王星博，李本威，陳定海，浦 鵬

（1.海軍航空工程學院 a.飛行器工程系，山東 煙臺 264001；b.青島分院，山東 青島 266041；2.91423 部隊，遼寧 大連 116000）

成敗型航空產(chǎn)品可靠性增長試驗抽樣數(shù)的研究是可靠性增長試驗規(guī)劃的一個重要方面。1992年，美國國防部科學顧問Seglie E.A教授在一篇武器系統(tǒng)研究報告中首次提出成敗型產(chǎn)品的可靠性增長試驗問題[1]。此后，這一問題引起許多學者的關(guān)注，紛紛開始進行相關(guān)研究。1996年Mu-Yeh Huang提出了MYOPIC可靠性增長試驗規(guī)劃模型[2-3]。受他的啟發(fā)，其他學者發(fā)展了不同的序慣決策模型。1997年和2003年Gaver D.P.教授以導彈研制試驗為例，從消除產(chǎn)品失效模式角度提出和發(fā)展了一種Max-Min模型，并建立Bayes分析方法，得到產(chǎn)品研制試驗的最佳試驗量[4]。

國內(nèi)對這一問題研究較少。國防科大劉飛等針對固體火箭發(fā)動機開展了成敗型產(chǎn)品可靠性增長試驗規(guī)劃研究，引入了Max-Min模型，取得了良好效果[5]。

本文從航空發(fā)動機部件系統(tǒng)性缺陷數(shù)角度結(jié)合試驗數(shù)據(jù)的分析處理建立數(shù)學模型，在初始故障數(shù)分別服從二項分布、泊松分布、幾何分布的條件下，通過理論推導給出帶樣本最大似然估計值反饋循環(huán)修正的可靠性增長試驗數(shù)最小化最大準則，為成敗型部件可靠性增長試驗抽樣數(shù)的確定提供了一種工程實用方法。

1 數(shù)學模型

對成敗型航空發(fā)動機部件，作以下模型描述：產(chǎn)品總數(shù)為n；初始系統(tǒng)性缺陷數(shù)為F0；其導致的失效率均為p0；通過可靠性增長試驗發(fā)現(xiàn)這些缺陷。若試驗失敗，則查找導致失敗的故障模式，改進設(shè)計，盡可能地在以后的產(chǎn)品中消除此類故障。研究的問題為如何合理的選擇試驗抽樣數(shù)t，使余下的(n ? t)個產(chǎn)品成功數(shù)期望值最大[6]。

2 初始最小化最大停止準則

若原始設(shè)計生產(chǎn)n個產(chǎn)品，不做可靠性增長試驗，此時該批產(chǎn)品的成功數(shù) R0服從成功率為的二項分布，即則條件期望為

如果隨機抽取t個產(chǎn)品樣本進行可靠性增長試驗，其中一些失效，通過確定故障模式和設(shè)計改進，從剩余產(chǎn)品中消除部分上述故障模式，使導致失敗的系統(tǒng)性缺陷數(shù)變?yōu)閠F。此時，剩余產(chǎn)品成功數(shù)期望為

任一次抽樣試驗中，各種故障模式可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，其出現(xiàn)概率為p0，假設(shè)出現(xiàn)了某種故障模式，通過改進設(shè)計成功消除的概率為b，則t次試驗后任一故障模式仍然存在的概率為(1 ? bp0)t，則 Ft關(guān)于 F0的條件分布為二項分布

由條件概率的性質(zhì)可得t次試驗后剩余產(chǎn)品成功數(shù)的期望值為

因此，只要知道 F0的分布特征（函數(shù)），就可求得 E[Rt]。

取初始系統(tǒng)性缺陷數(shù) F0的分布律為P{F0}，若所有參數(shù)已知或可估計，則由式(4)可得到最佳試驗量 t0=t0opt(n)，使剩余產(chǎn)品成功數(shù)期望值最大。實際應(yīng)用過程中，初始參數(shù) p0值不易確定，為消除E [Rt]與 p0的相關(guān)性，令 dE [Rt]dp0=0，求出 p0，使 E [Rt]取得最小值 Emin[Rt]。然后，基于可靠性增長的原則應(yīng)選取使 Emin[Rt]最大的試驗量，記為t0，這就是Max-Min準則。

