袁漢欽 黃 濤 徐 路

(海軍駐景德鎮(zhèn)地區(qū)航空軍事代表室 景德鎮(zhèn) 333001)

1 引言

傳統(tǒng)的直升機(jī)高度表采用FF T的算法來(lái)估計(jì)差頻信號(hào)的瞬時(shí)頻率,進(jìn)而計(jì)算距離。這種方法在較低信噪比的情況下已經(jīng)無(wú)法準(zhǔn)確的定距。因此我們需要在FFT前濾出噪聲的干擾,而采用FIR濾波器實(shí)現(xiàn)去噪的問(wèn)題是:在不同的飛行條件下,目標(biāo)信號(hào)頻譜會(huì)有很大差異,為了兼顧各種極限飛行姿勢(shì),減少目標(biāo)信號(hào)損失,不得不增大濾波器帶寬,其后果必然是損失信噪比增益,而用差頻信號(hào)探測(cè)目標(biāo)的調(diào)頻接收機(jī)對(duì)噪聲的存在具有很高的敏感性,這就需要一種精度更高的去噪算法,鑒于此我們選擇目前廣泛應(yīng)用的小波變換系數(shù)閾值去噪的方法對(duì)差頻信號(hào)進(jìn)行去噪處理[1]。

2 小波去噪原理及實(shí)現(xiàn)

小波閾值去噪法是一種非線性去噪方法,在最小均方誤差意義下可達(dá)近似最優(yōu),并且可取得較好的視覺(jué)效果,因而得到了深入的研究和廣泛的應(yīng)用。其基本原理是:正交小波變換具有很強(qiáng)的去數(shù)據(jù)相關(guān)性,它能夠使信號(hào)的能量在小波域集中在一些大的有限的系數(shù)中,而噪聲的能量卻分布于整個(gè)小波域內(nèi),因此,經(jīng)小波分解后,信號(hào)的小波變換系數(shù)要大于噪聲的小波變換系數(shù),即可以認(rèn)為幅值比較大的小波系數(shù)一般以信號(hào)為主,而幅值較小的系數(shù)在很大程度上是噪聲。于是可以找到一個(gè)合適的閾值,小波系數(shù)大于閾值的認(rèn)為其是由信號(hào)控制的,而小于閾值的小波系數(shù)則由噪聲控制,從而可以對(duì)由噪聲引起的小波系數(shù)進(jìn)行萎縮來(lái)去除噪聲[2]。

假設(shè)觀察信號(hào)為

式(1)中,s(n)是有用的信號(hào),u(n)是噪聲序列。假定u(n)是零均值且服從高斯分布的隨機(jī)序列,即服從 N:(0,)分布。對(duì)式(1)做小波變換,有

即兩個(gè)信號(hào)和的小波變化等于各個(gè)信號(hào)小波變換的和。再令u(n)是零均值,獨(dú)立同分布的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào),記u=(u(0)u(1)…u(N-1))T,顯然

式中,E{?}代表求均值運(yùn)算,Q是u的協(xié)方差對(duì)角矩陣。

令W是小波變換矩陣,對(duì)于正交小波變換,它是正交陣。分別令x和s是對(duì)應(yīng)x(n)和s(n)的向量,向量X、S和U 分別是x(n)、s(n)和 u(n)的小波變換,即

由此,可得到一個(gè)重要的結(jié)論:平穩(wěn)白噪聲的正交小波變換仍然是平穩(wěn)的白噪聲。由該結(jié)論可知,對(duì)于式(1)的加性噪聲模型,經(jīng)正交小波變換后,最大程度的去除了s(n)的相關(guān)性,其能量將集中在少數(shù)的小波系數(shù)上。但是,噪聲u(n)經(jīng)正交小波變換后仍然是白噪聲,因此,其小波系數(shù)仍然是互不相關(guān)的,他們將分布在各個(gè)尺度下的所有時(shí)間軸上。這一結(jié)論就為抑制噪聲提供了理論依據(jù),即在小波變換的各個(gè)尺度下保留那些模極大值點(diǎn),將其他點(diǎn)置零,或是最大程度的減小,然后利用處理后的小波系數(shù)做小波反變換,即可達(dá)到抑制噪聲的目的[3]。

