課例:海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭;卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋，下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表:

(1)選用一個(gè)函數(shù)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，給出整點(diǎn)時(shí)的水深近似數(shù)值(精確到0.001)。

(2)一個(gè)貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙(船底與洋底的距離)，該船何時(shí)能進(jìn)入港口?在港口能呆多久?

(3)若某船的吃水深度為4米，安全間隙為5米，該船在2:00開(kāi)始卸貨，吃水深度以每小時(shí)間0.3米的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域?(本例選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))教科書(shū)必修四，1.6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用例4第62頁(yè))?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》下面簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》。從課本的比例可以折射出《標(biāo)準(zhǔn)》的以下特點(diǎn)。

一、問(wèn)題的表述形式新穎

《標(biāo)準(zhǔn)》在“綜合能力”方面，首次明確指出“發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力”。

獨(dú)立獲取知識(shí)的能力就是懂得如何學(xué)習(xí)，如何獨(dú)立思考，如何通過(guò)多種不同途徑獲得信息，并實(shí)際運(yùn)用這些方法獲取知識(shí)的能力。隨著知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代的到來(lái)知識(shí)更新周期的日益縮短，一個(gè)人在學(xué)校學(xué)習(xí)期間所能獲取的知識(shí)顯得更加有限，更多的是要在走出校門以后通過(guò)自己不斷地學(xué)習(xí)、研究去獲取。即使在學(xué)校學(xué)習(xí)期間，許多知識(shí)也要靠自己去理解、掌握。所以，從某種意義上說(shuō)，發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力是學(xué)校教育最重要的目標(biāo)之一。因此，為了使學(xué)生能夠適應(yīng)迅速發(fā)展的社會(huì)和終身學(xué)習(xí)的要求，數(shù)學(xué)教育要重視培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立獲取知識(shí)的能力。

這道例題以文字說(shuō)明式的情境語(yǔ)言而非數(shù)學(xué)語(yǔ)言呈現(xiàn)給學(xué)生，使學(xué)生在弄清問(wèn)題背景知識(shí)的前提下，經(jīng)歷數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)譯工作，然后進(jìn)入數(shù)學(xué)解題過(guò)程。這也是新的數(shù)學(xué)課程將不再首先強(qiáng)調(diào)是否向?qū)W生提供了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而是更為關(guān)注是否向?qū)W生提供了具有現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要結(jié)果也不再只是會(huì)解多少“規(guī)范”的數(shù)學(xué)題，而是能否從現(xiàn)實(shí)背景中“看到”數(shù)學(xué)，能否應(yīng)用數(shù)學(xué)去思考和解決問(wèn)題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)基本要求，但是不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，否則會(huì)將生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)淹沒(méi)在形式化的海洋里，通過(guò)這道題的學(xué)習(xí)，學(xué)生受到了把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的訓(xùn)練，培養(yǎng)了學(xué)生從實(shí)際生活中提出數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)F(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化的能力，與《標(biāo)準(zhǔn)》獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力相符合。

二、問(wèn)題設(shè)置層次分明

從第(1)問(wèn)中看《標(biāo)準(zhǔn)》首次提出的過(guò)程性目標(biāo)。

作為《標(biāo)準(zhǔn)》中的一種新目標(biāo)類型，過(guò)程性目標(biāo)就是對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程本身提出的要求。根據(jù)新的課程理念和課程改革的要求，《標(biāo)準(zhǔn)》首次把過(guò)程性目標(biāo)納入到數(shù)學(xué)課程目標(biāo)體系中。提出:“通過(guò)不同形式的自主學(xué)習(xí)，探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程”;對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和作出判斷等。過(guò)程性目標(biāo)的提出，表明了《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)本身的空前重視。其實(shí)，從某種角度看，學(xué)習(xí)過(guò)程甚至比學(xué)習(xí)結(jié)果更重要。輕視過(guò)程，那么學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中將會(huì)失去許多東西。比如說(shuō)，經(jīng)歷過(guò)程往往會(huì)帶給學(xué)生探索的體驗(yàn)，創(chuàng)新的嘗試，意志的磨煉和情感的陶冶等等，這些都是單純強(qiáng)調(diào)結(jié)果所不能得到的，因此，過(guò)程性目標(biāo)的設(shè)立必將有力地推動(dòng)教學(xué)重點(diǎn)的轉(zhuǎn)移，為學(xué)生的全面發(fā)展提供保障。

(1)問(wèn)中“選用一個(gè)函數(shù)近似描述港口水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系”，加大問(wèn)題的開(kāi)放力度，為后面教師組織學(xué)生進(jìn)行討論與交流創(chuàng)設(shè)必要的條件。此問(wèn)題在學(xué)生剛學(xué)完三角函數(shù)，較差的同學(xué)可能會(huì)擬合出“三角函數(shù)”并就此結(jié)束，而較好的學(xué)生也許在擬合出“三角函數(shù)”外還會(huì)思考其他的函數(shù)模型，如折線段等，這樣必然會(huì)引起學(xué)生與自己同佯以及老師的爭(zhēng)辯，進(jìn)而通過(guò)合作學(xué)習(xí)最終認(rèn)識(shí)到“三角函數(shù)”是最符合現(xiàn)實(shí)情況的。這一爭(zhēng)辯為真正培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)提供了可能。對(duì)提高學(xué)生的探究欲望和探究意識(shí)，加強(qiáng)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)實(shí)踐中尋找、發(fā)現(xiàn)、修正數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力提供了有利條件。

