林榕 方戈亮
(沈陽(yáng)師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 遼寧 沈陽(yáng)110034)
【題目】(2009年遼寧、廣西高考理綜卷第24題)冰壺比賽是在水平冰面上進(jìn)行的體育項(xiàng)目,比賽場(chǎng)地如圖1所示.比賽時(shí),運(yùn)動(dòng)員從起滑架處推著冰壺出發(fā),在投擲線AB處放手讓冰壺以一定的速度滑出,使冰壺的停止位置盡量靠近圓心O.為使冰壺滑行得更遠(yuǎn),運(yùn)動(dòng)員可以用毛刷擦冰壺運(yùn)行前方的冰面,使冰壺與冰面間的動(dòng)摩擦因數(shù)減小.設(shè)冰壺與冰面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1=0.008 ,用毛刷擦冰面后動(dòng)摩擦因數(shù)減小至μ2=0.004.在某次比賽中,運(yùn)動(dòng)員使冰壺C在投擲線中點(diǎn)處以2 m/s的速度沿虛線滑出.為使冰壺C能夠沿虛線恰好到達(dá)圓心O點(diǎn),運(yùn)動(dòng)員用毛刷擦冰面的長(zhǎng)度應(yīng)為多少?(g取10 m/s2)
圖1
由題意可設(shè)冰壺在投擲線處的速度為v=2
m/s,v0=0 ,μ1=0.008 ,μ2=0.004 ,g=10 m/s2.同時(shí)設(shè)冰壺在未被毛刷擦過(guò)的冰面上滑過(guò)的距離為s1,冰壺在被毛刷擦過(guò)的冰面上滑過(guò)的距離為s2,投擲線到圓心O的距離為s=30 m,如圖2所示.
圖2
方案1根據(jù)動(dòng)能定理
解法1.1:如圖2,由A到O全程應(yīng)用動(dòng)能定理,有
由題意有
s1+s2=s
聯(lián)立以上二式,解得s2=10 m
即冰壺首先在未被擦過(guò)的冰面滑行20 m距離,然后再在用毛刷擦過(guò)的冰面滑行10 m恰好到達(dá)O點(diǎn)停止.
解法1.2:如圖2,由A到O分段應(yīng)用動(dòng)能定理,有
AB段
BO段
s1+s2=s
聯(lián)立以上三式,解得s2=10 m
解法1.3:如圖2,由A到O分段應(yīng)用動(dòng)能定理,但是與上面不同的是,也可以假設(shè)冰壺首先以vA=2 m/s的初速度在被毛刷擦過(guò)的冰面上滑行s1,然后再在未被毛刷擦過(guò)的冰面上滑行s2,則有
AB段
BO段
s1+s2=s
聯(lián)立以上三式,解得s2=10 m
即冰壺首先在被毛刷擦過(guò)的冰面滑行10 m距離,然后再在未被毛刷擦過(guò)的冰面滑行20 m恰好到達(dá)O點(diǎn)停止.
