仇長(zhǎng)帥

(江蘇教育學(xué)院附屬高級(jí)中學(xué) 江蘇 南京 210036)

物理教學(xué)中，經(jīng)常碰到一些極值問(wèn)題，學(xué)生大都感到十分棘手.物理極值問(wèn)題，簡(jiǎn)單說(shuō)就是求某物理量在某過(guò)程中的極大值或極小值.物理極值問(wèn)題是中學(xué)物理教學(xué)經(jīng)常遇到的一個(gè)重要內(nèi)容，涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生數(shù)理結(jié)合、綜合分析能力要求較高.物理極值問(wèn)題已成為中學(xué)生學(xué)習(xí)物理的一大難點(diǎn)，解決這類問(wèn)題一般有兩種途徑：一是極值問(wèn)題的數(shù)學(xué)解法；二是極值問(wèn)題的物理解法.筆者主要討論后者，就如何巧用“矢量圖”分析物理極值問(wèn)題進(jìn)行一些探討.

所謂“矢量圖”，就是矢量的合成與分解示意圖，矢量圖是處理物理問(wèn)題必備的分析方法之一.矢量運(yùn)算依據(jù)平行四邊形定則，也可簡(jiǎn)化為三角形法則.平行四邊形定則是一切矢量運(yùn)算的普遍法則，在矢量合成與分解的問(wèn)題中，尤其是一些動(dòng)態(tài)變化的問(wèn)題，應(yīng)用平行四邊形定則或三角形法則進(jìn)行分析求解就顯得很方便.

【解析】

方法一：函數(shù)法求解

設(shè)所加的外力F與水平方向的夾角為α，受力如圖1(a).則

Fcosα-μ(mg-Fsinα)=0

即

而

則

當(dāng)α=30°時(shí)，F(xiàn)最小，最小值為

方法二：矢量圖求解

物體相對(duì)地面滑動(dòng)時(shí)，受到如圖1(a)所示的4個(gè)力.并且f=μN(yùn)，故

設(shè)f與N的合力為F1，如圖1(b)所示，則不論支持力N如何變化，摩擦力f與支持力N的比值μ不變， 故圖中θ不變，即

則

θ=30°

本題物體的受力可做如下等效變化：重力mg、支持力與摩擦力的合力F1、拉力F，如圖1(c)所示.由于F1與F的合力F2總與mg等大反向且F1的方向不變，由矢量三角形知識(shí)可得，只有當(dāng)F與F1垂直時(shí)，F(xiàn)才最小.

圖1

故

且F與水平方向夾角為30°.

總結(jié)：本題兩種求解方法均可采用，但是用矢量圖求解時(shí)，求解力F最小值所對(duì)應(yīng)的物理意義明顯，這一點(diǎn)從函數(shù)方法很難看出來(lái).

【例2】如圖2所示，A船從港口P出發(fā)，攔截正以速度v0沿直線航行的船B.P與B所在的航線的垂直距離為a，A船啟航時(shí)，B與P的距離為b， 且b>a.如略去A船啟動(dòng)時(shí)的加速過(guò)程，認(rèn)為它一啟航就做勻速運(yùn)動(dòng)，求A船能攔到B船所需的最小速度vmin.

圖2

【解析】

方法一：設(shè)A船的速度為v，運(yùn)動(dòng)方向與PO的夾角為α，由兩船運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等并結(jié)合圖3中幾何關(guān)系可得

圖3

顯然，當(dāng)α+β=90°時(shí)，A船的速率最小，最小值為

結(jié)合圖3得，A船的運(yùn)動(dòng)方向應(yīng)與A、B兩船開(kāi)始時(shí)位置的連線垂直.

