徐長偉,郝淑雙

( 1.中原工學(xué)院 理學(xué)院 河南 鄭州 450007;2.黃河科技學(xué)院 河南 鄭州 450063)

房地產(chǎn)是支撐中國經(jīng)濟(jì)的重要組成部分，是GDP增長的直接推動力，也是地方經(jīng)濟(jì)的主要貢獻(xiàn)者，土地出讓金約占地方財政收入的一半左右.但是近幾年來，房價越來越高，已成為關(guān)系國計民生的重大問題，2009年12月份以來，國務(wù)院連續(xù)出臺抑制房價過快增長政策，使得房價這個熱點問題成為眾矢之的.人們不免要關(guān)心房價的宏觀預(yù)測與微觀預(yù)測以便采取相應(yīng)的決策.本文應(yīng)用馬氏鏈理論建立模型，類似股市中的技術(shù)分析，僅從理論上嘗試性地預(yù)測短期內(nèi)房產(chǎn)銷售定價問題.

1 馬氏鏈理論

定義1 設(shè)隨機(jī)過程Xn(n∈T)的時間集合T={1,2,3,…}，狀態(tài)空間E={1,2,3…k}，即Xn(n∈T)是時間離散、狀態(tài)離散的隨機(jī)過程.若對任意的整數(shù)n∈T，滿足

P{Xn+1=xn+1|Xn=xn,…,X0=x0}=
P{Xn+1=xn+1|Xn=xn}

(1)

則稱Xn(n∈T)為馬爾可夫鏈，簡稱馬氏鏈.(1)式稱為過程的馬爾可夫性或無后效性.它表示隨機(jī)過程在每一時刻的狀態(tài)僅僅取決于過程在前一時刻的狀態(tài)，而與這之前的狀態(tài)無關(guān).

定義2 稱條件概率Pij=P{Xn+1=i|Xn=j},i,j=1,2,…,k為馬氏鏈Xn(n∈T)的單步轉(zhuǎn)移概率，簡稱轉(zhuǎn)移概率.記矩陣P=(Pij)k×k為轉(zhuǎn)移概率矩陣.記ai(n)=p(Xn=i),i=1,2,…,k,n=0,1,…,ai(n)稱為狀態(tài)概率,滿足∑ki=1ai(n)=1.a(n)=(ai(n),a2(n),…,ak(n)稱為狀態(tài)概率向量.

馬氏鏈的基本方程為：

ai(n+1)=∑kj=1aj(n)pji,i=1,2,…,k

矩陣表示為：

a(n+1)=a(n)p或a(n)=a(0)Pn

(2)

定義3 一個有k個狀態(tài)的馬氏鏈如果存在正整數(shù)N，使得從任意狀態(tài)i經(jīng)N次轉(zhuǎn)移部以大于零的概率到達(dá)狀態(tài)j(i,j=1,2,…,k)，則稱為正則鏈.

定理1 若馬氏鏈的轉(zhuǎn)移矩陣為P，則它是正則鏈的充要條件是存在正整數(shù)N使PN>0.

定理2 正則鏈存在唯一的極限狀態(tài)概率w=(w1,w2,…,wk)，使得當(dāng)n→+∞.時狀態(tài)概率a(n)→w，w與初始狀態(tài)概率a(0)無關(guān).w稱為穩(wěn)態(tài)概率.滿足wP=w,其中w滿足∑ki=1wi=1,wi≥0.

商品住宅銷售量和價格都是依賴于時間T的隨機(jī)變量，是隨機(jī)過程，商品住宅銷售量和價格在時刻t(t>T)所處的狀態(tài)都只與時刻t的狀態(tài)有關(guān)，而與t時刻以前所處的狀態(tài)無關(guān)，具有無后效性，以房價為例，即下月的房價只受本月房價的影響，而認(rèn)為上月的房價對下月的房價無關(guān).又因為商品住宅每月的均價是可列個狀態(tài)a1,a2,a3,…, 而且只在t1,t2,t3,…可列個時刻發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移，故商品住宅銷售量和房價的變化過程是馬爾可夫鏈.

2 商品住宅價格預(yù)測

下面是2009年12個月鄭州商品住宅每月銷售均價如表1.

表1 2009年鄭州商品住宅銷售均價表

我們將價格分為四個區(qū)間3900～4300，4300～4500，4500～4700，4700～4900，每個區(qū)間算作一個狀態(tài)，其狀態(tài)空間為(1，2，3，4)，由表1可得表2.

表2銷售均價狀態(tài)分類表

設(shè)鄭州商品住宅每月銷售均價為Xn(n=1,2,3,…)，則Xn為離散時間馬氏鏈.利用表2我們可以構(gòu)造單步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

P=(0100

120012

003414

002313)

由(2)式可得兩步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

P=(120012

0121316

0035481348

001318518)，

利用Matlab可類似求得p3，p4，p5，p6，p7，p8，p9，p10，p11，p12.

