陳守煜

(大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部,遼寧 大連 116023)

0 引 言

1965年札德提出模糊集合概念[1]是對康托普通集合論的重要突破,在數(shù)學(xué)思維上有重要科學(xué)意義。但札德模糊集是靜態(tài)理論,難以描述模糊現(xiàn)象、事物、概念的動態(tài)可變性,存在研究理論與研究對象相悖的理論缺陷。1983年Atanassov提出札德模糊集定義的一個推廣概念直覺模糊集[2],它同樣是靜態(tài)概念。筆者在20世紀(jì)90年代提出以動態(tài)模糊概念相對隸屬函數(shù)為基礎(chǔ)的系統(tǒng)模糊決策理論[3-4]、工程模糊集理論[5],并于21世紀(jì)伊始創(chuàng)建可變模糊集[6-15],首次給出長期沒有解決用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定理表達唯物辯證法哲學(xué)規(guī)律的三大定理[16],是對札德靜態(tài)模糊集概念、哲學(xué)規(guī)律數(shù)學(xué)化與數(shù)學(xué)思維辯證化的重要突破。

數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的工具,當(dāng)然它也應(yīng)是哲學(xué)的工具。馬克斯有句名言:一種科學(xué)只有在成功地運用數(shù)學(xué)時,才算達到了真正完善的地步。自2005年筆者創(chuàng)建可變模糊集至今的5 a時間內(nèi),已經(jīng)能夠用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定理表示三大規(guī)律:對立統(tǒng)一、質(zhì)量互變與否定的否定規(guī)律,對應(yīng)的數(shù)學(xué)定理稱為對立統(tǒng)一、質(zhì)量互變與否定的否定定理,是數(shù)學(xué)應(yīng)用于哲學(xué)的范例,對哲學(xué)數(shù)學(xué)化與數(shù)學(xué)思維辯證化均有重要科學(xué)意義。

本文根據(jù)可變模糊集導(dǎo)出的唯物辯證法三大規(guī)律數(shù)學(xué)定理,提出工程科學(xué)領(lǐng)域廣泛存在的多指標(biāo)、多級別、具有級別指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間值綜合評判問題的系統(tǒng)評價理論、模型與方法。它們是可變模糊集理論三大數(shù)學(xué)定理應(yīng)用于工程科學(xué)領(lǐng)域的重要內(nèi)容。由于唯物辯證法三大規(guī)律是自然界、社會、人類思維的普遍規(guī)律,因此表示三大規(guī)律的數(shù)學(xué)定理具有極為廣寬的應(yīng)用前景,本文提出的系統(tǒng)評價理論、模型與方法,只是其中的冰山一角,但它開啟了在系統(tǒng)領(lǐng)域應(yīng)用的先河,有重要的理論與實際意義。

1 基于可變模糊集的對立統(tǒng)一、質(zhì)量互變與否定的否定定理簡介[16]

1.1 對立模糊集定義

設(shè)論域U中的任意元素u的對立模糊概念(事物、現(xiàn)象)或u對立的基本模糊屬性,以A與Ac表示。在參考連續(xù)統(tǒng)[5]區(qū)間 [1、0](對A)與[0、1](對Ac)的任一點上,對立模糊屬性的相對隸屬度分別為μA(u)、μAc(u),且:

令

圖1 對立模糊集與對立統(tǒng)一定理示意圖Fig.1 Sketch map of opposite fuzzy sets and theorem of opposites and unity

1.2 對立統(tǒng)一定理

或?qū)α⒔y(tǒng)一矛盾性質(zhì)的漸變式轉(zhuǎn)化點,如圖1所示。

設(shè)

圖2 相對差異函數(shù)示意圖Fig.2 Sketch map of relative difference function

相對差異函數(shù)表示了參考連續(xù)統(tǒng)數(shù)軸上任意一點μA(u)與μAc(u)的相對差值,即對立模糊概念或?qū)α⒒灸：龑傩猿潭鹊牟町?。D(u)=0的pm點表示了對立雙方或?qū)α⒒灸：龑傩赃_到動態(tài)平衡即漸變式質(zhì)變點;D(u)=1、-1的pl、pr點表示了對立雙方達到突變式質(zhì)變點。

1.3 質(zhì)量互變定理

設(shè)D(u)為論域U中任一元素u對A的相對差異函數(shù),對u作變換C,變換前D(u)≠0,變換后的對立相對隸屬函數(shù)與相對差異函數(shù)分別為與

