王慧賢

(安徽財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

1 問題的提出

在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，我們可以從自由集市上某種商品的價格變化看到如下現(xiàn)象：在某一時期，商品的上市量大于需求，引起價格下跌，生產(chǎn)者覺得該商品無利可圖，轉(zhuǎn)而經(jīng)營其它商品；一段時間之后，隨著產(chǎn)量的下降，帶來的供不應(yīng)求又會導(dǎo)致價格上升，又有很多生產(chǎn)商會進(jìn)行該商品的生產(chǎn)；隨之而來的，又會出現(xiàn)商品過剩，價格下降；在沒有外界干擾的情況下，這種現(xiàn)象將會反復(fù)出現(xiàn).其實在上述現(xiàn)象中，我們更關(guān)心的是商品的售價與產(chǎn)量這兩個指標(biāo)，因為它們是整個經(jīng)營過程中的核心因素.那么如何從數(shù)學(xué)的角度來表現(xiàn)和分析這兩個因素的規(guī)律，以把握好市場經(jīng)濟(jì)的發(fā)展趨勢，取得良好的經(jīng)濟(jì)效益呢？

2 差分模型的建立與分析

2.1 模型假設(shè)

(1)首先把時間離散化為時段，一個時期相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期，設(shè)k時段商品數(shù)量為xk，其價格為yk，故有

yk=f(xk)

(1)

并稱之為需求函數(shù).這樣做是出于對自由經(jīng)濟(jì)的理解，同一時段的商品的價格取決于該時段商品的數(shù)量，商品的數(shù)量越多，其價格就越低，故可假設(shè)：需求函數(shù)為一個單調(diào)下降函數(shù).

(2)下一時段商品數(shù)量由上一個時段的商品的價格決定，把

xk+1=g(yk)

(2)

稱之為供應(yīng)函數(shù).由于價格越高可以導(dǎo)致產(chǎn)量越大，故可設(shè)該函數(shù)是一個單調(diào)上升函數(shù).

2.2 模型的幾何表現(xiàn)與分析

模型的幾何表現(xiàn)就是將兩個變量xk和yk的變化過程表現(xiàn)出來.故將函數(shù)f和g在同一個坐標(biāo)系中描繪出來，這種形式可作為差分方程求解與分析的重要手段，它的主要數(shù)學(xué)技術(shù)是：曲線上點列的描繪.我們把關(guān)心的變量的所有可能取值表示出來，因為在曲線上如果知道了一個分量，就可以作出另一個分量.可見幾何形式表示有關(guān)系的變量是既方便又有意義的.

圖1 蛛網(wǎng)圖

在進(jìn)行市場經(jīng)濟(jì)分析中，f取決于消費者對某種商品的需要程度及其消費水平，g取決于生產(chǎn)者的生產(chǎn)、管理等能力，當(dāng)已經(jīng)知道需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)之后，也可以根據(jù)f和g的性質(zhì)判斷平衡點p0的穩(wěn)定性，當(dāng)|x1-x0|較小時，p0點的穩(wěn)定性取決于f與g在p0點的斜率，即當(dāng)|f′(x0)|<|g′(y0)|時，p0點穩(wěn)定，當(dāng)|f′(x0)|>|g′(y0)|時，p0點不穩(wěn)定.其經(jīng)濟(jì)意義是：需求曲線越平即需求平穩(wěn)，供應(yīng)曲線越陡即供應(yīng)充足，越有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定.

2.3 模型的差分方程分析

yk-y0=-α(xk-x0),xk+1-x0=β(yk-y0)

以上兩式中消去yk，得

xk+1=-αβxk+(1+αβ)x0

(3)

這是一個關(guān)于xk的一階線性差分方程.當(dāng)然它是原來方程的近似模型.作為數(shù)學(xué)模型，本來就是客觀實際問題的近似模擬，現(xiàn)在為了處理方便，適當(dāng)取用其近似形式是合理的.(3)式對k=1,2,…均成立，有

xk+1=-αβxk+(1+αβ)x0
(-αβ)xk=(-αβ)2xk-1+(-αβ)(1+αβ)x0
(-αβ)2xk-1=-(-αβ)3xk-2+(-αβ)2(1+αβ)x0
… … …
(-αβ)k-2x3=(-αβ)k-1x2+(-αβ)k-2(1+αβ)x0
(-αβ)k-1x2=(-αβ)kx1+(-αβ)k-1(1+αβ)x0

以上k個式子相加，得(3)式的解.

(4)

3 應(yīng)用舉例

例1 在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，種植先于產(chǎn)出及產(chǎn)品出售一個適當(dāng)?shù)臅r期，t時期該產(chǎn)品的價格Pt決定著生產(chǎn)者在下一時期愿意提供給市場的產(chǎn)量St+1，還決定著本期該產(chǎn)品的需求量Dt，因此有Dt=a-bpt,St=-c+dpt-1，(其中a,b,c,d均為正常數(shù)).假設(shè)每一時期的價格總是確定在市場售清的水平上，即St=D.

(1)求價格隨時間變動的規(guī)律；(2)討論市場價格的種種變化趨勢.

4 問題的進(jìn)一步討論

參考文獻(xiàn)：

[1]姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].第二版.北京:高等教育出版社,1993.

[2]樂經(jīng)良.數(shù)學(xué)實驗[M]北京:高等教育出版社,1999.

[3]吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—微積分[M].第二版.北京:高等教育出版社,2009.

[4]張書年.一階自治差分方程的穩(wěn)定性[J].上海交通大學(xué)學(xué)報,2000(8).

[5]張丙根.中立型微分差分方程解的穩(wěn)定性[J].中國海洋大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,1982(1).