本文在初始系統(tǒng)性缺陷數(shù) F0符合不同的離散分布時，推導出了Max-Min準則的表達式，如表1所示（推導過程略）。

表1 0F 不同分布條件下的最小化最大準則表達式

3 逐次抽樣樣本估計值反饋修正方法

F0為部件初始系統(tǒng)性缺陷數(shù)，為離散分布的正整數(shù)，F(xiàn)t也是如此，但目標值 E [Rt]卻不一定是整數(shù)，它只是剩余產(chǎn)品成功數(shù)期望大小的度量。同樣，我們也可將 F0定義為連續(xù)的隨機變量來衡量系統(tǒng)性缺陷的多少。實際上，航空發(fā)動機部件結(jié)構(gòu)的復雜性使系統(tǒng)性缺陷多樣化，有的缺陷用整數(shù)來度量往往無法準確界定，用實數(shù)描述更為合理。

若初始系統(tǒng)性缺陷數(shù) F0的概率密度為f0(x),x≥0，其含有的參數(shù)為θ1、θ2、…、θk（k ∈ N）。此時，Emin[Rt]值只與n、θ1、θ2、…、θk（k∈ N）和t 有關(guān)，消除了 p0對初始試驗量選擇的影響。

初始參數(shù) θ1、θ2、…、θk（k ∈ N）可由專家信息和相似系統(tǒng)試驗出現(xiàn)的系統(tǒng)性故障數(shù)目統(tǒng)計得到，記為此時，我們可以按照初步求得的t0為實驗量進行抽樣試驗。

對每一個產(chǎn)品的測試，只有成敗兩種結(jié)果，將其作為同分布的隨機變量Xi（i=1,2,…,t0），定義：

則可得：

式中：E[F0]為初始系統(tǒng)性缺陷數(shù)的數(shù)學期望，為θ1、θ2、…、θk的函數(shù)。

構(gòu)造似然函數(shù)

或?qū)?shù)似然函數(shù)

分別令

或者

解上述由k +1個方程組成的方程組，即可得到各參數(shù) θj（j=1,2,…,k）及 p0的最大似然估計值（對結(jié)構(gòu)復雜的似然函數(shù)可由不同數(shù)值計算法由計算機求得極大似然估計）。由初步試驗數(shù)據(jù)得的估計參數(shù)顯然比先驗參數(shù)及 p0更加可靠，因此，用這些估計參數(shù)代替原來的先驗參數(shù)。

采用Max-Min準則求得使 E [Rt]值最大的t值，記為t1。如 t1=0，則停止試驗，最佳抽樣數(shù)取值為t0；如 t1≥ 1，說明前述的抽樣不夠，應(yīng)追加試驗。

接下來規(guī)劃可靠性增長試驗時，為保證最高效的抽樣數(shù)量，采用的方式是每做一次抽樣試驗，充分利用樣本信息進行初始值的反饋修正，最大程度上確?？煽啃栽鲩L的目標。

再次抽樣試驗的結(jié)果記為Xt0+1，與上次抽樣結(jié)果一起構(gòu)造新的似然函數(shù)，由式(5)～(7)求得新的參數(shù)估計值此時，剩余產(chǎn)品系統(tǒng)性缺陷數(shù)為

剩余部件產(chǎn)品數(shù)量為n ?(t0+1)。

成功數(shù)期望

再次求使 E [Rt]最大的t值，記為t2。

重復上述步驟，直到 tM+1=0，停止試驗。

則總共進行了 M + t0次抽樣試驗，這就是我們尋找的最佳試驗量，最終剩余產(chǎn)品數(shù)為n? (M + t0)，系統(tǒng)性缺陷數(shù)為：

剩余部件產(chǎn)品成功數(shù)期望值為

4 實例分析

研制生產(chǎn)的某航空發(fā)動機部件數(shù)n=100個，隨機抽取部分樣品用于可靠性增長試驗，初始系統(tǒng)性缺陷數(shù)服從區(qū)間在(0,m)上的均勻分布，由歷史數(shù)據(jù)和專家信息初步確定先驗分布參數(shù)m=10，期望