三、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值

認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值。

數(shù)學(xué)是探索自然現(xiàn)象，社會(huì)現(xiàn)象基本規(guī)律的工具和語(yǔ)言。數(shù)學(xué)不僅是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，而且在人類社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)課程中，讓學(xué)生親身經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，了解數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，了解數(shù)學(xué)在推動(dòng)科學(xué)技術(shù)進(jìn)步和社會(huì)發(fā)展中的巨大作用，不僅可以拓展學(xué)生的視野，使他們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀，而且還可以發(fā)展他們的應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

由于學(xué)生在物理課上已經(jīng)學(xué)過(guò)浮力的知識(shí)，知道船只要在一定的水深下運(yùn)行，在地理課上接觸過(guò)潮汐潮落的自然現(xiàn)象。當(dāng)然沿海地區(qū)的學(xué)生對(duì)此現(xiàn)象更加熟悉，而且三角函數(shù)的知識(shí)剛剛學(xué)過(guò)，因此學(xué)生在潛意識(shí)上對(duì)這個(gè)例題是接受的，也即該題是建立在學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的。

四、為教師轉(zhuǎn)變教學(xué)方式提供了機(jī)會(huì)和舞臺(tái)

由于舊教材的一些例題不是很難，就是繁、偏、舊，而且遠(yuǎn)離生活實(shí)際，與學(xué)生的感情交流沒(méi)有很好的切入點(diǎn)，學(xué)生根本提不出問(wèn)題，該例題來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活，學(xué)生也相對(duì)熟悉，因此他們就有發(fā)言的欲望，這就給教師與學(xué)生提供了對(duì)話的機(jī)會(huì)，通過(guò)師生互動(dòng)，教師可以有效地組織、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論、交流，為教師轉(zhuǎn)變教學(xué)方式提供了機(jī)會(huì)和舞臺(tái)。

五、為學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式提供了條件

《標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)開(kāi)展多樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還可以通過(guò)各種不同形式的自主探索學(xué)習(xí)、合作交流活動(dòng)，讓學(xué)生親身體驗(yàn)到如何“做數(shù)學(xué)”，如何實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)”的“再創(chuàng)造”，并從中感受到數(shù)學(xué)的力量，促進(jìn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。心理學(xué)研究表明:太容易的題學(xué)生無(wú)興趣，太難的題學(xué)生覺(jué)得無(wú)望，會(huì)自動(dòng)放棄，故如何提供給學(xué)生好的例題是一個(gè)難點(diǎn)，由于該題中(2)(3)問(wèn)學(xué)生覺(jué)得有一定難度，而且由于考慮總是和觀察角度不同可能會(huì)產(chǎn)生不同的答案，而這些則恰好為學(xué)生的自主探索、合作講座創(chuàng)造了有利的問(wèn)題情境。

六、有利于全面評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)

由于該例題為學(xué)生與教師互相學(xué)習(xí)、實(shí)現(xiàn)對(duì)話、自主學(xué)習(xí)、合作交流提供了機(jī)會(huì)，解答過(guò)程是一個(gè)操作過(guò)程、活動(dòng)過(guò)程，通過(guò)對(duì)這個(gè)例題的學(xué)習(xí)，能清楚看出每個(gè)學(xué)生與他人合作情況及使用交流中所處的地位，能看出每個(gè)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，這就為全面評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程提供了一個(gè)機(jī)會(huì)。

七、有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)

《標(biāo)準(zhǔn)》把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)作為其目標(biāo)之一，在教學(xué)中不僅要突出知識(shí)的來(lái)龍去脈，還要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實(shí)踐的空間，促進(jìn)學(xué)生和實(shí)踐過(guò)程中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的直覺(jué)猜想、歸納抽象、數(shù)學(xué)地提出、分析、解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，使其上升為一種意識(shí)，自覺(jué)地對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式作出思考和判斷，通過(guò)描繪散點(diǎn)圖構(gòu)建三角函數(shù)模型，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會(huì)三角函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象的重要模型，在解答問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)到從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法去觀察生活、分析自然現(xiàn)象、解決實(shí)際問(wèn)題的策略，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)原來(lái)就來(lái)自身邊的現(xiàn)實(shí)世界，是認(rèn)識(shí)和解決我們生活和工作中問(wèn)題的有力武器，同時(shí)也獲得了進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的切身體驗(yàn)和能力，增進(jìn)了他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。

作者單位:貴州省雷山民族中學(xué)