魏艷華，徐長(zhǎng)偉，王丙參

(1.天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 天水 741001;2.中原工學(xué)院 理學(xué)院,河南 鄭州450007)

近年來(lái)，隨著人們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的不斷觀(guān)察和研究，條件數(shù)學(xué)期望已經(jīng)被廣泛的利用到日常生活中.隨著研究的深入，條件數(shù)學(xué)期望在計(jì)算科學(xué)、生物、統(tǒng)計(jì)、物理、工程、運(yùn)籌、經(jīng)濟(jì)管理和金融領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用，并取得了很好的效果，尤其值得注意的是條件期望在最優(yōu)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[1-3].現(xiàn)代概率論總是從講述條件期望開(kāi)始，這是因?yàn)橐詼y(cè)度論為基礎(chǔ)的條件期望是鞅論的基礎(chǔ)，也是嚴(yán)格陳述現(xiàn)代概率論必不可少的基本概念[4].鑒于此，本文研究了條件期望性質(zhì)及與Radon-Nikodym定理的關(guān)系，舉例分析了它在預(yù)測(cè)實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.

1 條件期望

設(shè)(Ω,F,P)為完備的概率空間，A,B∈F稱(chēng)為事件，如果P(B)>0，則稱(chēng)P(A|B)=P(AB)P(B)為在事件B發(fā)生條件下的條件概率，條件概率P(·|B)也是可測(cè)空間(Ω,F)上的概率測(cè)度[5].我們稱(chēng)E(ξ|B)=∫ΩξdP(ω|B)為ξ關(guān)于條件概率P(·|B)的條件期望，易證:E(ξ|B)=1P(B)∫BξdP.

當(dāng)σ代數(shù)G=σ(Bn,n≥1)其中{Bn∶n≥}是Ω的一個(gè)可測(cè)分割，則

E(ξ|G)=∑∞n=11P(Bn)∫BnξdP·IBn(ω).

進(jìn)一步推廣就是下面條件期望的定義.

定義1[1]設(shè)(Ω,F,P)為概率空間，G是F的子σ代數(shù)，ξ為數(shù)學(xué)期望存在的隨機(jī)變量，一個(gè)G可測(cè)隨機(jī)變量η如果滿(mǎn)足∶?A∈G，∫AηdP∫AξdP，則稱(chēng)η為ξ關(guān)于G的數(shù)學(xué)期望，當(dāng)ξ=IA(ω)，A∈F則稱(chēng)E(ξ|G)為A關(guān)于G的條件概率，記為P(A|G).

Radon-Nikodym定理保證了上述條件期望的存在.事實(shí)上:?A∈G，v(A)?∫AξdP是G上的符號(hào)測(cè)度，且關(guān)于P絕對(duì)連續(xù).由Radon-Nikodym定理可知存在Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)η=dvdP，于是，

?A∈G,∫AηdP=v(A)=∫AξdP.

條件期望E(ξ|G)實(shí)際上是隨機(jī)變量ξ在G的每個(gè)可測(cè)子集上按概率測(cè)度的平均，特別當(dāng)G=σ(η)，η為隨機(jī)變量，記E(ξ|G)=E(ξ|η).若取G=σ({A})，A∈F則E(ξ|G)=aIA+bIAc，其中a,b分別為ξ在A(yíng)和Ac上的均值，這表明E(ξ|G)是對(duì)ξ的某種局部修平，修平的效果隨G的增大而減弱.若G={Ω,?}，則E(ξ|G)=Eξ，ξ被徹底修平；若增大G?σ(ξ)，則E(ξ|G)=ξ，此時(shí)修平作用消失.顯然易見(jiàn)，條件期望是幾乎處處確定的，因此有關(guān)條件期望的性質(zhì)也是a.s成立的.注意在概率空間情形，a.s收斂總蘊(yùn)含依概率收斂.當(dāng)P[E(ξ+|G)]=∞,E[(ξ-|G)=∞]=0時(shí)，稱(chēng)E[ξ|G]=E[ξ+|G]-E[ξ-|G]為ξ關(guān)于G的廣義條件期望，約定∞-∞=0.顯然當(dāng)Eξ存在時(shí)，廣義條件期望就是條件期望.