由式(4)得

將上述參數(shù)代入計算，得

按 t0=12抽樣，試驗結(jié)果如表2所示：

表2 t0=12時可靠性增長試驗結(jié)果

由式(6)、(7)構(gòu)造最大似然函數(shù)，解得各參數(shù)的極大似然估計值。由式(8)解得 t1=4，應(yīng)繼續(xù)逐次抽樣試驗，將試驗結(jié)果構(gòu)造新的似然函數(shù)，進行新的參數(shù)估計。按本文的反饋修正方法進行試驗和計算，結(jié)果如表3所示。

表3 可靠性增長試驗結(jié)果

根據(jù)計算，不進行增長試驗，該批產(chǎn)品的系統(tǒng)性故障模式數(shù)期望為5，由式(4)可求得產(chǎn)品總體可靠度期望為71.44%；按照Max-Min準則進行可靠性增長試驗，抽樣數(shù)為12，剩余系統(tǒng)性故障模式數(shù)期望為3.003 5，由式(8)可求得剩余產(chǎn)品可靠度期望為86.44%。由表3可見，經(jīng)過試驗的產(chǎn)品可靠性得到較大程度的提高。采用本文所提出的抽樣反饋修正方法進行可靠性增長試驗，抽樣共分三階段，抽樣數(shù)分別為12、1、1，總數(shù)為14，剩余產(chǎn)品數(shù)為86，由式(10)可求得系統(tǒng)性故障模式數(shù)期望為2.631 9，剩余產(chǎn)品成功數(shù)期望為72.643 7，可靠度期望為84.47%?？梢姡ㄟ^試驗的追加，故障模式數(shù)進一步減少，但剩余產(chǎn)品可靠度期望也有所降低，這并不能說明隨著試驗的進行，可靠性呈現(xiàn)負增長，而是因為此前的參數(shù)存在偏差，導致對產(chǎn)品的期望過于樂觀。采用本文的分階段抽樣反饋修正方法更加可信和穩(wěn)健。

5 結(jié)語

本文對航空發(fā)動機部件可靠性增長試驗量的確定問題進行了初步研究。以剩余產(chǎn)品成功數(shù)期望值最大為目標函數(shù)推導了幾種典型離散故障數(shù)分布情況下的Max-Min準則，首次提出一種反饋修正方法，得到最佳試驗量；采用上述方法對某發(fā)動機部件進行了可靠性增長試驗，效果明顯。由于模型假設(shè)針對部件產(chǎn)品的總體，不涉及其復雜的內(nèi)部構(gòu)造和子系統(tǒng)，因此，該方法具有較強的適應(yīng)性，在工程中也可用于各種成敗型或現(xiàn)場不可修產(chǎn)品可靠性增長試驗量的確定問題。

但是，如果試驗前對產(chǎn)品性能水平無法把握，缺乏合理的先驗信息時，采用不同的分布類型及參數(shù)初始值，對過程中參數(shù)估值的影響和由此產(chǎn)生的偏差問題不容忽視，尤其是抽樣數(shù)過少時，較少的樣本信息可能無法修正較大的先驗值偏差，這些問題還有待進一步研究。

[1]SEGLIE E.How much testing is enough[R]//Paper Presented at the “Workshop on Statistical Issues in Defense Analysis and Testing” Sponsored by the National Research Council.Washington,D.C.,1992.

[2]HUANG MU-YEH,Douglas McBeth,Stephen B.Vardeman.Development test results[J].IEEE Transactions on Reliability,1995,3(45):189-198.

[3]HUANG MU-YEH.Design of developmental test programs for one-shot systems with two state reliability[D].Lowa State University,1995.

[4]GAVER D P,JACOBS P A.Probability models for sequential-stage system reliability growth via failure mode removal[J].International Journal of Reliability,Quality and Safety Engineering,2003,10(1):15-40.

[5]劉飛.固體火箭發(fā)動機可靠性增長試驗理論及應(yīng)用研究[D].長沙:國防科技大學,2006.

[6]劉飛,竇毅芳,張為華,等.固體火箭發(fā)動機可靠性增長試驗規(guī)劃初步研究[J].戰(zhàn)術(shù)導彈技術(shù),2007(6):1-3.