在學習如何解含絕對值不等式時，有的同學被各種各樣的方法弄得頭暈腦轉(zhuǎn)，解含絕對值不等式的基本思路是去掉絕對值符號，使不等式變?yōu)椴缓^對值符號的一般不等式，而后，其解法與一般不等式的解法相同。因此掌握去掉絕對值符號的方法和途徑是解題關鍵。下面就總結(jié)了一些常見的不等式的解法:

一、六類絕對值不等式的解法

1.形如f(x)a(aR)型不等式

此類不等式的簡捷解法是等價命題法，即:

①當a>0時，f(x)af(x)>a或f(x)<-a;

②當a=0時，f(x)af(x)≠0

③當a<0時，f(x)af(x)有意義。

例1 解以下不等式:

(1)2x2-3>5(2)3≤8-x-x2

(3)-1≥-2 (4)<-1

解略

2.形如f(x)

此類不等式的簡捷解法是利用平方法，即:

f(x)

例2 解不等式x-1>2x+3。解略

3.形如f(x)g(x)型不等式

這類不等式的簡捷解法是等價命題法，即:

①f(x)

②f(x)>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)

例3 解下列不等式:(1)x+1>2-x

解:(1)原不等式等價x+1>2-x或x+1<-(2-x)

解得x>或無解，所以原不等式的解集是{x|x>｝。

4.形如aa>0)型不等式

此類不解等式的簡捷解法是利用等價命題法，即:

aa>0)a

例4 解不等式3<2x-3<5。解略。

5.形如f(x)f(x)型不等式

此類題的簡捷解法是利用絕對值的定義，即:

f(x)

f(x)>f(x)f(x)<0。

例5 解不等式>。解略。

6.形如f(x)+g(x)h(x)型不等式

此類題的簡捷解法是利用等價命題法轉(zhuǎn)化，即:

f(x)+g(x)

f(x)+g(x)>h(x)f(x)+g(x)>h(x)或f(x)-g(x)>h(x)

例6 解不等式x+2+x-2<12。解略。

二、幾點注意事項

1.根據(jù)絕對值的定義，x>c(c>0)轉(zhuǎn)化為兩個不等式，這兩個不等式的關系是“或”而不是“且”，因而原不等式的解集是這兩個不等式解的并集，而不是交集。

2.xc(c>0)的解集公式要牢記，以后可以直接作為公式使用。但要注意的是，這兩個公式是在c>0時導出的，當c≤0時，須另行討論，不能使用此公式。

3.解不等式問題與集合運算有著緊密的聯(lián)系，在應用與集合有關內(nèi)容處理絕對值不等式的過程中，要注意在不等式組的解集中，對不等式端點值的取舍情況。另外，因為已學習了集合表示法，所以不等式的解集要用集合形式盡量不使用不等式的形式。

4.解含有絕對值的不等式的關鍵是把含絕對值符號的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值符號的不等式，然后再求解，但這種轉(zhuǎn)化必須是等價轉(zhuǎn)化，尤其是在用平方法去掉絕對值符號時，一定要注意兩邊非負這一條件(若兩邊都非正，平方后改變不等式方向)，否則就會擴大或縮小解集的范圍。

5.要學會靈活運用分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化與化歸思想方法來處理絕對值不等式的問題。

三、典型例題

例1 關于x的不等式kx-1≤5的解集為{x|-3≤x≤2｝，求k的值。

思維點撥 按絕對值定義直接去掉絕對值符號后，由于k值的不確定，要以k的不同取值分類處理。

解 原不等式可化為-4≤kx≤6。

當k>0時，進一步化為-≤x≤，依題意有-=-3，=2，k=，k=3。此時無解。

當k=0時，顯然不滿足題意。

當k<0時，≤x≤-，依題意有-=2，=-3，k=-2。

綜上所述，k=-2。

例2 解不等式x-1

思維點撥 由于兩邊均為非負數(shù)，因此可以兩邊平方去掉絕對值符號。

解 由于x-1≥0，x+a≥0，所以兩邊平方后有:

x-12

即有x2-2x+11-a2。

當2a+2>0即a>-1時，不等式的解為x>(1-a);

當2a+2=0即a=-1時，不等式無解;

當2a+2<0即a<-1時，不等式的解為x<(1-a)?！?作者單位:江西省南昌縣蓮塘第二中學)

□責任編輯:周瑜芽