房少梅 金玲玉 華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系 510642

談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)教學(xué)中運用啟發(fā)式教學(xué)法

房少梅 金玲玉 華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系 510642

本文通過分析數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐過程，簡要的探討了在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何運用啟發(fā)式教學(xué)，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)能力。

數(shù)學(xué)教學(xué);啟發(fā)式教學(xué);學(xué)習(xí)興趣

中類圖書號：G424

隨著社會的發(fā)展，人們已經(jīng)充分認識到數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)課的重要性，許多大學(xué)已經(jīng)把數(shù)學(xué)列為通識教育的范疇，數(shù)學(xué)教育已經(jīng)成為一種素質(zhì)教育。與此同時，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)情況應(yīng)該說是不盡如人意的。首先，由于擴招引起的生源整體水平下移，程度參差不齊，這使得數(shù)學(xué)教學(xué)出現(xiàn)各種問題和困難；其次，相當多的學(xué)生難以適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，中學(xué)的應(yīng)試教育導(dǎo)致了題海戰(zhàn)術(shù)，學(xué)生不善于思考、不善于分析問題，只會對號入座。再次，高等數(shù)學(xué)的抽象性使學(xué)生難于理解，進一步加深了學(xué)生學(xué)習(xí)的困難。以上種種問題造成的直接后果——學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)興趣，對學(xué)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)習(xí)主動性下降。如何扭轉(zhuǎn)這種局面呢？在長期的教學(xué)實踐中我們體會到，啟發(fā)式的教學(xué)方法是解決問題的重要手段。

啟發(fā)式教學(xué)的目的很簡單：教會學(xué)生思考，讓學(xué)生跟著教師的教學(xué)去思考。下面我們就從以下兩點談?wù)勗诮虒W(xué)過程中如何實現(xiàn)啟發(fā)式教學(xué)。

1. 激發(fā)學(xué)生興趣，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的欲望

如何激發(fā)學(xué)生的興趣呢？比如說，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)中的一些概念和問題的表述往往比較抽象，所以問題的表達和提出應(yīng)該盡量有吸引力，首要的就是要抓住學(xué)生。

例1，從有限到無限概念[1]的引入。對大一的新生，我們講數(shù)學(xué)分析，從有限進入無限領(lǐng)域，怎樣才能使學(xué)生很好地理解無限的概念呢？“希爾伯特旅館”的故事就是一個很好的例子，假設(shè)一家旅館，內(nèi)設(shè)無限個房間，所有的房間也都客滿了。這時有一位新客，想訂個房間。“不成問題！”旅館主人說。接著他就把1號房間的旅客移到2號房間，2號房間的旅客移到3號房間，3號房間的旅客移到4號房間等等，這樣繼續(xù)移下去。這樣一來，新客就被安排住進了已被騰空的1號房間。住滿房客的旅館總是能住進新客人，這種奇特的現(xiàn)象實質(zhì)是由于房間的個數(shù)是無限的。

例2，抽象概念的詮釋——混沌，尺度空間。講解混沌概念時，向?qū)W生提問——你知道“蝴蝶效應(yīng)”嗎？巴西的蝴蝶偶爾扇動翅膀，可能引起美洲的一場風暴，這在數(shù)學(xué)上的表述就是：“一個系統(tǒng)對初始條件的極為敏感性”，這樣的問題同學(xué)們感到很有興趣；類似的，講分形的時候，提出“英國的海岸線有多長？”，從而引入不同的尺度空間。這個問題的實質(zhì)是測量的尺度不同，得到的長度就不同。即使是有限面積的周長也可能是無限的。

當然，數(shù)學(xué)里面不是處處可以這樣講的，但有很多地方，可以來引出問題，提出問題。另外，在數(shù)學(xué)教學(xué)中需要適當?shù)臄?shù)學(xué)模型和典型的例子。如人口問題的中著名的Malthus模型和Logistic模型，二次世界大戰(zhàn)結(jié)束時荷蘭發(fā)生涉及Vermeer的名畫真?zhèn)蔚陌讣约懊绹幽芪瘑T會處理核廢料引起質(zhì)疑的問題，這些例子都可以放在微積分中講述，并不太難，這可以充分說明數(shù)學(xué)的重要性，引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

數(shù)學(xué)本身一些抽象的模型也是很好的例子，例如，每個教數(shù)學(xué)分析的老師都會提到的Dirichlet函數(shù)[2]，自變量取有理數(shù)、無理數(shù)時，函數(shù)分別定義為“1”和“0”。構(gòu)造這樣的函數(shù)，其目的在于說明許多數(shù)學(xué)概念時指出其特殊情況，從而可以加深我們對抽象概念的理解。這個函數(shù)處處無極限、處處不連續(xù)；它是周期函數(shù)，任何有理數(shù)都是它的周期，但它又沒有最小正周期。我們在教學(xué)過程中反復(fù)講這個例子，講到相關(guān)概念時就提出這個例子，這樣可以加深學(xué)生對于相關(guān)概念的認識，學(xué)生會感到很有意思，從而要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中注意反例，進而引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造反例。

2.化被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)

主動學(xué)習(xí)就是盡量讓學(xué)生自己去思考，去發(fā)現(xiàn)結(jié)論。啟發(fā)式的教學(xué)的關(guān)鍵就是在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生去思考，而不是被動的、輕松的接納教師教授的知識，這樣的知識對學(xué)生來說不會留下深刻的印象，也不能把知識學(xué)活。應(yīng)該讓學(xué)生去思考、去發(fā)現(xiàn)，這樣學(xué)生會有成就感，引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。比如我們講微分中值定理，微分中值定理的證明及相關(guān)習(xí)題，都用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，證明Lagrange定理怎么構(gòu)造輔助函數(shù)？有幾種方法呢？方法的實質(zhì)是如何構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造的方法其實本質(zhì)是通過觀察和尋找原函數(shù)的方法。微分中值定理的含義既可以從幾何上來分析，也可以從形式上來分析。從幾何上分析，Lagrange定理[3]的幾何意義——如果連續(xù)曲線除端點外處處有不垂直于軸的切線，則在曲線上至少存在一點，使曲線在點的切線平行于直線．通過將定理的結(jié)果用圖形表述出來啟發(fā)學(xué)生理解幾何意義。從形式上分析——是聯(lián)系函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的橋梁。另外引導(dǎo)學(xué)生找出問題的更特殊情況——端點的函數(shù)值相等，這樣可得Rolle定理。問題的一般情況——函數(shù)y=x替換為y=g(x)，這時定理化為柯西定理。這是一個慢慢啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，歸納問題，解決問題的過程。

總是，在數(shù)學(xué)教學(xué)中我們應(yīng)該采用啟發(fā)式教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思維方式、自學(xué)能力。

[1]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系．數(shù)學(xué)分析(第2版) (上)[M]．北京：高等教育出版社.2003.1-50.

[2]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系．數(shù)學(xué)分析(上)[M]．北京：高等教育出版社.1986．1-126.

[3]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室．高等數(shù)學(xué)(第4版)(上)[M]．北京：高等教育出版社.1999. 51-120

A

華南農(nóng)業(yè)大學(xué)教改項目（JG09032），華南農(nóng)業(yè)大學(xué)校長基金（4900-k07418）

房少梅，女，新疆伊犁人，教授，博導(dǎo)，廣東省數(shù)學(xué)會理事、廣東省工業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會常務(wù)理事；

金玲玉，女，湖北荊州人，博士。