方案2根據(jù)牛頓第二定律和勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律
解法2.1:如圖2,由A到O冰壺經(jīng)歷兩段勻減速直線運(yùn)動(dòng),有
AB段
f1=μ1mg=ma1
vB2-vA2=-2a1s1
BO段
f2=μ2mg=ma2
0-vB2=-2a2s2
s1+s2=s
聯(lián)立以上五式,解得s2=10 m
解法2.2:如圖2,由A到O冰壺經(jīng)歷兩段勻減速直線運(yùn)動(dòng),有
AB段
f1=μ1mg=ma1
vB=vA-a1t1
BO段
f2=μ2mg=ma2
vB=a2t2
s1+s2=s
聯(lián)立以上七式,解得s2=10 m
解法2.3:冰壺由A到O的兩段勻減速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程,也可以等效為由O到A的兩段勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程,則有
OB段
f2=μ2mg=ma2
vB=a2t2
BA段
f1=μ1mg=ma1
vA=vB+a1t1
s1+s2=s
聯(lián)立以上七式,解得s2=10 m
方案3根據(jù)動(dòng)量定理和勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律
解法3.1:如圖2,由A到O,有
μ1mgt1+μ2mgt2=mvA
AB段
a1=μ1g
BO段
a2=μ2g
μ2mgt2=mvB
s1+s2=s
聯(lián)立以上七式,解得s2=10 m
解法3.2:根據(jù)動(dòng)量定理和平均速度公式,有
AO段
μ1mgt1+μ2mgt2=mvA
BO段
μ2mgt2=mvB
聯(lián)立以上四式,解得s2=10 m
解法3.3:分兩段應(yīng)用動(dòng)量定理和平均速度公式
AB段
BO段
聯(lián)立以上二式,解得s2=10 m
方案4根據(jù)功的概念和勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律
解法4.1:在冰壺的兩段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,兩個(gè)摩擦力所做的功之和可以等效為某一個(gè)力F=ma在整個(gè)路程s上所做的功,即
μ1mgs1+μ2mgs2=mas
并且有
-vA2=-2as
s1+s2=s
聯(lián)立以上三式,解得s2=10 m
解法4.2:如果不用毛刷擦冰面,冰壺以速度vA=2 m/s出發(fā),將滑行l(wèi)后停止.而l滿足
并且有
0=vA-a1t
a1=μ1g
聯(lián)立以上三式,解得l=25 m
可見(jiàn),如果不用毛刷擦冰面,冰壺以vA=2 m/s速度出發(fā)將只能滑行l(wèi)=25 m,距終點(diǎn)還有30 m-25 m=5 m .所以,冰壺要到達(dá)O點(diǎn),必須用毛刷擦一段冰面s2,則摩擦力f2=μ2mg在s2路程上所做的功應(yīng)該等于摩擦力f1=μ1mg在5 m路程上所做的功,即
μ2mgs2=μ1mg·(s-l)
由此解得s2=10 m
即需要冰壺在毛刷擦過(guò)的冰面上滑行s2=10 m后停止在O點(diǎn).
方案5平均速度方法
AB段
vA=vB+a1t1=vB+μ1gt1
BO段
vB=a2t2=μ2gt2
s1+s2=s
聯(lián)立以上五式,解得s2=10 m
方案6幾何方法——利用v-t圖像方法
如圖3所示,可得
圖3
vB=vA-a1t1=vA-μ1gt1
vB=a2t2=μ2gt2
聯(lián)立以上三式,解得s2=10 m
方案7比例分配法
α+β=1
又設(shè)等效摩擦因數(shù)
μ3=αμ1+βμ2
則有
聯(lián)立以上四式,解得s2=10 m
解法7.2:由方法案4的結(jié)果可知,如果不用毛刷擦冰面,冰壺以vA=2 m/s速度出發(fā)將只能滑行l(wèi)=25 m,如圖4所示,所以必須在C點(diǎn)前B處開(kāi)始用毛刷擦冰面,擦能保證冰壺最終到達(dá)O點(diǎn)停止.若設(shè)同是從B點(diǎn)以vB為初速度出發(fā),分別在摩擦因數(shù)為μ1和μ2的兩種冰面上滑行的距離為x1和x2,則有
圖4
所以可得
代入l數(shù)值,解得s2=10 m
小結(jié)以上七個(gè)方案15種解法中,方案1、4、7較為簡(jiǎn)單.試題的信息及考查結(jié)果啟示我們,在平時(shí)的物理教學(xué)和備考復(fù)習(xí)中,應(yīng)該強(qiáng)化物理概念的意義建構(gòu),突出物理過(guò)程、物理情境的分析,正確建立物理模型及相關(guān)物理方程,應(yīng)是廣大物理教師努力的重點(diǎn).加強(qiáng)基礎(chǔ)訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生理解能力、推理能力、分析綜合能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問(wèn)題能力,也是物理教學(xué)的重要任務(wù).鑒于此,我們要有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)一些物理問(wèn)題,引發(fā)學(xué)生深層思維實(shí)際物理情境,指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析建模,要細(xì)化物理基本概念基本規(guī)律和基本思維方法的教育;要重視應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題的基本運(yùn)算訓(xùn)練.