定理1[4]條件期望具有下面的性質(zhì):

(1)E(aξ+bη|G)=aE(ξ|G)+bE(η|G)，其中a,b∈R，且假定E(aξ+bη|G)存在；

(2)E[E(ξ|G)]=E(ξ)；

(3)如果ξ為G可測(cè)，則E(ξ|G)=ξ；

(4)如果ξ與σ代數(shù)G獨(dú)立，則E(ξ|G)=E(ξ)；

(5)如果G1是σ代數(shù)G的子σ代數(shù)，則E[(E(ξ|G))|G1]=E(ξ|G1)；

(6)(Jensen不等式)如果f是R上的下凸函數(shù)，則f(E(ξ|G))=E(f(ξ)|G)；

2 條件期望在預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

定理2 設(shè)Y是(Ω,F,P)上的任一r.v，EY2<∞，D是F的一個(gè)子σ代數(shù)，則對(duì)每個(gè)D上可測(cè)函數(shù)Z(EZ2)<∞有

E[(Y-Z)2]≥E[(Y-E(Y|D))2]

(1)

式中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)Z=E(Y|D),a.s時(shí)成立.

證明 因?yàn)镋|(Z-E(Y|D)|<∞，是D可測(cè)的，故有

E[(Z-E(Y|D))(Y-E(Y|D))|D]=
(Z-E(Y|D))E[Y-E(Y|D)|D]=0,a.s
E(Y-Z)2=E[(Y-E(Y|D))2]+
E[(Z-E(Y|D))2]-
2E[(Z-E(Y|D))(Y-E(Y|D))]=
E[(Y-E(Y|D))2]+E[(Z-E(Y|D))2].

這就證明了(1)式成立的充分必要條件是E[(Z-E(Y|D))2]=0即Z=E(Y|D),a.s

推論1 若EY2<∞，則VarY≥Var[E(Y|D)]，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)Y=E(Y|D),a.s時(shí)成立.

如果Z=g(X)，D=σ(X),則(1)式變?yōu)镋[(Y-g(X))2]≥E[(Y-E(Y|X))2]，等號(hào)成立的充分必要條件為Y=E(Y|X),a.s.

條件均值E[Y|X]的危險(xiǎn)性小于Y，這一結(jié)論是Rao-Blackwell定理的理論基礎(chǔ)，意思是如果Y是某個(gè)參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，則E[Y|X]是一個(gè)更好的無(wú)偏估計(jì)，這里假定E[Y|X]是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，即不含未知參數(shù)[4].在事件X=x上的，Y的條件分布的概率質(zhì)量堆積于條件均值E[Y|X=x]附近，使得發(fā)散程度變低，因而是一個(gè)更好的估計(jì)量.

在最小二乘(均方)意義下，已知D的條件下,E(Y|D),a.s是Y的最佳預(yù)測(cè).通常當(dāng)觀(guān)察到D={X=x}時(shí)，E(Y|x)是一切對(duì)Y的估計(jì)值中均方誤差最小的一個(gè)，則稱(chēng)之為Y關(guān)于X的回歸.特別當(dāng)X=(X1,…,Xn)，D=σ(X)則在Rn→R的一切可測(cè)函數(shù)g中，在最小二乘意義下，E(Y|X1,…,Xn)是Y的最佳預(yù)測(cè)[6].

