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        “雨滴下落”和“傘兵空降”
        ——談直線運(yùn)動(dòng)中的兩種典型變加速運(yùn)動(dòng)模型

        2010-01-26 03:40:20李晶
        物理通報(bào) 2010年3期
        關(guān)鍵詞:加速運(yùn)動(dòng)傘兵金屬棒

        李晶

        (淮陰中學(xué) 江蘇 淮安 223001)

        高中物理研究的直線運(yùn)動(dòng)主要是勻變速運(yùn)動(dòng)和簡(jiǎn)單的變加速運(yùn)動(dòng),而在變加速直線運(yùn)動(dòng)中有兩種最典型且最基本的模型,即“雨滴下落”模型和“傘兵空降”模型.

        1 模型一——雨滴下落模型

        一質(zhì)量為m的雨滴在高空由靜止開(kāi)始下落,設(shè)下落過(guò)程中受到的空氣阻力與雨滴下落速率成正比,即f=kv,重力加速度為g.

        【問(wèn)題1】求解雨滴下落的終極速度.

        圖1

        【問(wèn)題2】設(shè)雨滴從靜止下落到速度最大所用時(shí)間為t,求解雨滴達(dá)到終極速度前下落的位移x.

        等式兩邊求和

        解得

        【模型應(yīng)用1】如圖2所示,水平放置的兩根光滑平行金屬導(dǎo)軌置于垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,導(dǎo)軌間距為L(zhǎng).導(dǎo)軌左端連接一電阻,阻值為R.有一質(zhì)量為m的金屬棒放置在導(dǎo)軌平面上,并與導(dǎo)軌垂直,在恒定拉力F的作用下由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)時(shí)間t,金屬棒速度達(dá)到穩(wěn)定,棒與導(dǎo)軌電阻均不計(jì).求:(1)金屬棒最終的穩(wěn)定速度;(2)金屬棒達(dá)到穩(wěn)定速度前通過(guò)的位移.

        圖2

        當(dāng)a=0時(shí),最大速度

        等式兩邊同乘Δt得

        兩邊同時(shí)求和得

        解得通過(guò)的位移

        【模型應(yīng)用2】如圖3所示,PQ為一根足夠長(zhǎng)的絕緣細(xì)直桿豎直固定,空間充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng),方向垂直紙面向里.一個(gè)質(zhì)量為m,帶有正電荷的小球套在PQ桿上,小球可沿桿滑動(dòng),球與桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,小球帶電荷為+q,重力加速度為g.現(xiàn)將小球由靜止開(kāi)始釋放,經(jīng)過(guò)時(shí)間t達(dá)到最大速度,試求:小球在沿桿下滑過(guò)程中(1)最大速度;(2)從釋放到達(dá)到最大速度的位移.

        圖3

        【解析】當(dāng)a=0時(shí)速度最大,即

        解得

        小球由靜止釋放做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng),其加速度

        兩邊同乘Δt,得

        兩邊同時(shí)求和,得

        解得從釋放到速度最大時(shí)的位移為

        【模型總結(jié)】高中階段除了“雨滴下落”和電磁感應(yīng)中導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)、磁場(chǎng)中帶電體的運(yùn)動(dòng)等,還有很多類(lèi)似的例子.其實(shí)從運(yùn)動(dòng)過(guò)程來(lái)看都是加速度逐漸減小的加速直線運(yùn)動(dòng),最終的穩(wěn)定態(tài)加速度為零,速度最大.

        2 模型二——傘兵空降模型

        一質(zhì)量為m的傘兵從足夠高的高空跳下,加速運(yùn)動(dòng)到一穩(wěn)定速度v0后打開(kāi)降落傘,此后受到的空氣阻力與傘兵速率成正比,即f=kv,重力加速度為g.

        【問(wèn)題1】求解傘兵最終的速度.

        【解析】傘兵跳下后可看作先經(jīng)歷一加速運(yùn)動(dòng)直至速度v0,加速過(guò)程類(lèi)似于雨滴下落.開(kāi)傘后由于初速度很大,空氣阻力大于重力,做減速運(yùn)動(dòng)且

        kv-mg=ma

        隨著速率的減小,加速度a逐漸減小,最終當(dāng)a=0時(shí),傘兵達(dá)到最小速度,即終極速度

        傘兵做的是加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng),此過(guò)程的v-t圖像如圖4所示.

