黃 捷，季 忠，段虎明，秦樹人

（重慶大學機械工程學院測試中心，重慶 400030）

1 引 言

模態(tài)分析是研究結構動力特性的一種近代方法，是系統(tǒng)辨別方法在工程振動領域中的重要應用。模態(tài)是機械結構的固有振動特性，每一個模態(tài)具有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型。這些模態(tài)參數(shù)可以由計算或試驗分析取得，這個分析過程稱為模態(tài)分析。如果通過模態(tài)分析方法搞清楚了結構物在某一易受影響的頻率范圍內各階主要模態(tài)的特性，就可能預言結構在此頻段內在外部或內部各種振源作用下實際振動響應。因此，模態(tài)分析是結構動態(tài)設計及設備的故障診斷的重要方法[1-5]。

2 模態(tài)分析的基本原理

工程實際中的振動系統(tǒng)都是連續(xù)彈性體，理論上它們都屬于無限多自由度的系統(tǒng)，需要用連續(xù)模型才能加以描述。但實際上通常采用簡化的方法把系統(tǒng)歸結為有限個自由度的模型來進行分析，即將系統(tǒng)抽象為由一些集中質塊和彈性元件組成的模型。如果簡化的系統(tǒng)模型中有n個集中質量，一般它便是一個n自由度的系統(tǒng)，需要n個獨立坐標來描述它們的運動，系統(tǒng)的運動方程是n個二階互相耦合（聯(lián)立）的常微分方程[6]。

一個結構的動態(tài)特性可由N階矩陣微分方程描述[2]：

式中：f（t）——N維激振力向量；

M、C、K——結構的質量、阻尼和剛度矩陣，通常為實對稱N階矩陣。

設系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，對方程式（1）兩邊進行拉普拉斯變換，可以得到以復數(shù)s為變量的矩陣代數(shù)方程：

式中 Z（s）=［M s2+Cs+K ］，反映了系統(tǒng)的動態(tài)特性，稱為系統(tǒng)動態(tài)矩陣或廣義阻抗矩陣。其逆陣:

稱為廣義導納矩陣，也就是傳遞函數(shù)矩陣。由式（2）可知：

在該式中令s=jw，即可得到系統(tǒng)在頻域中輸出（響應向量 X（ω））和輸入（激振向量 F（ω））的關系式：

式中H（ω）為頻率響應函數(shù)矩陣。H（ω）矩陣中第i行第j列的元素：

等于僅在j坐標激振（其余坐標激振力為零）時，i坐標響應與激振力之比。

在式（3）中令s=jw，可得傳遞函數(shù)矩陣：

利用實對稱矩陣的加權正交性，進行一系列公式推導，得到：

sr=σr+jνr——第r階極點，上標星號表示復共軛。

sr與 ωr、ξr的關系為：

mr、kr、cr——第r階模態(tài)質量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻尼；

φri——第r階模態(tài)振型。

相應地，將上式的頻響函數(shù)做Fourier反變換可以得到時域的脈沖響應函數(shù)表達式為：

頻響函數(shù)矩陣還可以寫成多種表達形式，分別表示幅相頻關系、實虛頻關系和矢量圖形式，依據(jù)這些表達形式可繪制出相應的特性曲線。這些曲線為實驗模態(tài)參數(shù)的識別提供依據(jù)。

實驗模態(tài)分析或模態(tài)參數(shù)識別的任務就是由一定頻段內的實測頻率響應函數(shù)數(shù)據(jù)，確定系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)——固有頻率ωr、模態(tài)阻尼比ξr和振型φr=（φr1，φr2，L，φrN）T，r=1，2，L，N（這里可以認為 N 是系統(tǒng)在測試頻段內的模態(tài)數(shù)）[7]。

3 簡支梁實驗模態(tài)分析

3.1 簡支梁的結構及實驗裝置

如圖1（a）所示為簡支梁實驗裝置圖，在圖中實驗臺上正中間是一根簡支梁，現(xiàn)在對其進行模態(tài)實驗。該簡支梁長（x向）600 mm，寬（y向）50 mm，高（z向）8mm。由于簡支梁在y、z方向尺寸和x方向（尺寸）相差較大，故可以簡化為桿件結構。圖1（b）中QLV-MA2型模態(tài)分析儀是重慶大學測試中心自主研發(fā)的一體化虛擬式模態(tài)分析儀。