1.3.1 如有不等式

則為漸變式質(zhì)變。

1.3.2 如有等式則為突變式質(zhì)變。

1.3.3 如有等式

則變化至動態(tài)平衡點,或漸變式質(zhì)變的臨界點,系統(tǒng)處于動態(tài)平衡狀態(tài)。

1.3.4 如有不等式

則為量變。

漸變式質(zhì)變不等式(5)、突變式質(zhì)變等式(6)與漸變式質(zhì)變點等式 (7)稱為質(zhì)變定理,量變不等式(8)稱為量變定理,兩者統(tǒng)稱為質(zhì)量互變定理。

1.4 否定的否定定理

由圖2可見,D(u)從1變化到-1為一個周期,設(shè)有c個變化周期。

若變化為兩個周期(c=2),變化后終了狀態(tài)在pl點(Acc)即否定的否定,有D(C(u))= 1,則

若變化為c個周期,變化后終了狀態(tài)在pr或pl點,即c次否定 (Ac?c)。則有:

當(dāng)c=2時,對應(yīng)于唯物辯證法哲學(xué)中否定的否定規(guī)律。故否定的否定定理可表示為:

2 系統(tǒng)評價理論與模型

設(shè)系統(tǒng)待評對象 u,根據(jù)已知的多個級別 h (h=1,2,…,c。c為級別總數(shù),相當(dāng)于c次否定定理式(9)),多個指標(biāo)i(i=1,2,…,m,m為評價指數(shù)總數(shù))的指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間矩陣:

或

進行評價。式中aih、bih分別為級別h指標(biāo)i標(biāo)準(zhǔn)值區(qū)間的上、下限值。式(11)相當(dāng)于越小越優(yōu)型指標(biāo),aih＜bih,式 (12)相當(dāng)于越大越優(yōu)型指標(biāo),。應(yīng)當(dāng)指出,為了系統(tǒng)評價的簡便,區(qū)間上、下限值的定義與數(shù)學(xué)中區(qū)間定義略有區(qū)別。

根據(jù)對立統(tǒng)一定理,系統(tǒng)評價基本原理是:在已知級別h指標(biāo)i特征值的相對差異度等于1矩陣:

的條件下,位于Dih與Di(h+1)的指標(biāo)特征值ui,對級別h與(h+1)構(gòu)成相對的對立模糊概念,根據(jù)對立統(tǒng)一定理有

式中μh(ui)、μh+1(ui)分別表示待評對象u指標(biāo)i對級別h與(h+1)的相對隸屬度。

設(shè)待評對象u指標(biāo)i的特征值ui落入h與 (h +1)級相對差異度為1的D矩陣的區(qū)間 [Dih, Di(h+1)]內(nèi),則ui對h級的相對隸屬度可簡化為:

應(yīng)用式(14)、式(15)可以計算待評對象u指標(biāo)i的特征值對級別h與h+1的相對隸屬度。根據(jù)文獻 [14]Dih與aih、bih的關(guān)系式可以為:

系統(tǒng)是多指標(biāo)綜合評價問題,設(shè)已知指標(biāo)權(quán)重向量為:

待評對象u對級別h的多指標(biāo)i=1,2,…, m綜合相對隸屬度以表示,根據(jù)文獻[16],可以為:

公式(18)滿足對立統(tǒng)一定理與質(zhì)量互變定理[16],用于計算確定待評對象u對級別h多指標(biāo)i的綜合相對隸屬度。

若采用距離參數(shù)p=1即海明距離,式(18)變?yōu)?

式(19)是一個線性公式。如果系統(tǒng)綜合評價為非線性系統(tǒng),可采用 p=2即歐氏距離,式(18)變?yōu)?/p>

這是一個非線性公式。因此綜合評價模型(18),只要改變距離參數(shù)p,既可用于線性系統(tǒng)評價,也可用于非線性系統(tǒng)評價,這是可變模糊集理論的一個特點或優(yōu)點。

3 實 例

為了比較與分析的方便,引用文獻 [17]中的部分實例:綜合評價寶雞市 (u)地下水資源承載能力A。評價指標(biāo)體系應(yīng)用文獻 [18]為:

1)地下水耕地灌溉率(地下水資源灌溉面積與耕地面積之比)u1/%;

2)地下水利用率 (現(xiàn)狀年地下水供水量與可利用地下水資源總量之比)u2/%;

3)地下水開發(fā)利用程度 (現(xiàn)狀年地下水供水量與地下水資源總量之比)u3/%;

4)供水模數(shù) (地下水資源年供給量與土地面積之比)u4/(104m3/km2);

5)需水模數(shù)(現(xiàn)狀年需水量與土地面積之比) u5/(104m3/km2);

6)重復(fù)利用率(重復(fù)用水量與總用水量之比) u6/%;

7)單位地下水人口負(fù)荷 (總?cè)丝跀?shù)量與地下水年供給量之比)u7/(人/103m3);

8)生態(tài)環(huán)境需水負(fù)荷(生態(tài)環(huán)境用水量與總水量之比)u8/%。表1給出了寶雞市指標(biāo)值以及地下水資源承載力分級標(biāo)準(zhǔn)[17]。

