湯鐵鋼，桂毓林，李慶忠，陳永濤，童慧峰，劉倉理

（中國(guó)工程物理研究院流體物理研究所沖擊波物理與爆轟波物理國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 綿陽621900）

1 引 言

爆炸膨脹環(huán)實(shí)驗(yàn)是在1維應(yīng)力狀態(tài)假定下研究材料高應(yīng)變率拉伸加載時(shí)的動(dòng)態(tài)性能，包括本構(gòu)關(guān)系和斷裂特性，長(zhǎng)期以來，爆炸膨脹環(huán)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理一直困擾著研究者們。P.C.Johnson 等［1］、C.R.Hoggatt等［2］運(yùn)用爆炸膨脹環(huán)實(shí)驗(yàn)技術(shù)測(cè)試了許多工程材料的本構(gòu)關(guān)系數(shù)據(jù)，當(dāng)時(shí)只能測(cè)量膨脹環(huán)的位移歷史，數(shù)據(jù)處理時(shí)需要對(duì)膨脹環(huán)的位移歷史進(jìn)行2次微分，數(shù)據(jù)精度一直困擾著實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可用性。直到R.H.Warnes等［3］利用激光速度干涉儀（VISAR）直接測(cè)量了爆炸膨脹環(huán)的徑向膨脹速度，克服了求流動(dòng)應(yīng)力時(shí)位移關(guān)于時(shí)間2次微分的困難。在數(shù)據(jù)處理時(shí)，R.H.Warnes等對(duì)速度歷史曲線采用2次關(guān)系式進(jìn)行了擬合，然后進(jìn)行微分計(jì)算加速度。R.H.Warnes等同時(shí)指出，采用更高階的關(guān)系式進(jìn)行擬合，可以對(duì)速度進(jìn)行更好地近似擬合，但是求解出的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系卻令人費(fèi)解；他們還指出，其他的一些光滑數(shù)據(jù)的方法也沒有得到實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。F.Llorca等［4］通過數(shù)值模擬對(duì)膨脹環(huán)實(shí)驗(yàn)中速度歷史的處理進(jìn)行了分析，嘗試直接對(duì)測(cè)試獲得的離散速度數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，結(jié)果獲得的流動(dòng)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線振蕩非常劇烈，而采用線性和2項(xiàng)關(guān)系式擬合后，得到的流動(dòng)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與SCG 模型結(jié)果比較接近。

本文中，嘗試采用不同的數(shù)據(jù)處理方法對(duì)爆炸膨脹環(huán)實(shí)驗(yàn)獲得的速度曲線進(jìn)行處理，討論數(shù)據(jù)窗口選取對(duì)處理結(jié)果的影響，同時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)處理方法中存在的一些問題進(jìn)行分析。

2 膨脹環(huán)運(yùn)動(dòng)分析

對(duì)于自由飛行階段的膨脹環(huán)，膨脹環(huán)中的徑向應(yīng)力很小，近似看作零，因此膨脹環(huán)僅在環(huán)向應(yīng)力作用下作減速運(yùn)動(dòng)，如圖1所示，取其中一環(huán)向單元建立運(yùn)動(dòng)方程

金屬環(huán)在自由膨脹期間徑向應(yīng)力為零，得到周向應(yīng)力的運(yùn)動(dòng)方程

式中：r0為膨脹環(huán)初始半徑。將式（4）對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)，得

圖1 膨脹環(huán)運(yùn)動(dòng)分析示意圖Fig.1 Movement analysis of an expanding ring

3 膨脹環(huán)速度曲線

3.1 速度歷史特征及數(shù)據(jù)窗口的選取

在爆炸膨脹環(huán)實(shí)驗(yàn)中，采用激光干涉技術(shù)可以獲得膨脹環(huán)的徑向速度歷史，以1 發(fā)無氧銅膨脹環(huán)實(shí)驗(yàn)結(jié)果為例進(jìn)行說明，速度歷史如圖2所示。從速度歷史可以看出，膨脹環(huán)具有較長(zhǎng)一段自由膨脹過程，即速度歷史上的B 段，通常稱之為有用數(shù)據(jù)窗口，A 段為沖擊加載及應(yīng)力波在膨脹環(huán)壁內(nèi)的反射階段，C 段為膨脹環(huán)發(fā)生了失穩(wěn)或者斷裂階段，對(duì)于處理膨脹環(huán)材料的應(yīng)力－應(yīng)變－應(yīng)變率關(guān)系，A 段和C 段均為無用數(shù)據(jù)。為了揭示數(shù)據(jù)處理方法對(duì)結(jié)果的影響，本文中選取的這條速度曲線的B 段的斜率不單調(diào)變化。