圖1

3.2 簡支梁測點的布置

實驗中在x方向把梁等分成16等份，即可以布17個測點。選取拾振點時要盡量避免拾振點在模態(tài)振型的節(jié)點上，該實驗取拾振點為第6個敲擊點處，網(wǎng)格劃分圖如圖2所示。根據(jù)簡支梁的結構，在x方向順序布置若干敲擊點，并采用多點敲擊、單點定點響應方法，在z方向使用力錘進行錘擊實驗。

圖2 簡支梁測點布置圖

3.3 簡支梁頻響函數(shù)的求取

試驗模態(tài)分析主要分析結構的振動，簡單而言，就是在結構上安裝傳感器，通過對結構進行激振試驗測定激勵和響應信號，分別為f（t）和x（t），經(jīng)FFT變換后得到頻域信號F（ω）和X（ω），由此可以得到結構的頻響函數(shù)，如式（11）所示：

使用QLV-MA2型模態(tài)分析儀及圖所示的實驗裝置采集各測點各方向的激勵和響應信號。如圖3（a）所示簡支梁上激勵點編號為3，激勵方向為Z方向的時域曲線圖形（上面為沖激信號，下面為響應信號）；圖3（b）所示為該點該方向對應的頻域曲線圖形。當采集完當前測點當前方向的數(shù)據(jù)之后，根據(jù)公式（11）即可計算出該測點該方向的頻響函數(shù)。如圖3（c）所示為該點該方向的頻響函數(shù)曲線，圖3（d）所示為該測點該方向對應的相干函數(shù)曲線。

3.4 簡支梁模態(tài)參數(shù)的識別

求得各測點各方向的頻響函數(shù)之后，就根據(jù)這些頻響函數(shù)數(shù)據(jù)來確定系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)——固有頻率ωr、模態(tài)阻尼比ξr和振型φr=（φr1，φr2，L，φrN）T，r=1，2，L，N，（這里 N 可以認為是系統(tǒng)在測試頻段內的模態(tài)數(shù)）。

模態(tài)參數(shù)識別的方法有很多種。頻域模態(tài)參數(shù)識別法是目前各類模態(tài)試驗中使用最為廣泛的方法。頻域模態(tài)參數(shù)識別法中比較流行的是整體正交多項式曲線擬合法，可以勝任多種結構的模態(tài)試驗的任務。主要采用正交多項式法來識別模態(tài)參數(shù)。在QLV-MA2型模態(tài)分析儀采集部分采集完所有測點所有方向的數(shù)據(jù)并且計算完各測點各方向的頻響函數(shù)之后，下步需要進行參數(shù)擬合。在頻響函數(shù)的疊譜或者均值譜的狀態(tài)下，可以通過單點或者整體按鈕來進行單點曲線擬合或者整體曲線擬合。

如圖4（a）所示為簡支梁頻響函數(shù)的幅值譜陣，圖4（b）所示為為簡支梁頻響函數(shù)的幅值疊譜（Y軸為dB坐標模式），圖4（c）所示為簡支梁頻響函數(shù)的幅值頻譜的均值譜陣。通過圖4（b）或者圖4（c）可以明顯的看出有4階模態(tài)，選定峰值和擬合區(qū)間的疊加頻譜圖如圖 4（d）所示。

3.5 簡支梁模態(tài)輸出

在使用整體有理正交多項式方法對簡支梁進行模態(tài)參數(shù)識別之后，就可以進行模態(tài)參數(shù)輸出、模態(tài)振型的演示以及模態(tài)驗證。這部分的工作在QLV-MA2型模態(tài)分析儀的輸出部分完成。該簡支梁的前4階振型如圖5所示，模態(tài)參數(shù)識別結果參數(shù)如表1所示。

表1中QLV-MA2列表示是使用重慶大學測試中心的QLV-MA2型虛擬式模態(tài)分析儀計算的結果，DASP列表示是使用東方振動噪聲研究所的DASP模態(tài)分析軟件計算的結果，可見兩者精度上沒有什么差別，分析計算結果與理論結果不符（偏小）的原因應該是加速度傳感器附加在簡支梁上面，相當于給簡支梁增加了附加質量，所以計算出的固有模態(tài)就應該偏小。

圖5 簡支梁第1到4階模態(tài)振型曲線

表1 簡支梁的模態(tài)參數(shù)

