汪興上

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽蕪湖241000)

本文研究了局部對(duì)稱共形平坦Lorentz流形中2-調(diào)和類空超曲面，得到

定理1 設(shè)Mn是局部對(duì)稱共形平坦Lorentz流形中2-調(diào)和緊致類空超曲面，且具有常平均曲率，以S代表其第二基本形式模長(zhǎng)的平方，K表示的數(shù)量曲率的Ricci曲率滿足r≤εAKAA≤R，則成立如下的積分不等式

其中H為Mn的平均曲率。

1 準(zhǔn)備工作

本文約定各類指標(biāo)的取值范圍如下

{ωA}為聯(lián)絡(luò)1-形式，將這些形式限制在Mn上，有

其中Rijkl表示Mn的曲率張量R的分量，hij為其第二基本形式h的分量，其共變導(dǎo)數(shù)hijk，hijkl定義如下:

則Codazzi方程和Ricci恒等式分別為

其中:εi=1，εn+1=-1。

限制在Mn上有

又Mn上Kn+1ijk的共變導(dǎo)數(shù)為Kn+1ijkl，即

從而

引理1[4]Mn是中2-調(diào)和類空超曲面，則

2 定理1的證明

由(10)和(11)得

利用(16)經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算，得

下面估計(jì)(22)式中的各項(xiàng)，由(17)得

令hij=λiδij，則選取適當(dāng)?shù)幕沟胔ij=λiδij

(26)式證明如下

最后，利用引理1和(10)，將引理1的第一式改寫為

將此式兩端關(guān)于指標(biāo)i求共變導(dǎo)數(shù)，并關(guān)于i求和，得

調(diào)整指標(biāo)，結(jié)合引理1的第二式，可得

其中ω定義在Mn上的1-形式

因?yàn)镸n具有常平均曲率，得

由(17)式，得

從而有(22)-(32)，有

由于Mn是緊致的，將(33)兩端積分，利用Green散度定理，即得定理1的證明。

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