圖2 膨脹環(huán)速度歷史及數(shù)據(jù)窗口選取Fig.2 Radial velocoty－time history of the expanding ring and the selection of data windows

如何合理地選取數(shù)據(jù)窗口B 段，是數(shù)據(jù)處理的前提。對(duì)于此發(fā)實(shí)驗(yàn)，通過回收樣品測(cè)量確定膨脹環(huán)的斷裂應(yīng)變約0.14，對(duì)應(yīng)的斷裂時(shí)間約50μs，顯然，數(shù)據(jù)窗口的選取只能在50μs之前。從速度歷史上看（見圖2），在42～50μs之間速度有些振蕩，數(shù)據(jù)是否可用需要討論。為了更好地檢驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法，擬在速度曲線上選取大部分區(qū)域重合的3個(gè)數(shù)據(jù)窗口，分別記為窗口1、窗口2、窗口3，如圖2所示。窗口1對(duì)應(yīng)時(shí)間12～42μs，認(rèn)為是最理想的數(shù)據(jù)窗口，窗口2對(duì)應(yīng)時(shí)間10～42μs，窗口3對(duì)應(yīng)時(shí)間10～50μs。從速度曲線看，窗口2相對(duì)窗口1沒有明顯的趨勢(shì)變化，而窗口3中的后8μs速度趨勢(shì)有明顯變化。

3.2 數(shù)據(jù)擬合

在速度曲線上對(duì)選取的窗口數(shù)據(jù)截取后進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，分別進(jìn)行線性關(guān)系式、2次關(guān)系式、3次關(guān)系式擬合，擬合后進(jìn)行微分求解加速度。線性關(guān)系式、2次關(guān)系式、3次關(guān)系式的表達(dá)式分別為

對(duì)于窗口1～3中的數(shù)據(jù)采用以上3種關(guān)系式進(jìn)行擬合，求解應(yīng)力時(shí)，首先要對(duì)擬合的速度公式進(jìn)行求導(dǎo)得到加速度，所有關(guān)系式中的常數(shù)項(xiàng)a 求導(dǎo)后消失。線性擬合時(shí)，加速度（即速度斜率）為常數(shù)b，2次關(guān)系式擬合時(shí)，加速度為時(shí)間的線性函數(shù)，3次關(guān)系式擬合時(shí)，加速度為時(shí)間的2次函數(shù)。

4 數(shù)據(jù)處理結(jié)果分析

4.1 擬合方法對(duì)數(shù)據(jù)處理結(jié)果的影響

采用3種擬合關(guān)系式對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，首先對(duì)圖2 中窗口1（12～42 μs）數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，獲得的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系見圖3。線性擬合關(guān)系式獲得的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系也基本上呈線性關(guān)系，2 次關(guān)系式擬合時(shí)獲得的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與線性擬合在所選的數(shù)據(jù)窗口中較接近，而采用3次關(guān)系式擬合時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系呈現(xiàn)為上凹的曲線。

4.2 數(shù)據(jù)窗口選取對(duì)結(jié)果的影響

對(duì)于測(cè)試獲得的含有一定噪聲且離散的速度數(shù)據(jù)，很難準(zhǔn)確界定有效數(shù)據(jù)窗口的邊界，因此，數(shù)據(jù)窗口的選取存在一定的人為性。通過改變數(shù)據(jù)窗口的寬度，來討論數(shù)據(jù)窗口對(duì)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的影響。