        圖4

        【問(wèn)題2】設(shè)傘兵從開(kāi)傘到速度最小所用時(shí)間為t,求解傘兵從開(kāi)傘到速度最小時(shí)的位移x.

        【解析】此過(guò)程傘兵做的是變加速直線運(yùn)動(dòng).根據(jù)牛頓第二定律知傘兵加速度

        即加速度隨v線性變化.設(shè)時(shí)間微元為Δt,可得

        等式兩邊求和得

        解得

        【模型應(yīng)用1】如圖5所示,水平放置的兩根平行金屬導(dǎo)軌置于垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,導(dǎo)軌間距為L(zhǎng).導(dǎo)軌左端連接一電阻,阻值為R.有一質(zhì)量為m的金屬棒放置在導(dǎo)軌平面上,并與導(dǎo)軌垂直.棒以初速度v0開(kāi)始運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)時(shí)間t后停下,棒與導(dǎo)軌電阻均不計(jì),棒與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,求:金屬棒整個(gè)過(guò)程通過(guò)的位移.

        圖5

        【解析】由牛頓第二定律,有

        等式兩邊同乘Δt,得

        求和后得

        解得棒通過(guò)的位移

        【模型應(yīng)用2】跳傘運(yùn)動(dòng)員從2 000 m高空跳下,在開(kāi)始下落的過(guò)程中未打開(kāi)降落傘.設(shè)初速度為零,所受空氣阻力與下落速率關(guān)系為f=k1v,k1>0,加速至獲得穩(wěn)定速度為vm=50 m/s時(shí)運(yùn)動(dòng)員離地面高度s=200 m,此后打開(kāi)降落傘,在2 s內(nèi)速度減小到v1=5 m/s,達(dá)到穩(wěn)定,此過(guò)程所受空氣阻力與下落速率的關(guān)系為f=k2v,k2>0,然后勻速下落到地面.求:(1)運(yùn)動(dòng)員打開(kāi)降落傘后運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(2)運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間.

        【解析】打開(kāi)傘前運(yùn)動(dòng)員做加速運(yùn)動(dòng)至速度為vm,此時(shí)

        k1vm=mg

        (1)

        而此加速過(guò)程中

        (2)

        (3)

        (4)

        其中

        x1=(2 000-200) m=1 800 m

        聯(lián)立解得

        t1=41 s

        開(kāi)傘后運(yùn)動(dòng)員做減速運(yùn)動(dòng)至速度為v1,此時(shí)

        k2v1=mg

        (5)

        而此減速過(guò)程中

        (6)

        (7)

        (8)

        聯(lián)立解得開(kāi)傘后減速運(yùn)動(dòng)的位移

        x2=32.5 m

        則勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

        所以打開(kāi)傘后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

        t2+t3=35.5 s

        運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為

        t1+t2+t3=76.5 s

        【模型總結(jié)】“傘兵空降”模型從運(yùn)動(dòng)過(guò)程來(lái)看是加速度逐漸減小的減速直線運(yùn)動(dòng),最終的穩(wěn)定態(tài)加速度為零,速度最小.

        3 模型總結(jié)

        在高中階段會(huì)接觸很多變加速直線運(yùn)動(dòng),大多數(shù)屬于這兩類(lèi)比較基本模型.在解決一些新情境的題目時(shí)如果能夠準(zhǔn)確識(shí)別運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn),解決問(wèn)題就變得容易許多.其實(shí)這兩類(lèi)模型從本質(zhì)上看都是變加速直線運(yùn)動(dòng),且加速度與速度呈線性關(guān)系.通過(guò)對(duì)加速度表達(dá)式兩邊同乘以時(shí)間微元Δt的方法,再兩邊求和,從而得出速度變化量Δv、位移x、運(yùn)動(dòng)總時(shí)間t這三者之間的關(guān)系,在題目中根據(jù)已知量求解未知量,解決問(wèn)題.此方法也是江蘇高考近幾年的考查熱點(diǎn).

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