去噪過(guò)程可以按以下方法進(jìn)行處理:首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分解,以三層分解為例(如圖1),則噪聲部分通常包含在 CD1、CD2、CD3中,再對(duì)分解以后的小波系數(shù)選取合適的閾值進(jìn)行處理,然后用處理以后的小波系數(shù)重構(gòu)信號(hào),這樣就可以達(dá)到去噪的目的。

圖1 信號(hào)小波去噪的一般過(guò)程

1)小波分解。確定小波分解的層數(shù) N,對(duì)信號(hào)進(jìn)行N層小波分解。

2)小波分解高頻系數(shù)的閾值量化。對(duì)第1到第N層的每一層高頻系數(shù),選擇一個(gè)閾值進(jìn)行閾值量化處理。

3)小波重構(gòu)。根據(jù)小波分解的第N層的低頻系數(shù)和經(jīng)過(guò)量化處理后的第1層到第N層的高頻系數(shù),進(jìn)行信號(hào)的小波重構(gòu)。

在這三步中,關(guān)鍵的就是如何選取閾值和如何進(jìn)行閾值的量化。閾值過(guò)高,則會(huì)將信號(hào)分量也當(dāng)作噪聲濾掉,丟失的信號(hào)信息太多;如果閾值太小,又會(huì)使得濾波效果不好,噪聲的成分過(guò)多,不利于對(duì)信號(hào)的分析。從某種程度上來(lái)說(shuō),它直接關(guān)系到信號(hào)去噪的質(zhì)量。

小波閾值萎縮去噪中,閾值函數(shù)體現(xiàn)了對(duì)超過(guò)和低于閾值的小波系數(shù)模的不同處理策略以及不同估計(jì)方法。設(shè)為原始小波系數(shù),為估計(jì)小波系數(shù),λ是閾值。

3 閾值函數(shù)的選取

1)常用的閾值函數(shù):

(1)硬閾值

當(dāng)小波系數(shù)的絕對(duì)值小于給定的閾值時(shí),令其為零;而大于閾值時(shí),則令其保持不變,即

(2)軟閾值

當(dāng)小波系數(shù)的絕對(duì)值小于給定的閾值時(shí),令其為零;大于閾值時(shí),令其都減去閾值,即

2)改進(jìn)的幾種閾值函數(shù)

硬閾值和軟閾值方法雖然在實(shí)際中得到廣泛的應(yīng)用,也取得了較好效果,但該方法本身存在一些潛在的缺陷。在硬閾值方法中,在λ和-λ處是不連續(xù)的,利用重構(gòu)所得的信號(hào)可能會(huì)出現(xiàn)振鈴、偽吉布斯效應(yīng)等失真。由于軟閾值方法估計(jì)出來(lái)的雖然整體連續(xù)性好,會(huì)使去噪效果相對(duì)平滑得多,但是當(dāng)||≥λ時(shí)與ωj,k總存在恒定的偏差,直接影響重構(gòu)信號(hào)與真實(shí)信號(hào)的逼近程度,勢(shì)必會(huì)給重構(gòu)信號(hào)帶來(lái)不可避免的誤差;此外,軟閾值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不連續(xù),而在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常要對(duì)一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行處理,所以軟閾值函數(shù)具有一定的局限性。鑒于此,我們需要對(duì)經(jīng)典的軟、硬閾值函數(shù)進(jìn)行改進(jìn),構(gòu)造出更好的閾值函數(shù)[4]。常見(jiàn)的幾種改進(jìn)方案有:

特別地,當(dāng)α分別是0和1時(shí),上式即成為硬閾值和軟閾值估計(jì)方法。對(duì)于一般的0≤α≤1來(lái)講,該方法估計(jì)出來(lái)的數(shù)據(jù)的大小介于軟、硬閾值方法之間,故稱之為軟、硬閾值折中法。

該方法的思路很簡(jiǎn)單,也很通俗,但其去噪效果很好。由于單純的軟閾值方法估計(jì)出來(lái)的,在||≥λ時(shí),其絕對(duì)值總比 ωj,k要小,因此要設(shè)法減小此偏差;但若把這種偏差減小為零(硬閾值情況)也未必是最好的,因?yàn)?ωj,k本身就是由uj,k和vj,k組成的,它可能由于 vj,k的影響而使|ωj,k|＞|uj,k|(對(duì)于大多數(shù)的ωj,k來(lái)講),而我們的目的是使‖-uj,k‖盡可能小,因此,令||的取值介于|ωj,k|-λ與|ωj,k|之間可能會(huì)使估計(jì)出來(lái)的小波系數(shù)更接近于uj,k?；谶@一思想,我們?cè)陂撝倒烙?jì)中加入α因子,在0與1之間適當(dāng)調(diào)整α的大小,可以獲得更好的去噪效果[5]。

