徐汝成

（南通高等師范學(xué)校，江蘇 南通 226006）

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，如何把高度抽象的學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為易于學(xué)生接受的教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識，是數(shù)學(xué)教師研究的永恒課題。我們認為要較好地實現(xiàn)從學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)向教育形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，老師首先必須對所教數(shù)學(xué)內(nèi)容作深入的研究，理解其知識的本質(zhì)（內(nèi)涵），然后選擇適當?shù)姆椒\出數(shù)學(xué)道理，使學(xué)生真正學(xué)到數(shù)學(xué)的思想精髓。本文結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容，例說如何深入數(shù)學(xué)本質(zhì)、淺出數(shù)學(xué)道理。

一、深入數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)中的每一個概念、法則、方法都具有高度的抽象性，對于這些數(shù)學(xué)知識，教師不僅要能陳述其定義、結(jié)論、程序，而且要能抓住其本質(zhì)屬性，即教師要有深刻的理解，只有這樣，教師才有可能據(jù)此設(shè)計出好的教學(xué)方案。

例如，有的老師在教學(xué)“解決問題的策略——倒推”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第五冊第88頁）時，揭示課題用了一組鋪墊題，其中包括劉翔在奧運會上參加110米欄比賽的過程畫面以及該畫面的倒放鏡頭，同樣還包括姚明在參加NBA比賽時的一段上籃過程畫面以及該畫面的倒放鏡頭，學(xué)生很開心，但沒有獲得真正意義上“倒推”的感性認識，因為老師所展示的不是倒推，而僅僅是倒過來的東西，倒推的本質(zhì)是反向思維，是以解決問題為目標的，上述倒過來的畫面僅僅有倒過來的過程，而沒有解決問題之目的，所以本質(zhì)上不是倒推。之所以出現(xiàn)這樣的問題，是因為老師對“倒推”的本質(zhì)沒有把握，進而發(fā)生了偏差。

小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容常常給人以淺顯的感覺，但其背后隱藏的意義往往是十分深刻的，面對任何一個教學(xué)內(nèi)容，老師應(yīng)該從多角度進行深度分析，把握其實質(zhì)。如“認識分數(shù)”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第五冊第36頁）中的“分數(shù)單位”這個概念，其實質(zhì)遠比課本上的形式化的定義（把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分數(shù)。表示其中一份的數(shù)，叫做分數(shù)單位）要豐富得多，隱藏在其中的有單位思想——單位是由于比較的需要產(chǎn)生的，它是量與量之間進行間接比較的媒介（即產(chǎn)生的原因和根本作用）。單位思想到處有，也較為宏觀，在此是其具體表現(xiàn)，但由于是具體的數(shù)單位，相對于實物單位（如米等等）而言又更抽象了，這就需要老師進行深度分析，進而獲得實質(zhì)性的把握，只有這樣，才能進行有針對性的教學(xué)設(shè)計，達到使學(xué)生通過適當?shù)膶W(xué)習(xí)，進而深刻領(lǐng)會其意義的目的。

二、淺出數(shù)學(xué)道理

深刻的數(shù)學(xué)本質(zhì)，要通過適當?shù)姆椒ǔ尸F(xiàn)給學(xué)生，使之易于接受，教師必須進行教學(xué)法的加工，做到深入淺出。