首先采用線性關(guān)系式和2次關(guān)系式擬合對(duì)3個(gè)窗口數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，獲得的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如圖4所示。采用線性擬合時(shí)，窗口寬度的改變直接影響速度的斜率（常數(shù)），即直接影響應(yīng)力的幅值，因此獲得應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為3條相互平行的直線（實(shí)際上是與位移線性相關(guān)的曲線），其中窗口1和窗口2的結(jié)果比較接近，而窗口3的結(jié)果偏離稍大。采用2次關(guān)系式擬合時(shí)，窗口1、窗口2數(shù)據(jù)處理獲得的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表現(xiàn)為略有下凹的曲線，而窗口3數(shù)據(jù)處理獲得的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系卻為明顯的上凹曲線，尤其是后半段與前2個(gè)數(shù)據(jù)窗口結(jié)果偏離較大，這與原始速度數(shù)據(jù)的后期振蕩是相關(guān)的。

采用3次關(guān)系式擬合對(duì)3個(gè)窗口數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，獲得的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如圖5所示。對(duì)于3個(gè)不同的數(shù)據(jù)窗口，采用3次關(guān)系式擬合處理結(jié)果均為明顯的上凹曲線，數(shù)據(jù)窗口的選取對(duì)于3次關(guān)系式擬合處理結(jié)果的影響不及低階關(guān)系式明顯，但是處理出的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系卻不同于一般的拉伸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線特征。

圖3 窗口1數(shù)據(jù)3種擬合方法處理結(jié)果Fig.3 Processing results of data window 1by three fitting expressions

圖4 3個(gè)數(shù)據(jù)窗口線性擬合及2次關(guān)系式擬合處理結(jié)果Fig.4 Processing results of three different data windows

4.3 分析討論

從應(yīng)力計(jì)算表達(dá)式看，采用線性擬合時(shí)，加速度為常數(shù)，應(yīng)力與位移（或應(yīng)變）成線性增長(zhǎng)關(guān)系，反映了材料的應(yīng)變硬化效應(yīng)。實(shí)際上，由公式（5）可知，隨著位移的增加，膨脹環(huán)的拉伸應(yīng)變率下降。如果考慮材料的應(yīng)變率效應(yīng)，材料中的應(yīng)力也應(yīng)該隨著應(yīng)變率的降低而降低，線性擬合不能反映材料的應(yīng)變率效應(yīng)。因此，對(duì)于應(yīng)變率敏感的材料，線性擬合是不合適的。

以上研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于膨脹環(huán)速度曲線上人為選取的任何窗口數(shù)據(jù)，3次關(guān)系式擬合都是上凹曲線，說明高階關(guān)系式雖然能較好擬合膨脹環(huán)的速度歷史。但由此處理得到的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系卻與物理規(guī)律似乎背離，本文中推測(cè)R.H.Warnes等［3］在數(shù)據(jù)處理時(shí)可能也出現(xiàn)類似問題，即他所說的令人費(fèi)解的原因。這到底是原始速度數(shù)據(jù)的問題，還是數(shù)據(jù)處理方法的問題，需要更進(jìn)一步的分析。

圖5 3個(gè)數(shù)據(jù)窗口3次關(guān)系式擬合處理結(jié)果Fig.5 Processing results of three different data windows by trinomial fitting

圖6 5種不同擬合關(guān)系式對(duì)窗口1數(shù)據(jù)的處理結(jié)果Fig.6 Processing results of data window 1by five different fitting expressions

在不能明顯判斷數(shù)據(jù)是否可用的條件下，隨著窗口數(shù)據(jù)的增加（即增加窗口的時(shí)間長(zhǎng)度），2次關(guān)系式擬合處理結(jié)果也出現(xiàn)了明顯的偏離，如圖4中的窗口3數(shù)據(jù)結(jié)果。到底是數(shù)據(jù)處理方法的問題還是數(shù)據(jù)窗口選取的問題呢？本文中嘗試了另幾種多次關(guān)系式，如

以及他們的組合關(guān)系式，對(duì)速度窗口中的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在窗口1中，多種關(guān)系式擬合結(jié)果基本一致，見圖6，當(dāng)最高次不大于2時(shí)，得到的結(jié)果偏差相對(duì)較小，而最高次項(xiàng)大于2時(shí)，獲得應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為上凹曲線，從形式上可能偏離了物理規(guī)律。而對(duì)窗口2和窗口3中數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合處理得到的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系均出現(xiàn)不同程度的發(fā)散，由此看來，數(shù)據(jù)窗口的準(zhǔn)確選取是采用擬合方法進(jìn)行膨脹環(huán)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)。