例1 設(shè)X=(X1,X2)服從n元正態(tài)分布N(a,B)，這里X1,X2是一個(gè)子向量，EX1=a1，EX2=a2，B=(B11B12

B21B22)，B11,B22分別是X1,X2的協(xié)方差矩陣，B12則是X1與X2的相應(yīng)分量構(gòu)成的協(xié)方差矩陣.我們做線(xiàn)性變化

(Y1,Y2)=(X1,X2)(I-B-111B12
0I)
EY1=EX1=a,VarY1=VarX1=B11
EY2=a2-a1B-111B12VarY2=
E(Y2-EY2)′(Y2-EY2)=B22-B21B-111B12

又因?yàn)镋(Y1-EY1)′(Y2-EY2)=0，即Y1,Y2相互獨(dú)立，變換的Jacobi行列式為1，所以fX(x1,x2)=fY(Y1,Y2)=fY1(y1)fY2(y2)，這里，y1=x1,y2=-x1B-111B12+x2，顯然fX1(x1)=fY1(y1)，因此在X1=x1條件下，X2的條件密度

f(x2|x1)=fX(x1,x2)fX1(x1)=fY1(y1)fY2(y2)fY1(y1)=
fY2(y2)=fY2(-x1B-111B12+x2).

因?yàn)閅2～N(a2-a1B-111B12,B22-B21B-111B12)，所以在X1=x1條件下，X2的條件分布是N(a2+(x1-a1)B-111B12,B22-B21B-111B12)，E(X2|X1=x1)=a2+(x1-a1)B-111B12稱(chēng)為X2關(guān)于X1的回歸.顯然它是x1的線(xiàn)性函數(shù)，所以在正態(tài)分布場(chǎng)合最佳預(yù)測(cè)是線(xiàn)性預(yù)測(cè).

例2 設(shè)到達(dá)某車(chē)站的顧客數(shù)為參數(shù)是λ的泊松流,求在時(shí)間間隔(0,t]中，所有到達(dá)顧客等待的時(shí)間和的平均值.如果每分鐘有5個(gè)顧客到達(dá)該車(chē)站,每10分鐘有一列車(chē)通過(guò)該車(chē)站，求一天(24小時(shí))在該車(chē)站由于等待乘車(chē)而浪費(fèi)的平均時(shí)間和.設(shè)X(t)表示在(0,t]內(nèi)到達(dá)車(chē)站的顧客數(shù)，則{X(t),t≥0}為參數(shù)為λ的泊松過(guò)程.Wj是第j個(gè)顧客到達(dá)的時(shí)刻，ηj是第j個(gè)顧客的等待時(shí)間，則

ηj=t-Wj.

E[∑X(t)j=1(t-Wj)]=
∑∞n=1E[∑X(t)j=1(t-Wj)|X(t)=n]P(X(t)=n)=
∑∞n=1[nt-E(∑X(t)j=1Wj)]P(X(t)=n)=
[t-t2]E[X(t)]=λt22

因?yàn)棣?5人/分鐘，所以一天(24小時(shí))顧客由于等車(chē)而浪費(fèi)的平均時(shí)間和為:5×1022×6010×24=36000(分鐘).由上可知，如果增加車(chē)次，顧客浪費(fèi)的時(shí)間少，但是車(chē)次增加，費(fèi)用必然增加,滿(mǎn)載率將減少，也會(huì)造成浪費(fèi).而如何確定車(chē)次，使時(shí)間、金錢(qián)的浪費(fèi)最小，這是運(yùn)籌學(xué)所要研究的優(yōu)化問(wèn)題.通過(guò)“均方誤差最小”可以解決一系列的預(yù)測(cè)問(wèn)題，在當(dāng)前的社會(huì)，經(jīng)濟(jì)發(fā)展是重要問(wèn)題.通過(guò)條件期望可以預(yù)測(cè)小至一個(gè)公司的日常運(yùn)作，大至世界經(jīng)濟(jì)的發(fā)展方向，并且可以根據(jù)它所做出的預(yù)測(cè)做出相應(yīng)的決策.所以，條件數(shù)學(xué)期望的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用將會(huì)越來(lái)越為人們所關(guān)注.

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