摘 要:線性規(guī)劃在生活的各個方面都有應(yīng)用，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法.而在數(shù)學(xué)問題中，線性規(guī)劃也有與其他知識點之間的聯(lián)系，比如與不等式、概率等問題的聯(lián)系，本文用幾個例子來簡要敘述一下應(yīng)用線性規(guī)劃來解決概率的一類問題。

關(guān)鍵詞:線性規(guī)劃 概率

線性規(guī)劃是運籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個重要分支，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法.在經(jīng)濟管理、交通運輸、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等經(jīng)濟活動中，提高經(jīng)濟效果是人們不可缺少的要求，而提高經(jīng)濟效果一般通過兩種途徑:一是技術(shù)方面的改進(jìn)，例如改善生產(chǎn)工藝，使用新設(shè)備和新型原材料.二是生產(chǎn)組織與計劃的改進(jìn)，即合理安排人力物力資源.線性規(guī)劃所研究的是:在一定條件下，合理安排人力物力等資源，使經(jīng)濟效果達(dá)到最好.一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域.決

策變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)是線性規(guī)劃的三要素.而此類問題在課本中已經(jīng)有了很多體現(xiàn)，在此筆者不再贅述.本文中，筆者想敘述線性規(guī)劃應(yīng)用的一種情況，就是用線性規(guī)劃的方法解決一類概率問題.此類概率問題一般是幾何概率的問題.

請看下面兩例:

例1.甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時即可離去.求兩人能會面的概率.

稍加分析我們不難發(fā)現(xiàn)，本題中顯然不是一個變量，而是兩個變量，即甲、乙各自到達(dá)約會地點的時間，所以可以假設(shè)兩個變量.那么可以在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)用x軸表示甲到達(dá)約會地點的時間，y軸表示乙到達(dá)約會地點的時間，用0分到60分表示6時到7時的時間段，則橫軸0到60與縱軸0到60的正方形中任一點的坐標(biāo)(x，y)就表示甲、乙兩人分別在6時到7時時間段內(nèi)到達(dá)的時間.而能會面的時間由x-y≤15

所對應(yīng)的圖中陰影部分表示.

反思說明:

(1)三角形三邊長度都是在0到l之間，故每一對結(jié)果對應(yīng)三條邊長，分別用x，y軸上的數(shù)表示，則每一個結(jié)果(x，y)就對應(yīng)于圖中三角形內(nèi)的任一點;

(2)找出事件A發(fā)生的條件，并把它在圖中的區(qū)域找出來分別計算面積即可;

(3)本題的難點是把三條邊長分別用x，y兩個坐標(biāo)分別表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點(x，y)，從而把邊長是一段長度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形中的線性規(guī)劃問題，轉(zhuǎn)化成面積為測度的幾何概型的問題.

但是對于類似問題我們一定要注意是否是以面積為測度的概率問題，有些仍然是古典概率，如下例:

例3.如下圖，從某學(xué)校高三年級共800名男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組:第一組[155，160)、第二組[160，165)、……第八組[190，195)，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列.若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為x、y，求滿足x-y≤5的事件概率.

所以上面的解法顯然是錯誤的，問題出在哪兒呢?主要是人的個數(shù)不是連續(xù)的，而是只能取自然數(shù)，所以本題并非幾何概率，而是古典概型的概率問題.正確的解法為:

我們研究數(shù)學(xué)問題，除了縱向的、深入的研究問題以外，還應(yīng)該注重各知識點的橫向聯(lián)系，此例就是橫向的將兩個知識點——線性規(guī)劃與概率相結(jié)合，要注意此類問題的解決方法.

作者單位:江蘇省南京市玄武區(qū)第九中學(xué)震旦校區(qū)