1.淺出概念的內(nèi)涵

概念有兩個方面，一是外延，二是內(nèi)涵，外延是表像的，內(nèi)涵是內(nèi)隱的，概念教學(xué)中我們不僅要求學(xué)生明確概念的外延，而且要求學(xué)生明確概念的內(nèi)涵。然而由于概念內(nèi)涵的抽象性和小學(xué)生的年齡特點，在概念內(nèi)涵的理解方面學(xué)生往往存在較大困難，有的盡管能夠背出概念的定義，但就其認知理解而言往往還只是停留在外延層面。教師就要深入分析，分析概念的各個方面，分析學(xué)生學(xué)習(xí)的可能困難或障礙，據(jù)此設(shè)計相應(yīng)的教學(xué)方案。例如，“分數(shù)單位”概念的教學(xué)，如果在得出分數(shù)的定義后直接告知學(xué)生其定義（表示其中一份的數(shù)，叫做分數(shù)單位），學(xué)生也可以據(jù)此判別哪些是分數(shù)單位，哪些不是，但學(xué)生的學(xué)習(xí)很可能只停留在概念外延的層面上，如何讓學(xué)生理解這個概念的內(nèi)涵呢？教師要把“單位”的思想（這是普遍意義上的）滲透在教學(xué)中，讓學(xué)生體驗分數(shù)單位產(chǎn)生的原因和作用，在此基礎(chǔ)上給出其定義。一般地，教師在引導(dǎo)學(xué)生通過歸納得出分數(shù)的定義后，不要立即給出“分數(shù)單位”的定義，而要做一些必要的準備，如安排學(xué)生完成兩個練習(xí)：練習(xí)一，3/4、2/5、4/7表示什么？（根據(jù)分數(shù)的意義說，進一步地能說出每個分數(shù)表示幾個幾分之一）；練習(xí)二，3/5和4/5各包含幾個1/5，哪個大？3/7、4/7和5/7各包含幾個1/7，比較三個分數(shù)的大小；比較分數(shù)3/8、5/8、7/8的大小。在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生分析認識1/5、1/7、1/8在比較大小中的地位和作用（橋梁作用、標準作用），最后指出鑒于他們的這種特殊性，分別把他們叫做相應(yīng)分數(shù)的分數(shù)單位（如1/5是分母為5的分數(shù)的分數(shù)單位）。這樣教學(xué)對學(xué)生而言，理解并不困難，因為這樣的道理以十分具體的分數(shù)意義及比較大小為載體顯現(xiàn)的，即進行了抽象問題具體化。學(xué)生在此基礎(chǔ)上學(xué)到的知識不再僅僅是形式的概念，而是具有豐富內(nèi)涵的概念。

2.淺出法則的證明

法則教學(xué)有兩個重要方面，一是是什么，即法則的內(nèi)容，二是為什么，即法則的證明。小學(xué)數(shù)學(xué)中的法則證明很多不是嚴格意義上的證明，我們稱之為準證明，如有的采用不完全歸納法（驗證），有的則隱藏在某一個特殊意義的知識中（如整數(shù)加法的交換律，用應(yīng)用題得出特殊等式就隱藏著用集合運算性質(zhì)推出整數(shù)運算性質(zhì)的思想），且往往不明確說這是證明，但其要表明的或發(fā)揮的是證明的作用，這樣做主要是考慮到小學(xué)生的接受水平。教學(xué)中常常出現(xiàn)由于無法嚴格證明而放棄證明的現(xiàn)象，這種放棄實際上就放棄了證明教學(xué)，放棄了對學(xué)生進行初步邏輯思維（進一步地是數(shù)學(xué)思維）的培養(yǎng)。教學(xué)中我們教師要完成準證明，讓學(xué)生體驗證明的思想，教師要對教材中的法則進行分析，理解編者意圖，把隱藏在知識中的證明顯性化，把抽象的證明簡單化。例如，“分數(shù)的基本性質(zhì)”的教學(xué)，一般是先借助直觀圖觀察得到一些等式（如1/2=2/4=4/8），然后采用不完全歸納法歸納得到基本性質(zhì)，從教學(xué)過程看這里的不完全歸納法主要發(fā)揮的是探索的作用，同時具有一定的證明功能。但這種證明不充分，其實我們可以將證明滲透在每一步之中，當我們從直觀獲得等式后，不要急于歸納結(jié)論，而要對1/2=2/4=4/8中的相等性作深入的分析，讓學(xué)生理性地認識兩個分數(shù)之間相等的必然性——結(jié)合圖形分析1/2=2/4：將一個（餅）平均分成兩份，取其中的一份用1/2表示，將這個（餅）在原來的基礎(chǔ)上再進行一次均分，分得的份數(shù)變成原來的2倍，實際上現(xiàn)在的2份就相當于原來的1份，取2份就是取原來的1份，故1/2=2/4；同理分析2/4=4/8、4/8=8/16。這種分析特別強調(diào)兩個分數(shù)之間的實質(zhì)性聯(lián)系：分子分母同時變化，且分的份數(shù)擴大幾倍，取的份數(shù)同時擴大幾倍，每一份變小了，取的份數(shù)多了，從而保持了前后的一致性（即相等性）。這實際上就是特殊的證明，由于借助于圖形，圖形變化的內(nèi)在聯(lián)系很直觀，盡管分數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系較抽象，但也不難理解。這一分析環(huán)節(jié)雖然不是嚴格的證明，好像只有很特殊的幾個等式，但這每一個特殊等式的說明已經(jīng)蘊涵了十分一般的證明思想，所以，應(yīng)該說其發(fā)揮了證明的作用。學(xué)生通過這樣的學(xué)習(xí)學(xué)到的不僅僅是結(jié)果性認知，而且是過程性認知，這里所指的過程有別于前述不完全歸納法之過程。