4 摩托車車架實驗模態(tài)分析

4.1 摩托車車架結構及測點布置

如圖6所示為摩托車車架結構。該框架是一個摩托車的主干框架結構，將其上的所有附件拆除以后，使用柔軟的彈簧懸掛，近似作為自由狀態(tài)進行模態(tài)實驗分析。

圖6 摩托車車架結構

該車架為一個形狀較復雜的結構，長約為1.2m，寬約為0.35 m，高約為0.5 m，其主干件為圓筒形鋼管。根據(jù)該摩托車車架的具體尺寸對其進行單元劃分和結點布置，根據(jù)其截面相對大小，在其上布置34個測點，以梁單元（桿單元）為主，夾雜一些三角形單元和四邊形單元。具體的單元格劃分和測試點的布置如圖7所示?？紤]到數(shù)據(jù)采集量比較大，為了實驗進度，僅對Y軸（垂直方向）和Z軸（水平寬度方向）方向的部分結點進行了測量。采用定點響應（響應測試點為測點7的Y軸方向），力錘移步敲擊所有其他測試點的Y軸方向或者Z軸方向，進行數(shù)據(jù)采集。

4.2 摩托車車架頻響函數(shù)求取及模態(tài)參數(shù)識別

在完成所有34個測點的數(shù)據(jù)采集以后，就可以使用這些數(shù)據(jù)進行頻響函數(shù)的估計。如圖8所示為測點7方向Y的時域和頻域曲線。根據(jù)式（11）來求取所有測點和所有方向的頻響函數(shù)。

在完成頻響函數(shù)的計算之后，需要進行參數(shù)擬合。在頻響函數(shù)的疊譜或均值譜的狀態(tài)下，可通過單點或整體來進行曲線擬合。計算結果頻響函數(shù)的幅值均值譜陣如圖9（a）所示，圖9（b）為定階后的幅值均值譜曲線。

4.3 摩托車車架結構模態(tài)輸出

根據(jù)圖9（b）進行擬合區(qū)間和峰值確定以后，應用整體有理正交多項式模態(tài)參數(shù)識別方法，對該車架結構的模態(tài)參數(shù)進行識別。識別結果振型如圖10所示。該車架結構的模態(tài)參數(shù)實驗識別結果和計算模態(tài)參數(shù)結果如表2所示。

表2中QLV-MA2列表示使用重慶大學測試中心的虛擬式模態(tài)分析儀的測試分析結果。從各階的模態(tài)參數(shù)和各階振型可以看出，實驗數(shù)據(jù)通過QLV-MA2軟件識別結果與結構本身的振動情況基本上是一致的，這樣的計算結果達到一般工程測量和計算的要求。

表2 車架結構的模態(tài)參數(shù)

5 結束語

通過對簡支梁和摩托車車架的實驗模態(tài)分析結果表明，模態(tài)分析方法通過QLV-MA2型一體化模態(tài)分析儀在機械結構中的應用是有效可行的。從實驗結果的模態(tài)振型上看，QLV-MA2型一體化虛擬式模態(tài)分析儀識別的結果，與結構本身的振動情況是一致的；與其他的商業(yè)模態(tài)軟件的結果比較，精度上沒有大的差別。從實驗結果的模態(tài)參數(shù)上看，基本與使用有限元仿真計算結果存在著比較小的誤差，但是總體上是一致的。顯然，這樣的計算結果已經(jīng)達到一般工程測量和計算的要求。

[1]曹樹謙，張文德.振動結構模態(tài)分析——理論、實驗與應用[M].天津：天津大學出版社，2001.

[2] 李德葆，陸秋海.實驗模態(tài)分析及其應用[M].北京：科學出版社，2001.

[3]Heylen W，Lammens S，Sas P.實驗模態(tài)分析理論與試驗[M].白化同，郭繼忠譯.北京：北京理工大學出版社，2001.

[4] 傅志方，華宏星.模態(tài)分析理論與應用[M].上海：上海交通大學出版社，2000.

[5] 傅志方，華宏星.模態(tài)分析的概念和發(fā)展歷史[EB/01].http：//dengyuehua.blogchina.com/dengyuehua1973/4790467.html，2006-04-02.

[6] 張 策.機械動力學[M].北京：高等教育出版社，2008.

[7]段虎明.實驗模態(tài)分析的前端信號精度研究及虛擬式模態(tài)分析儀的研制[D].重慶：重慶大學，2008.