鄧艷娟，陳 軍

(中國(guó)青年政治學(xué)院 經(jīng)濟(jì)系,北京 100089)

1 Sn上的簡(jiǎn)單介紹

Sn為n維球空間，定義為

1.1 球坐標(biāo)表示

下面討論中，用·代表歐氏內(nèi)積，<,>代表洛倫茲內(nèi)積.令C為Sn上的中心為c∈Sn，弧度為θ，0<θ<π的n維閉-cap，

C={x∈Sn∶x·c≥cosθ}.

(1)

此時(shí)對(duì)于Sn上的屬于C的點(diǎn)x我們可以表示為

x·c-1·cosθ≥0,

(2)

由于sinθ>0,我們有

(3)

可用(n+2)維向量來(lái)表示點(diǎn)x和cap-C,令

(4)

即確定了Sn上的一個(gè)定向球.由上可知，

定理1 球空間上的定向球與洛倫茲空間中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).

≥0.

(5)

性質(zhì)1 (1)如果一個(gè)向量C表示一個(gè)cap當(dāng)且僅當(dāng)C滿足條件=1；(2)如果一個(gè)向量表示一點(diǎn)X當(dāng)且僅當(dāng)=0并且X的第一個(gè)分量為1.

由此規(guī)定，如果有正數(shù)λ，點(diǎn)λX與X表示同一點(diǎn).

如果一個(gè)capC=(cotθ,cscθc)的中心為c，弧度為θ，那它的補(bǔ)C′記為中心為-c，弧度為π-θ的cap.C′的坐標(biāo)表示記為-C.

性質(zhì)2 n-1維球上的點(diǎn)X是C和C′的公共邊界點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)=0.

特別的，當(dāng)γ是大圓時(shí)，反演就是得到γ的那個(gè)截Sn的平面的反射.如果γ不是大圓，那么就有Rn+1中唯一一點(diǎn)與γ上點(diǎn)的連線與Sn相切.

由于球坐標(biāo)的引入，可將球上的反演線性化.所以有

定理2U關(guān)于C和C′的公共邊界的反演記為線性變換

U→U′=U-2C

(6)

證明 只需驗(yàn)證變換保持線性和保內(nèi)積.

假設(shè)U,V為球上cap，U′,V′為U,V關(guān)于C和C′的公共邊界的反演，所以有內(nèi)積

(7)

對(duì)于球上的點(diǎn)上式同樣成立.由此說(shuō)明變換將cap映成cap，點(diǎn)映成點(diǎn).特別的，當(dāng)C為半球時(shí)，即C=(0,c)(C的第一個(gè)分量為0)，c為n-維平面的法向，此時(shí)反射即為我們的反演.點(diǎn)X=(1,x)的反射

x→x-2(c·x)c.

通常情況下，C不是半球時(shí)，點(diǎn)X的反演可寫(xiě)成

(8)

其中

λ=?1+cos2θ-2(c·x)cosθ」csc2θ

(9)

容易看出λ>0并且==0，X′是球上的點(diǎn)，并且可看出點(diǎn)x′是x和θc的線性組合.

1.2 定向球之間的位置關(guān)系

任意兩個(gè)定向球C1=(cotθ1,cscθ1c1),C2=(cotθ2,cscθ2c2).=cosθ,其中θ為兩個(gè)定向球之間的夾角.

由洛倫茲內(nèi)積我們有，

(10)

另一方面，x∈定向球C上，有法向量n在C和x確定的平面上，C=ax+bn,a=C·x=cosθ.同時(shí)又有=1，故可得到b=sinθ.因此，

(11)

由此可看出

定理3 兩個(gè)定向球之間的夾角即為兩個(gè)定向球法向之間的夾角.

通過(guò)夾角θ，可以來(lái)判斷兩個(gè)定向球的位置關(guān)系：

(1)當(dāng)θ=0，兩個(gè)定向球相內(nèi)切，=1；

(2)當(dāng)θ=0，兩個(gè)定向球相外切，=-1；

(3)當(dāng)θ≠0,π，兩個(gè)定向球相交，||<1；

(4)兩個(gè)定向球相外離，即||>1;

(5)兩個(gè)定向球正交，即=0.

1.3 相切的定向球之間的位置關(guān)系

定理4 定向球C1,C2∈Sn，C1,C2相切，即

===1，則有

tC1+(1-t)C2,t∈R.

證明 過(guò)C1,C2的直線為

C=tC1+(1-t)C2∈Sn,t∈R,

(12)

此時(shí)說(shuō)明Sn上相切的一簇定向球?qū)?yīng)洛倫茲空間中的一條直線.

2 Sn上的四種變換群

定義1 球Sn上反演變換的復(fù)合就是M?bius變換群.

性質(zhì)3 保正向的洛倫茲變換群O+(n+1,1)是O(n+1,1)的子群.

定義3 如果映射σ∶Sn→Sn是微分同胚且滿足σ*g=λg,λ∈C∞，這時(shí)我們稱(chēng)σ為Sn上共形變換群.

定義4 如果映射σ∶Sn→Sn是微分同胚且把Sn上每個(gè)Sn-1變成Sn-1，這時(shí)我們稱(chēng)σ為Sn上保球換群.

性質(zhì)4 保球變換將定向球映到定向球.

參考文獻(xiàn)：

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