3.淺出方法的實質(zhì)

新課程教材十分重視數(shù)學(xué)方法，將一些方法集中在單獨章節(jié)“解決問題的策略”里予以介紹，教師對于這些方法的本質(zhì)要能夠準確把握，并通過教學(xué)使學(xué)生知道自己在解決問題時具體采用了什么特殊策略，還要使學(xué)生明晰采用某一策略時的具體步驟和關(guān)鍵。教學(xué)中教師可以讓學(xué)生自行解決某個具體的實際問題（該問題需要用到一種策略），然后引導(dǎo)學(xué)生對解決問題的過程進行回顧，進而揭示問題解決的策略以及步驟。

例如，倒推策略的教學(xué)，第一步，提出問題解決問題：首先讓我們來玩一個猜字游戲，這里有2張卡片，它們背后分別是一個漢字，第一個字加上一筆是二，那這個字是什么？你是怎么想到的？這個字加一筆是二，那么二減去一筆就是這個字“一”；繼續(xù)看，第二個字減去兩筆是付，那這個字是什么？你是怎么想到的？這個字減去兩筆是付，那么付加上兩筆就是這個字“附”。第二步，分析過程揭示方法：其實在剛才的游戲中，同學(xué)們與其說是猜中了字，還不如說是推理得到了字，請看……，這是在推理，而且這種推理與正向推理的方向正好相反，我們把它稱為倒推。這種方法在日常生活和數(shù)學(xué)中經(jīng)常被使用，今天我們就來學(xué)習(xí)這種解決問題的策略——倒推！第三步，講解例題鞏固方法：甲乙兩杯果汁，共400毫升，甲杯倒入乙杯40毫升，結(jié)果兩杯果汁同樣多，問甲乙兩杯原來各有多少果汁？在學(xué)生完成解答后，引導(dǎo)學(xué)生回顧分析什么地方使用了倒推策略——我們再回過頭來看看剛才的解題過程，我們是怎樣得到答案的？①先求出現(xiàn)在甲乙兩杯有多少果汁（現(xiàn)在甲乙兩杯都是200毫升），②根據(jù)“現(xiàn)在的情況”和“原來到現(xiàn)在的變化過程”求出原來的情況（甲杯減少40毫升后變成200毫升，那么，200毫升加40毫升就是甲杯原有的果汁數(shù)量），這里運用的思維方法就是——倒推。

這里第一、二步用十分簡單的例子揭示方法是什么，學(xué)生很容易理解，第三步例子的問題解決較難，通過分析讓學(xué)生辨別什么地方使用了倒推，明確僅僅是第②步使用了倒推，沒有含含糊糊地說這道題的解決用了倒推，這樣學(xué)生就能準確地把握方法的實質(zhì)。