表1 寶雞市指標(biāo)值與指標(biāo)分級標(biāo)準(zhǔn)T able 1 Index values and index classification standard in Baoji

為了比較,采用文獻 [17]指標(biāo)權(quán)向量

應(yīng)用提出的系統(tǒng)評價方法給出具體計算步驟如下:

1)確定級別h的指標(biāo)i相對差異度為1的Dih矩陣。

應(yīng)用公式 (16)與表1中的分級標(biāo)準(zhǔn)值,計算得到矩陣:

由表1可知u1=16.17,指標(biāo)(1)落入指標(biāo)相對差異度等于1的矩陣D的1、2級之間,即落入?yún)^(qū)間應(yīng)用公式[15],i=1,h=1,得0.933,由對立統(tǒng)一定理公式 (14)μ12(u1)= 0.067。根據(jù)u1未落入＜h、＞(h+1)級,顯然＜h、＞(h+1)級的指標(biāo)相對隸屬度為0,即()=0。則得指標(biāo)(1)的相對隸屬度向量為:

類似地,得到寶雞市8項指標(biāo)對3個級別的相對隸屬度矩陣:

2)計算寶雞市級別特征值。

應(yīng)用綜合相對隸屬度公式 (18),為了與文獻[17]進行比較,取p=1(海明距離)。根據(jù)上面矩陣得到歸一化向量

計算級別特征值[5]

即寶雞市地下水資源承載力在1級與2級之間。

根據(jù)矩陣D,寶雞市8項評價指標(biāo)有4項在1級,1項在3級,1項在1～2級,2項在2～3級,因此綜合評價該市地下水資源承載力為1級與2級之間符合實際情況。

4 論集對分析及其評價法

文獻 [17]根據(jù)集對分析[19]提出集對評價法,該法對寶雞市地下水資源承載力的綜合評價為1級,與本文方法評價結(jié)果有所差別,但這不是主要的。集對評價法的主要問題是該法的基礎(chǔ):1級評價標(biāo)準(zhǔn)集合B與評價樣本集合A的集對H(A, B)K元聯(lián)系度μ的數(shù)學(xué)定義式(5)*(式(5)*為文獻[17]中的公式序號):

客觀、實際上并不存在。

作者在文獻[13]、[15]中曾先后指出,集對分析的“中介不確定性”概念,客觀上不存在,而建立在集對分析“中介不確定性”概念基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)定義式(5)*,客觀實際上同樣不存在?，F(xiàn)論述如下:

在實際系統(tǒng)評價時,只能有兩種情況:

1)評價指標(biāo)體系中沒有一項指標(biāo)落入1級評價標(biāo)準(zhǔn),此種情況最多只存在1級評價標(biāo)準(zhǔn)集合B的一個K元聯(lián)系度μ(見文獻[20]表4)。

2)指標(biāo)體系中至少有一項指標(biāo)落入1級評價標(biāo)準(zhǔn),此時,有且僅有一個1級評價標(biāo)準(zhǔn)集合B的K元聯(lián)系度μ,但不存在m個K元聯(lián)系度μl,l =1,2,…,m。如第3節(jié)實例中8項評價指標(biāo),其中指標(biāo)(3)至(6)4項指標(biāo)落入指標(biāo)分級標(biāo)準(zhǔn)的1級區(qū)間,指標(biāo)(1)、(2)、(7)3項指標(biāo)落入分級標(biāo)準(zhǔn)的2級區(qū)間,指標(biāo) (8)落入3級區(qū)間,根據(jù)集對評價法定義的1級評價標(biāo)準(zhǔn)集合B的K元聯(lián)系度μ僅有一個,即:

根本不存在集對評價法數(shù)學(xué)定義式(5)*的m個K元聯(lián)系度

作者在文獻 [15]中指出:“科學(xué)研究成果需要考察其基礎(chǔ)概念、理論,及其基礎(chǔ)模型與基本方法是否符合唯物辯證法哲學(xué)基礎(chǔ),是否來源于客觀現(xiàn)象與事物的實際?！蔽墨I [21]指出:“數(shù)學(xué)世界是人的創(chuàng)造,但它是客觀的。”因此脫離了客觀實際的數(shù)學(xué)概念與定義,猶如無源之水,失去了科學(xué)性。由此集對分析的基礎(chǔ)概念 “中介不確定性”,集對評價法基本原理中的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)定義式(5)*也就失去了科學(xué)與實際意義。

