孟慶元

（天津工業(yè)大學(xué)，天津 300160）

雙連桿柔性機械臂，是柔性系統(tǒng)中最為典型的例子之一。在實踐中，對其端點的運動實現(xiàn)精確的控制的最重要因素，是控制算法的計算速度，復(fù)雜的控制算法難以實現(xiàn)。而逆動力學(xué)建模和控制是緊密相關(guān)的，通過逆動力學(xué)方法，得到一個比較精確的驅(qū)動力矩作為前饋，再施以適當(dāng)?shù)目刂扑惴ǎ詫崿F(xiàn)對機械臂的高速、高精度控制，則是一種具有實效的方法。

關(guān)于柔性臂控制的逆動力學(xué)方法的研究，報道尚不多見，其中文獻(xiàn)[1~5]對動力學(xué)方程解耦，即把動力學(xué)方程近似分解成一些相對簡單的系統(tǒng)，從而得到逆動力學(xué)的表達(dá)式。Matsuno通過對采用切線坐標(biāo)系的動力學(xué)模型進(jìn)行簡化[4]，得到了一種實時的逆動力學(xué)方法。Gof ron等應(yīng)用了驅(qū)動約束法[5]，把期望運動處理成非定常約束。Bayo在頻域內(nèi)進(jìn)行了逆動力學(xué)求解[6]。

在逆動力求解中，常常會遇到求得的力矩不準(zhǔn)、力矩振蕩很大、求解繁瑣等問題。因此，討論逆動力學(xué)求解的特點和性質(zhì)是非常重要的，并有助于采用合理的方式得到比較好的前饋力矩。

1 動力學(xué)和逆動力學(xué)模型

一般情況下，柔性機械臂的兩根連桿橫向彈性變形（彎曲）較小，則忽略機械臂的徑向變形；假定關(guān)節(jié)及臂端負(fù)載均為集中質(zhì)量，則忽略其大小。同時，暫不考慮電機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量和電機的阻尼。

圖1 雙連桿柔性臂

圖1是一雙連桿柔性機械臂，兩臂間關(guān)節(jié)電機質(zhì)量為m1，上臂端部集中質(zhì)量為m2，兩連桿質(zhì)量和抗彎剛度分別為M1和M2，EI1和 EI2，兩連桿的長度分別為 L1和 L2，J1和J2為兩關(guān)節(jié)電機提供的力矩。

連桿變形很小，對每根連桿建立一個運動坐標(biāo)系，使得連桿在其中的相對運動很小。機械臂的整體運動，則可由這兩個動坐標(biāo)系的方位角來描述。于是，在動力學(xué)模型中將有兩類變量，一類是幅值很小，但變化迅速的彈性坐標(biāo)；另一類是變化范圍較大的方位角。本文采用端點連線坐標(biāo)系，即將連桿兩端點的連線作為動坐標(biāo)系的x軸（見圖1）。描述整體運動的是兩個角度θ1和θ2，而連桿相對于動坐標(biāo)系的運動，則可視為簡支梁的振動。這樣，動力學(xué)模型剛度陣的彈性坐標(biāo)互相不耦合，臂端的位置可由θ1和θ2確定，其期望運動形式（或數(shù)值解）：

如采用其他形式的動坐標(biāo)系，兩桿的彈性坐標(biāo)將耦合在一起，而且在逆動力學(xué)求解時，將不得不處理微分方程與代數(shù)方程組合的方程組。

對每個機械臂取兩階模態(tài)坐標(biāo)來描述，應(yīng)用拉格朗日方法得到動力學(xué)方程：

式中，M為6×6質(zhì)量陣；H為速度的二次項；K為6×6剛度陣；f為重力的廣義力向量；Qτ為驅(qū)動力矩的廣義力向量其中a1和a2、b1和b2分別是兩個機械臂的一階和二階彈性坐標(biāo)。