利用馬氏鏈基本方程和不同的初始狀態(tài)，我們可以得到2010年1月份商品住宅價格的狀態(tài)概率分布如表3.表3的編制方法為：表 3中月序號為2009.12的第一行起始狀態(tài)為 3，轉(zhuǎn)移步數(shù)為 1，則在一階轉(zhuǎn)移矩陣中取第三行；月序號為2009.11的第二行起始狀態(tài)為4，轉(zhuǎn)移步數(shù)為2，則在二階轉(zhuǎn)移矩陣中取第四行，依次類推．然后求和，最后用合計欄中的數(shù)字除 12 ( 12為表中所有的轉(zhuǎn)移步數(shù)的種數(shù))，即得到平均概率分布欄．

表32010年1月份商品住宅價格的狀態(tài)概率分布預(yù)測表

表3說明：起始月序號為2009.12的第一行中右邊的狀態(tài)概率分布欄，即為由2009.12的狀態(tài)通過一步轉(zhuǎn)移得到的2010.01的概率分布．第二行即為由2009.11的狀態(tài)通過二步轉(zhuǎn)移得到的2010.01的概率分布．依次類推，最后一行得到2010.01的平均概率分布為(0.0078，0，0.7173，0.2749)．

由平均概率分布可以確定如下的定價策略：預(yù)測2010年1月份

最低房價為：3900*0.0078+4500*0.7173+4700*0.2749=4550(元)，

最高房價為：4300*0.0078+4700*0.7173+4900*0.2749=4752(元)，

房價的期望值(平均值)為：(4752+4550)/2=4651(元).

我們也可以進(jìn)一步縮小價格區(qū)間將狀態(tài)空間劃分得更多一些，這樣可使得預(yù)測值更精確.另外，也可以對房價做長期預(yù)測，由定理1狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P為正則鏈，故存在穩(wěn)態(tài)概率，由穩(wěn)態(tài)概率a(n+1)=a(n)P及定理2w=wP，可解得w=(0,0,811,311).由此我們可計算遠(yuǎn)期房價的期望值為4655元.但長期預(yù)測有很大的缺點，在受政策，利率等重大影響時不適用.

類似的，我們可以按照上面的馬氏鏈模型，對鄭州商品房月銷售量作出下面短期的預(yù)測.

3 銷售量預(yù)測

下面是2009年12個月鄭州商品住宅每月銷售量如表4.

表42009年鄭州商品住宅銷售量表

我們將月銷售量分為六個區(qū)間，每個區(qū)間為一個狀態(tài)，其狀態(tài)空間為(1，2，3，4，5，6)，由表4可得表5如下.

表5銷售量狀態(tài)分類表

設(shè)鄭州商品住宅每月銷售均價為Yn(n=1,2,3,…)，則Yn為離散時間馬氏鏈.利用表5我們可以構(gòu)造單步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

P=(0.500.500

00001

0230130

00010

0013023)

利用Matlab可類似求得p2，p3，p4，p5，p6，p7，p8，p9，p10，p11，p12.與表3類似，我們可以得到2010年1月份商品房銷售量的狀態(tài)概率分布如表6.

表62010年1月份商品住宅銷售量的狀態(tài)概率分布預(yù)測表

由表6可以看出，2010年1月份銷售量最可能落在狀態(tài)4(85～90)，我們用已知數(shù)據(jù)來代替區(qū)間的中值和加權(quán)方法可以更準(zhǔn)確的得到一月份銷售量的期望值(均值)：(32.89+45.22)/2*0.000058+79.2*0.0576+(84.35+84.58+80.09)/3*0.16086+85.55*0.4118+(92.83+90.31+90.5)/3=87.2143(萬)

4 結(jié)語

由商品住宅銷售均價表(表1)、銷售量表(表2)以及一月份均價與銷售量的預(yù)測結(jié)果，易求得每月的平均收益.從月平均收益出發(fā)，我們還會發(fā)現(xiàn)，在外部因素沒有明顯變化的條件下，房價與銷售量不會發(fā)生明顯變化，即房價微漲或微跌時，銷售量變化不明顯，而受政策影響下，房價跌幅較大，銷售量放亮，平均收益翻倍.當(dāng)然這些嘗試性的預(yù)測結(jié)果僅對短期預(yù)測起一定作用，從長遠(yuǎn)來看，由于房地產(chǎn)受政策、利率、稅收等多方面外界環(huán)境和經(jīng)濟(jì)形勢的影響，房價和銷售量往往起伏較大，在這種情況下馬氏鏈狀態(tài)的劃分對最終預(yù)測結(jié)果影響將非常大，該模型在劃分狀態(tài)時需要大量的數(shù)據(jù)，這就要求資料比較多，所以該方法對于月份的銷售量預(yù)測較好，因為月份銷售量具有連續(xù)性，而相對年份預(yù)測時數(shù)據(jù)資料時間較長時，數(shù)據(jù)相關(guān)性較差，具有不足之處.

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