李晶

(淮陰中學(xué) 江蘇 淮安 223001)

高中物理研究的直線運動主要是勻變速運動和簡單的變加速運動，而在變加速直線運動中有兩種最典型且最基本的模型，即“雨滴下落”模型和“傘兵空降”模型.

1 模型一——雨滴下落模型

一質(zhì)量為m的雨滴在高空由靜止開始下落，設(shè)下落過程中受到的空氣阻力與雨滴下落速率成正比，即f=kv，重力加速度為g.

【問題1】求解雨滴下落的終極速度.

圖1

【問題2】設(shè)雨滴從靜止下落到速度最大所用時間為t，求解雨滴達到終極速度前下落的位移x.

等式兩邊求和

即

而

解得

【模型應(yīng)用1】如圖2所示，水平放置的兩根光滑平行金屬導(dǎo)軌置于垂直于導(dǎo)軌平面的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度為B，導(dǎo)軌間距為L.導(dǎo)軌左端連接一電阻，阻值為R.有一質(zhì)量為m的金屬棒放置在導(dǎo)軌平面上，并與導(dǎo)軌垂直，在恒定拉力F的作用下由靜止開始運動，經(jīng)過時間t，金屬棒速度達到穩(wěn)定，棒與導(dǎo)軌電阻均不計.求：(1)金屬棒最終的穩(wěn)定速度；(2)金屬棒達到穩(wěn)定速度前通過的位移.

圖2

當(dāng)a=0時，最大速度

等式兩邊同乘Δt得

兩邊同時求和得

解得通過的位移

【模型應(yīng)用2】如圖3所示，PQ為一根足夠長的絕緣細直桿豎直固定，空間充滿磁感應(yīng)強度為B的水平勻強磁場，方向垂直紙面向里.一個質(zhì)量為m，帶有正電荷的小球套在PQ桿上，小球可沿桿滑動，球與桿之間的動摩擦因數(shù)為μ，小球帶電荷為+q，重力加速度為g.現(xiàn)將小球由靜止開始釋放，經(jīng)過時間t達到最大速度，試求：小球在沿桿下滑過程中(1)最大速度；(2)從釋放到達到最大速度的位移.

圖3

【解析】當(dāng)a=0時速度最大，即

解得

小球由靜止釋放做加速度減小的加速運動，其加速度

兩邊同乘Δt，得

兩邊同時求和，得

解得從釋放到速度最大時的位移為

【模型總結(jié)】高中階段除了“雨滴下落”和電磁感應(yīng)中導(dǎo)體棒的運動、磁場中帶電體的運動等，還有很多類似的例子.其實從運動過程來看都是加速度逐漸減小的加速直線運動，最終的穩(wěn)定態(tài)加速度為零，速度最大.

2 模型二——傘兵空降模型

一質(zhì)量為m的傘兵從足夠高的高空跳下，加速運動到一穩(wěn)定速度v0后打開降落傘，此后受到的空氣阻力與傘兵速率成正比，即f=kv，重力加速度為g.

【問題1】求解傘兵最終的速度.

【解析】傘兵跳下后可看作先經(jīng)歷一加速運動直至速度v0，加速過程類似于雨滴下落.開傘后由于初速度很大，空氣阻力大于重力，做減速運動且

kv-mg=ma

隨著速率的減小，加速度a逐漸減小，最終當(dāng)a=0時，傘兵達到最小速度，即終極速度

傘兵做的是加速度逐漸減小的減速運動，此過程的v-t圖像如圖4所示.

圖4

【問題2】設(shè)傘兵從開傘到速度最小所用時間為t，求解傘兵從開傘到速度最小時的位移x.

【解析】此過程傘兵做的是變加速直線運動.根據(jù)牛頓第二定律知傘兵加速度

即加速度隨v線性變化.設(shè)時間微元為Δt，可得

等式兩邊求和得

而

解得

【模型應(yīng)用1】如圖5所示，水平放置的兩根平行金屬導(dǎo)軌置于垂直于導(dǎo)軌平面的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度為B，導(dǎo)軌間距為L.導(dǎo)軌左端連接一電阻，阻值為R.有一質(zhì)量為m的金屬棒放置在導(dǎo)軌平面上，并與導(dǎo)軌垂直.棒以初速度v0開始運動，經(jīng)過時間t后停下，棒與導(dǎo)軌電阻均不計，棒與導(dǎo)軌間動摩擦因數(shù)為μ，求：金屬棒整個過程通過的位移.

圖5

【解析】由牛頓第二定律，有

得

等式兩邊同乘Δt，得

求和后得

解得棒通過的位移

【模型應(yīng)用2】跳傘運動員從2 000 m高空跳下，在開始下落的過程中未打開降落傘.設(shè)初速度為零，所受空氣阻力與下落速率關(guān)系為f=k1v，k1>0，加速至獲得穩(wěn)定速度為vm=50 m/s時運動員離地面高度s=200 m，此后打開降落傘，在2 s內(nèi)速度減小到v1=5 m/s，達到穩(wěn)定，此過程所受空氣阻力與下落速率的關(guān)系為f=k2v，k2>0，然后勻速下落到地面.求：(1)運動員打開降落傘后運動的時間(2)運動員在空中運動的總時間.

【解析】打開傘前運動員做加速運動至速度為vm，此時

k1vm=mg

(1)

而此加速過程中

(2)

(3)

即

(4)

其中

x1=(2 000-200) m=1 800 m

聯(lián)立解得

t1=41 s

開傘后運動員做減速運動至速度為v1，此時

k2v1=mg

(5)

而此減速過程中

(6)

(7)

(8)

聯(lián)立解得開傘后減速運動的位移

x2=32.5 m

則勻速運動的時間

所以打開傘后的運動時間為

t2+t3=35.5 s

運動員在空中運動的總時間為

t1+t2+t3=76.5 s

【模型總結(jié)】“傘兵空降”模型從運動過程來看是加速度逐漸減小的減速直線運動，最終的穩(wěn)定態(tài)加速度為零，速度最小.

3 模型總結(jié)

在高中階段會接觸很多變加速直線運動，大多數(shù)屬于這兩類比較基本模型.在解決一些新情境的題目時如果能夠準確識別運動的特點，解決問題就變得容易許多.其實這兩類模型從本質(zhì)上看都是變加速直線運動，且加速度與速度呈線性關(guān)系.通過對加速度表達式兩邊同乘以時間微元Δt的方法，再兩邊求和，從而得出速度變化量Δv、位移x、運動總時間t這三者之間的關(guān)系，在題目中根據(jù)已知量求解未知量，解決問題.此方法也是江蘇高考近幾年的考查熱點.