柔性臂系統(tǒng)的逆動力學(xué)問題，是指在已知期望末端操作器運動軌跡的情況下，結(jié)合逆運動學(xué)與動力學(xué)方程對關(guān)節(jié)力矩進(jìn)行求解。如果直接進(jìn)行逆動力學(xué)求解，即把式（1）代入動力學(xué)方程式（2）中，對方程中的彈性坐標(biāo)和力矩進(jìn)行求解，一般情況下，其數(shù)值解將很快發(fā)散。

表達(dá)系統(tǒng)運動狀態(tài)的坐標(biāo)，可以看成有兩部分組成：大范圍的相對緩慢的運動（慢變）部分和小范圍的振動（快變）部分。本文試圖將這兩部分分離，分別討論其逆動力學(xué)特性，并以此來分析整體系統(tǒng)的逆動力學(xué)問題。

2 快變部分的逆動力學(xué)問題

首先，尋求兩個關(guān)節(jié)力矩使端點保持不動，先不考慮大范圍的運動。此時，重力只起了一個改變平衡點的作用，在方程中把與它相關(guān)的部分略去，在動力學(xué)方程（2）中令

在方程（3）中消去 τ1和 τ2得

式中，

對式（4）降階：

其中，I是四階單位陣。方程（5）可化為下列形式：

式中A=R-1S。求出A的特征值分別為

因A的特征值存在正實部，則方程（3）所表示的系統(tǒng)不穩(wěn)定，其解發(fā)散，即雙連桿柔性臂在這種情況下，其振動問題的精確逆動力學(xué)解是發(fā)散的。

A的各特征值在復(fù)空間分布關(guān)于虛軸對稱，必然會出現(xiàn)正實部，如選取更多階模態(tài)函數(shù)離散時，會出現(xiàn)同樣的情況。因此，選取更多階模態(tài)函數(shù)離散時，其振動問題的逆動力學(xué)解是發(fā)散的。

有文章提出，用迭代法進(jìn)行逆動力學(xué)求解，當(dāng)積分步長很小時，其解是發(fā)散的；當(dāng)積分步長較大時，便可得到較好的結(jié)果。其原因是因為快變部分的逆動力學(xué)解發(fā)散，當(dāng)步長較大時，相當(dāng)濾掉了快變部分，便可得到較好的結(jié)果。

3 慢變意義上的逆動力學(xué)

在進(jìn)行慢變意義上的逆動力學(xué)求解時，應(yīng)試圖將彈性坐標(biāo)中的振動部分濾掉，彈性坐標(biāo)中不應(yīng)含有振動部分，再結(jié)合期望的 θ1、 θ2求得力矩。

4 結(jié)束語

由以上分析可以看出，對于柔性機械臂系統(tǒng)，振動部分的精確逆動力學(xué)解是發(fā)散的，進(jìn)行逆動力學(xué)求解時，應(yīng)濾掉振動部分，在慢變的意義上進(jìn)行，才能得到比較好的前饋力矩。

[1]Matsuno F,Sakawa Y.Dynamic hybrid position/force control of a two degree-of -freedom flexible manipulator[J].Journal of Robotic Systems,1994,11(5):355-366.

[2]Yoshikawa T.Dynamic hybrid position/force control of robot manipulators-description of hand constraints and calculation of joint driving force[J].IEEEJRA,1987,(3):386-392.

[3]KwonDS,Book WJ.An inverse dynamic method yieldingflexible manipulator state trajectories[C].Proceedings of the American Control Conference,SanDiego,PublbyAmerican Automatic Control Council,1990,27-37.

[4]Matsuno F.Modeling and quasi-static hybrid position/force control of constrained planar two-link flexible manipulators[J].IEEE Transactions onRoboticsandAutomation,1994,10(5):287-297.

[5]Gof ron M,Shabana A A.Control structure interaction in the nonlinear analysis of flexible mechanical systems[J].Nonlinear Dynamics,1993,(4):183-206.

[6]Bayo E,Moulin H.An efficient computation of the inverse dynamics of flexible manipulators in the time domain[C].Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation,Scottsdale,Publ by IEEE,1989,710-715.