李晶

(淮陰中學(xué) 江蘇 淮安 223001)

高中物理研究的直線運(yùn)動(dòng)主要是勻變速運(yùn)動(dòng)和簡(jiǎn)單的變加速運(yùn)動(dòng)，而在變加速直線運(yùn)動(dòng)中有兩種最典型且最基本的模型，即“雨滴下落”模型和“傘兵空降”模型.

1 模型一——雨滴下落模型

一質(zhì)量為m的雨滴在高空由靜止開(kāi)始下落，設(shè)下落過(guò)程中受到的空氣阻力與雨滴下落速率成正比，即f=kv，重力加速度為g.

【問(wèn)題1】求解雨滴下落的終極速度.

圖1

【問(wèn)題2】設(shè)雨滴從靜止下落到速度最大所用時(shí)間為t，求解雨滴達(dá)到終極速度前下落的位移x.

等式兩邊求和

即

而

解得

【模型應(yīng)用1】如圖2所示，水平放置的兩根光滑平行金屬導(dǎo)軌置于垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng).導(dǎo)軌左端連接一電阻，阻值為R.有一質(zhì)量為m的金屬棒放置在導(dǎo)軌平面上，并與導(dǎo)軌垂直，在恒定拉力F的作用下由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，金屬棒速度達(dá)到穩(wěn)定，棒與導(dǎo)軌電阻均不計(jì).求：(1)金屬棒最終的穩(wěn)定速度；(2)金屬棒達(dá)到穩(wěn)定速度前通過(guò)的位移.

圖2

當(dāng)a=0時(shí)，最大速度

等式兩邊同乘Δt得

兩邊同時(shí)求和得

解得通過(guò)的位移

【模型應(yīng)用2】如圖3所示，PQ為一根足夠長(zhǎng)的絕緣細(xì)直桿豎直固定，空間充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里.一個(gè)質(zhì)量為m，帶有正電荷的小球套在PQ桿上，小球可沿桿滑動(dòng)，球與桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，小球帶電荷為+q，重力加速度為g.現(xiàn)將小球由靜止開(kāi)始釋放，經(jīng)過(guò)時(shí)間t達(dá)到最大速度，試求：小球在沿桿下滑過(guò)程中(1)最大速度；(2)從釋放到達(dá)到最大速度的位移.

圖3

【解析】當(dāng)a=0時(shí)速度最大，即

解得

小球由靜止釋放做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，其加速度

兩邊同乘Δt，得

兩邊同時(shí)求和，得

解得從釋放到速度最大時(shí)的位移為

【模型總結(jié)】高中階段除了“雨滴下落”和電磁感應(yīng)中導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)、磁場(chǎng)中帶電體的運(yùn)動(dòng)等，還有很多類(lèi)似的例子.其實(shí)從運(yùn)動(dòng)過(guò)程來(lái)看都是加速度逐漸減小的加速直線運(yùn)動(dòng)，最終的穩(wěn)定態(tài)加速度為零，速度最大.

2 模型二——傘兵空降模型

一質(zhì)量為m的傘兵從足夠高的高空跳下，加速運(yùn)動(dòng)到一穩(wěn)定速度v0后打開(kāi)降落傘，此后受到的空氣阻力與傘兵速率成正比，即f=kv，重力加速度為g.

【問(wèn)題1】求解傘兵最終的速度.

【解析】傘兵跳下后可看作先經(jīng)歷一加速運(yùn)動(dòng)直至速度v0，加速過(guò)程類(lèi)似于雨滴下落.開(kāi)傘后由于初速度很大，空氣阻力大于重力，做減速運(yùn)動(dòng)且

kv-mg=ma

隨著速率的減小，加速度a逐漸減小，最終當(dāng)a=0時(shí)，傘兵達(dá)到最小速度，即終極速度

傘兵做的是加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，此過(guò)程的v-t圖像如圖4所示.

圖4

【問(wèn)題2】設(shè)傘兵從開(kāi)傘到速度最小所用時(shí)間為t，求解傘兵從開(kāi)傘到速度最小時(shí)的位移x.

【解析】此過(guò)程傘兵做的是變加速直線運(yùn)動(dòng).根據(jù)牛頓第二定律知傘兵加速度

即加速度隨v線性變化.設(shè)時(shí)間微元為Δt，可得

等式兩邊求和得

而

解得

【模型應(yīng)用1】如圖5所示，水平放置的兩根平行金屬導(dǎo)軌置于垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng).導(dǎo)軌左端連接一電阻，阻值為R.有一質(zhì)量為m的金屬棒放置在導(dǎo)軌平面上，并與導(dǎo)軌垂直.棒以初速度v0開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后停下，棒與導(dǎo)軌電阻均不計(jì)，棒與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，求：金屬棒整個(gè)過(guò)程通過(guò)的位移.

圖5

【解析】由牛頓第二定律，有

得

等式兩邊同乘Δt，得

求和后得

解得棒通過(guò)的位移

【模型應(yīng)用2】跳傘運(yùn)動(dòng)員從2 000 m高空跳下，在開(kāi)始下落的過(guò)程中未打開(kāi)降落傘.設(shè)初速度為零，所受空氣阻力與下落速率關(guān)系為f=k1v，k1>0，加速至獲得穩(wěn)定速度為vm=50 m/s時(shí)運(yùn)動(dòng)員離地面高度s=200 m，此后打開(kāi)降落傘，在2 s內(nèi)速度減小到v1=5 m/s，達(dá)到穩(wěn)定，此過(guò)程所受空氣阻力與下落速率的關(guān)系為f=k2v，k2>0，然后勻速下落到地面.求：(1)運(yùn)動(dòng)員打開(kāi)降落傘后運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(2)運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間.

【解析】打開(kāi)傘前運(yùn)動(dòng)員做加速運(yùn)動(dòng)至速度為vm，此時(shí)

k1vm=mg

(1)

而此加速過(guò)程中

(2)

(3)

即

(4)

其中

x1=(2 000-200) m=1 800 m

聯(lián)立解得

t1=41 s

開(kāi)傘后運(yùn)動(dòng)員做減速運(yùn)動(dòng)至速度為v1，此時(shí)

k2v1=mg

(5)

而此減速過(guò)程中

(6)

(7)

(8)

聯(lián)立解得開(kāi)傘后減速運(yùn)動(dòng)的位移

x2=32.5 m

則勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

所以打開(kāi)傘后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

t2+t3=35.5 s

運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為

t1+t2+t3=76.5 s

【模型總結(jié)】“傘兵空降”模型從運(yùn)動(dòng)過(guò)程來(lái)看是加速度逐漸減小的減速直線運(yùn)動(dòng)，最終的穩(wěn)定態(tài)加速度為零，速度最小.

3 模型總結(jié)

在高中階段會(huì)接觸很多變加速直線運(yùn)動(dòng)，大多數(shù)屬于這兩類(lèi)比較基本模型.在解決一些新情境的題目時(shí)如果能夠準(zhǔn)確識(shí)別運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，解決問(wèn)題就變得容易許多.其實(shí)這兩類(lèi)模型從本質(zhì)上看都是變加速直線運(yùn)動(dòng)，且加速度與速度呈線性關(guān)系.通過(guò)對(duì)加速度表達(dá)式兩邊同乘以時(shí)間微元Δt的方法，再兩邊求和，從而得出速度變化量Δv、位移x、運(yùn)動(dòng)總時(shí)間t這三者之間的關(guān)系，在題目中根據(jù)已知量求解未知量，解決問(wèn)題.此方法也是江蘇高考近幾年的考查熱點(diǎn).