5 數(shù)據(jù)光滑與差分方法

在膨脹環(huán)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理時(shí)為什么總是先對(duì)速度歷史進(jìn)行擬合呢？主要原因是測(cè)試的速度歷史是離散的數(shù)據(jù)，而且測(cè)試的速度數(shù)據(jù)包含了噪聲，速度曲線本身不光滑，直接差分求解加速度會(huì)帶來極大的偏差。實(shí)際上，目前對(duì)于數(shù)據(jù)的光滑技術(shù)已經(jīng)很成熟了，可以先對(duì)速度數(shù)據(jù)進(jìn)行光滑，然后直接進(jìn)行差分求解加速度。理論上講，直接進(jìn)行求解，能更好地反映每個(gè)時(shí)刻速度與應(yīng)力的對(duì)應(yīng)關(guān)系。另一個(gè)好處是，直接差分計(jì)算對(duì)窗口選取的依賴性較弱，因?yàn)椴罘址椒梢杂?jì)算出瞬時(shí)加速度，只依賴于瞬時(shí)的速度數(shù)據(jù)，不再需要擬合關(guān)系式。但由于膨脹環(huán)實(shí)驗(yàn)是在1維應(yīng)力假定條件下進(jìn)行的，數(shù)據(jù)處理時(shí)仍熱需要確定合理的數(shù)據(jù)窗口，以確保所選取的膨脹環(huán)拉伸過程滿足1維應(yīng)力狀態(tài)。

為了更好地澄清3次擬合關(guān)系式處理結(jié)果形式上異常的原因，采用Mathcad中的樣條函數(shù)對(duì)速度曲線進(jìn)行高階光滑，然后進(jìn)行直接差分計(jì)算，處理得到的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與擬合關(guān)系式處理結(jié)果同列于圖7中。令人驚奇的是，在窗口1中，3次關(guān)系式擬合處理結(jié)果與直接差分計(jì)算結(jié)果吻合很好。

由此看來，采用高階關(guān)系式擬合進(jìn)行處理時(shí)，出現(xiàn)結(jié)果異常的原因并非數(shù)據(jù)處理方法的問題，主要原因是來自原始數(shù)據(jù)的測(cè)試精度。采用VISAR 進(jìn)行速度測(cè)試時(shí)，是典型的點(diǎn)測(cè)試，對(duì)于環(huán)向尺寸較大的膨脹環(huán)，VISAR 探頭對(duì)準(zhǔn)的任意一點(diǎn)，有可能是頸縮、斷裂等現(xiàn)象發(fā)生的點(diǎn)，獲得的速度歷史就不能反映膨脹環(huán)的均勻膨脹過程。因此，在膨脹環(huán)實(shí)驗(yàn)中，速度測(cè)試最好是多點(diǎn)，采用平均速度進(jìn)行數(shù)據(jù)處理會(huì)提高數(shù)據(jù)精度，單點(diǎn)速度測(cè)試會(huì)給數(shù)據(jù)處理結(jié)果帶來很大的不確定性。

圖7 直接差分方法與擬合方法處理結(jié)果的比較Fig.7Comparison of results by the fitting methods and the direct difference method

6 結(jié) 論

（1）對(duì)于爆炸膨脹環(huán)實(shí)驗(yàn)，速度數(shù)據(jù)窗口的合理選取是進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的前提，數(shù)據(jù)窗口的選取既要避開前期由于加載引起的速度振蕩，也要避開后期由于膨脹環(huán)發(fā)生頸縮、斷裂引起的速度振蕩；

（2）速度曲線在數(shù)據(jù)窗口內(nèi)斜率單調(diào)變化時(shí)，可以采用低階關(guān)系式擬合進(jìn)行處理，擬合關(guān)系式不超過2階時(shí)，處理結(jié)果會(huì)比較接近；

（3）采用數(shù)據(jù)光滑技術(shù)和差分方法相結(jié)合的數(shù)據(jù)處理方法，能較好地反映速度歷史和瞬時(shí)應(yīng)力的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但同時(shí)要求速度測(cè)試具有較高的精度；同時(shí)澄清了在數(shù)據(jù)處理時(shí)采用高階關(guān)系式擬合出現(xiàn)異?，F(xiàn)象的原因是速度點(diǎn)測(cè)試方法帶來的。

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