方法二：設(shè)A船的速度為v，運(yùn)動(dòng)方向與A、B連線的夾角為α，如圖4所示，由兩船運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等并結(jié)合正弦定理得

圖4

由于∠ABC及v0為定值，只有當(dāng)α=90°時(shí)，A船的速率最小，此時(shí)，最小值為

方法三：以B船為參照系，欲使A船能攔截到B船，A船應(yīng)正對(duì)B船運(yùn)動(dòng)，即A船相對(duì)于B船的速度方向v合應(yīng)由A指向B.而

v合=vA對(duì)B=vA對(duì)地+v地對(duì)B

由于大地相對(duì)于B的速度為v0，方向與B船相對(duì)于地面的速度方向相反，設(shè)A船相對(duì)于B船的速度為v合，大地對(duì)B的速度為v0，A對(duì)地的速度為v，滿足

v合=v+v0

圖5

由圖5可看出，只有當(dāng)v與v合方向垂直時(shí)，v才最小.由

得

最小速度

即運(yùn)動(dòng)方向應(yīng)與A、B兩船開(kāi)始時(shí)位置的連線垂直.

總結(jié)：本題前兩種方法側(cè)重?cái)?shù)學(xué)處理，最后一種方法側(cè)重物理分析.我們不難發(fā)現(xiàn)處理相對(duì)運(yùn)動(dòng)等復(fù)雜運(yùn)動(dòng)時(shí)，涉及速度、位移或加速度等矢量運(yùn)算時(shí)，若用矢量圖求解常會(huì)收到意想不到的效果.

【例3】如圖6，從h高處斜向上拋出一初速度大小為v0的物體，試討論拋出角θ為多大時(shí)，物體落地的水平位移x最大.

【解析】

方法一：將物體的初速度v0分解，則

(1)

圖6

由運(yùn)動(dòng)的合成與分解知識(shí)，有

(2)

聯(lián)立兩式，消去角度θ可知

該方程有解，故Δ≥0，解得

即

方法二：物體做拋體運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)下落h高度后落地末速度為v，則

所以

又因?yàn)槲矬w只受重力作用，故在下落h高度的時(shí)間t內(nèi)，速度增量Δv方向始終豎直向下，大小為

Δv=gt

則v0、v與Δv構(gòu)成如圖7所示矢量三角形關(guān)系.(圖中θ角、α角分別是初速度、落地速度與水平方向的夾角)

圖7

注意到矢量三角形的面積

而拋體飛行的水平位移

x=v0tcosθ

則有

(3)

所以，當(dāng)矢量三角形面積S△最大時(shí)，水平位移x出現(xiàn)最大值.

又由于

(4)

而v0、v大小確定，則當(dāng)(θ+α)=90°，S△有最大值.

此時(shí)

即

聯(lián)立(3)、(4)可知

故

即物體飛行的水平位移最大值.

總結(jié)：本題所述兩種方法都涉及矢量圖分析，但方法一側(cè)重?cái)?shù)學(xué)處理，方法二則抓住速度矢量變化的特點(diǎn)，故實(shí)際運(yùn)算過(guò)程比方法一要簡(jiǎn)單得多.本題的求解再次說(shuō)明做物理題目要注意到物理過(guò)程分析、物理意義分析，不能把物理題簡(jiǎn)單當(dāng)作數(shù)學(xué)題求解.

從上面的幾個(gè)例題中可看出，和其他物理問(wèn)題比較，極值問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用較多，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力會(huì)有幫助.但這并不應(yīng)該成為物理教學(xué)的重點(diǎn)，因?yàn)閿?shù)學(xué)要作為研究物理的工具.在中學(xué)物理教學(xué)活動(dòng)中，既要突出強(qiáng)調(diào)物理基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，又要抓好物理過(guò)程的分析、推理、判斷，抓好物理模型和物理情景的建立，使學(xué)生掌握解決問(wèn)題的正確思路和技巧，這對(duì)解決極值問(wèn)題，乃至對(duì)提高中學(xué)物理的教學(xué)質(zhì)量會(huì)有極大好處.

總之，中學(xué)物理中的極值問(wèn)題涉及的知識(shí)面廣，類型多而且復(fù)雜，處理方法多樣，對(duì)于同一問(wèn)題可采取多種不同方法來(lái)解答.本文只是巧用“矢量圖”對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)涉及到的極值問(wèn)題、解題方法作一些簡(jiǎn)單的介紹.好的物理方法不僅能起到提高解題速度與準(zhǔn)確率的良好效果，同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生自主探究的習(xí)慣和能力，它是連接知識(shí)和能力的紐帶，是學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的前提.