(2)模平方處理法

先考慮ωj,k＞0的情形,然后把結(jié)論推廣到 ωj,k＜0的情況。在軟閾值估計(jì)方法中,當(dāng)ωj,k＞0時(shí),式(8)等價(jià)于

如果把ωj,k/λ看成一個(gè)整體,則式(10)的實(shí)際含義為:當(dāng) ωj,k/λ≥1時(shí),ωj,k被認(rèn)為主要是由信號(hào)所對(duì)應(yīng)的小波系數(shù),予以保留;否則,ωj,k被認(rèn)為主要是由噪聲引起的,應(yīng)當(dāng)消除。該模型雖然與軟閾值模型完全等價(jià)的,但可以從中得到一些啟示,比如,可以取

即先對(duì)ωj,k/λ進(jìn)行平方處理,使得每一個(gè)系數(shù)與1的偏離程度增大,這樣可以促使信噪分離,然后再對(duì)其做軟閾值處理,最后平方得到。

以上討論的是 ωj,k＞0時(shí)的情形,對(duì)于一般情況,有

(3)指數(shù)型閾值函數(shù)

其中N為任意正常數(shù)。

指數(shù)型閾值函數(shù)不但同軟閾值函數(shù)一樣具有連續(xù)性,而且當(dāng)|ωj,k|≥λ時(shí)是高階可導(dǎo)的,便于進(jìn)行各種數(shù)學(xué)處理。指數(shù)型閾值函數(shù)以=ωj,k為漸近線 ,隨著 ωj,k的增大逐漸接近 ωj,k,克服了軟閾值函數(shù)中與ωj,k之間存在恒定偏差的缺點(diǎn)。當(dāng) N→∞時(shí),式(14)為軟閾值函數(shù);當(dāng) N →0時(shí),式(14)為硬闕值函數(shù)?？梢?jiàn),指數(shù)型閾值函數(shù)是介于軟、硬閾值函數(shù)之間的一個(gè)靈活選擇,可以通過(guò) N的取值變化,得到使用有效的閾值函數(shù)[6]。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了實(shí)現(xiàn)小波變換在對(duì)差頻信號(hào)進(jìn)行去噪聲方面的應(yīng)用,本文在MATLAB7.1環(huán)境下進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。假設(shè)信號(hào)為信噪比10dB的差頻信號(hào),截取的信號(hào)時(shí)間為4s,采樣點(diǎn)為4000個(gè)點(diǎn),采用的小波基為sym4小波,分解層數(shù)為4層,閾值λ采用每個(gè)尺度可變的 δ(2logN)1/2/log(j+1),其中,j為分解尺度,N為信號(hào)長(zhǎng)度,各種消噪方法得到的信噪比和均方根誤差如表1所示。

軟、硬閾值折中法、模平方處理法等三種改進(jìn)的閾值處理法去噪的效果都要明顯好于傳統(tǒng)的軟、硬閾值法。其中,模平方處理法略勝于軟、硬閾值折中法;指數(shù)型閾值法的去噪效果較上述幾種方法都要好[7]。

如圖7所示,我們對(duì)信噪比為0dB、規(guī)則區(qū)頻率為3Hz的差頻信號(hào)作FFT,得到了它的頻譜,我們可以看到信號(hào)的譜線已經(jīng)湮沒(méi)在噪聲譜線中了,對(duì)去噪后的差頻信號(hào)進(jìn)行FFT,得到如圖8所示頻譜,從圖中我們可以看出能較準(zhǔn)確的測(cè)出差頻信號(hào)的瞬時(shí)頻率[8]。

表1 各種方法的信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE)

5 結(jié)語(yǔ)

本文初步討論了小波變換在直升機(jī)高度表信號(hào)去噪處理中的應(yīng)用,對(duì)常用的五種小波閾值選擇規(guī)則進(jìn)行了詳細(xì)討論和仿真試驗(yàn),從而得出用指數(shù)型閾值法對(duì)差頻信號(hào)進(jìn)行去噪能取得更好效果的結(jié)論。

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