值是一致的；比較表4 和表2 中的圓心坐標(biāo)可以看出，同一種評定方法中，采用網(wǎng)格搜索算法得到的圓心坐標(biāo)與三坐標(biāo)測量機(jī)上的數(shù)值也是一致的。說明網(wǎng)格搜索算法是可以實現(xiàn)形狀誤差的精確評定的。

4 結(jié) 論

（1） 本文提出的極坐標(biāo)網(wǎng)格搜索算法，只需計算一次即可得到最大內(nèi)切圓法、最小外接圓法和最小區(qū)域法的圓度誤差，可實現(xiàn)圓度誤差極坐標(biāo)測量數(shù)據(jù)的精確處理。

（2） 使用本算法進(jìn)行圓度誤差評定時，采樣點分布是否均勻不受限制，也無需滿足所謂的小誤差和小偏差假設(shè)。只需重復(fù)調(diào)用點與點之間的距離公式即可實現(xiàn)圓度誤差的精確評定，其評定精度與網(wǎng)格點數(shù)的多少有關(guān)，劃分的點數(shù)越多，精度越高。

（3） 該算法具有通用性和較好的實用性，便于計算機(jī)編程，可在實際工程中應(yīng)用其它形位誤差的評定。

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