5 結(jié) 語

文中基于可變模糊集的唯物辯證法三大基本規(guī)律的數(shù)學(xué)定理,提出系統(tǒng)評價的理論、模型與方法。由于三大規(guī)律數(shù)學(xué)定理的普遍性,故提出的評價理論、模型與方法,可用于眾多系統(tǒng)(如工程系統(tǒng)、管理系統(tǒng)以及其他系統(tǒng)等)評價,即多指標(biāo)(或多目標(biāo))、多級別,具有多級指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)值或標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間的綜合評價問題,有著廣泛的應(yīng)用前景。

本文列舉一個水資源系統(tǒng)綜合評價的例子。并與集對分析評價法進行了比較與分析,指出集對分析及其評價法的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)定義客觀實際上并不存在,失去了科學(xué)性。系統(tǒng)評價不僅要求評價結(jié)果符合實際,而且更要求評價理論 (或原理)、模型與方法的科學(xué)性。

文中對立統(tǒng)一、質(zhì)量互變定理證明了客觀事物變化中存在確定不變的中介點Pm(漸變式質(zhì)變點)。文獻[21]指出:“數(shù)學(xué)特別關(guān)心變化中不變的東西?！兓胁蛔兊臇|西,往往是最重要的東西,刻畫了變化的特性的東西?！睂α⒔y(tǒng)一與質(zhì)量互變定理中D(u)=0不變的中介點Pm,正是變化中不變的東西。由此,可以從唯物辯證法哲學(xué)與數(shù)學(xué)兩個方面說明:客觀事物不存在集對分析所謂的 “中介不確定性”,因此描述它的不確定系數(shù)i是主觀臆想的結(jié)果,不是思維對客觀實際的正確反映,值得相關(guān)研究、技術(shù)人員,尤其是研究生們在論文選題中認(rèn)真思考。

[1]Zadeh L A.Fuzzy Sets[J].Information and Control, 1965,8(3):338-353.

[2]Atanassov K T,Stoeva S.Intuitionistic Fuzzy Sets, in:PolishSymp.OnInterval&FuzzyMathematics [M].Poznan,August,1983:23-26.

[3]陳守煜.系統(tǒng)模糊決策理論與應(yīng)用 [M].大連:大連理工大學(xué)出版社,1994.

[4]Chen Shouyu.Relative Membership Function and New Frame of Fuzzy Sets Theory for Pattern Recognition [J].The Journal of Fuzzy Mathematics,1997,5(2): 401-411.

[5]陳守煜.工程模糊集理論與應(yīng)用 [M].北京:國防工業(yè)出版社,1998.

[6]陳守煜.工程可變模糊集理論與模型——模糊水文水資源學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) [J].大連理工大學(xué)學(xué)報,2005,45 (2):308-312.

[7]陳守煜.可變模糊集合理論的哲學(xué)基礎(chǔ) [J].大連理工大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)版),2005,26(1):53-57.

[8]陳守煜.水資源與防洪系統(tǒng)可變模糊集理論與方法[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2005.

[9]陳守煜.可變模糊集合理論——兼論可拓學(xué)的數(shù)學(xué)與邏輯錯誤 [J].大連理工大學(xué)學(xué)報,2007,47(4): 620-624.

[10]陳守煜.可變模糊集合理論與可變模型集 [J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2008,38(18):146-153.

[11]陳守煜.可變模糊集量變與質(zhì)變判據(jù)模式及其應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2008,30(10):1 879-1 882.

[12]陳守煜.可變模糊聚類及模式識別統(tǒng)一理論與模型[J].大連理工大學(xué)學(xué)報,2009,49(2):308-312.

[13]陳守煜.基于可變模糊集的質(zhì)變與量變定理—兼論集對分析 [J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2009,39(11): 195-201.

[14]陳守煜.可變模糊集理論與模型及其應(yīng)用[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2009.

[15]陳守煜.質(zhì)量互變定理的兩種表示—兼論集對分析中介不確定性 [J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版),2010,29(5):724-728.

[16]陳守煜.基于可變模糊集的辯證法三大規(guī)律數(shù)學(xué)定理及其應(yīng)用 [J].大連理工大學(xué)學(xué)報,2010,50(5): 838-844.

[17]王文圣,金菊良,丁 晶,等.水資源系統(tǒng)評價新方法——集對分析法 [J].中國科學(xué) E輯,2009,39 (9):1 529-1 534.

[18]張 鑫,王紀(jì)科,蔡煥杰,等.區(qū)域地下水資源承載力綜合評價研究 [J].水土保持通報,2001,21 (3):24-27.

[19]趙克勤.集對分析及其初步應(yīng)用[M].杭州:浙江科學(xué)出版社,2000.

[20]高軍省,高繡紡,盧碧林.基于集對分析的長湖水環(huán)境質(zhì)量評價[J].人民黃河,2009,31(12):69-70.

[21]張景中.數(shù)學(xué)與哲學(xué)[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2008.