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        線荷載作用下混凝土雙向板的撓度分析

        2010-01-25 08:56:46張先進(jìn)
        關(guān)鍵詞:固支支板簡(jiǎn)支

        張先進(jìn), 石 俊, 陳 浩

        (1.華中科技大學(xué) a.土木工程與力學(xué)學(xué)院; b.控制結(jié)構(gòu)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖北 武漢 430074;2. 武漢寶安房地產(chǎn)開發(fā)有限公司, 湖北 武漢 430079)

        鋼筋混凝土雙向板在工業(yè)與民用建筑中應(yīng)用十分廣泛,隨著板的應(yīng)用跨度日益增大,常常遇到板上作用有集中線荷載的情況,如隔墻等,此時(shí)預(yù)測(cè)板在正常使用階段的撓度對(duì)指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)具有重要的意義。

        在計(jì)算鋼筋混凝土雙向板的撓度時(shí),有兩個(gè)方面的問題需要解決:(1)確定位移函數(shù);(2)確定適當(dāng)?shù)目箯潉偠取?/p>

        對(duì)鋼筋混凝土雙向板而言,確定適當(dāng)?shù)目箯潉偠缺攘焊鼮槔щy。雖然文氏[1]等人提出了如下經(jīng)驗(yàn)方法:當(dāng)荷載較小(裂縫出現(xiàn)前)時(shí),按毛截面計(jì)算EI值,當(dāng)荷載較大(裂縫出現(xiàn)后)時(shí),按換算截面計(jì)算EI值,但實(shí)際情況表明,這不能從根本上解決板在使用階段的撓度計(jì)算問題。

        1 雙向板位移函數(shù)的選取與確定

        1.1 四邊簡(jiǎn)支板

        四邊簡(jiǎn)支矩形鋼筋混凝土板的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1所示,板沿x、y方向的邊長(zhǎng)分別為a、b,板厚h,在跨中(0≤x≤a,y=b/2)處作用有垂直于板面向下、大小為q0的線荷載。視混凝土雙向板為雙向正交異性板,由于變形的連續(xù)性,必存在一個(gè)連續(xù)的位移函數(shù)。

        圖1 簡(jiǎn)支雙向板計(jì)算簡(jiǎn)圖

        設(shè)位移函數(shù):

        (1)

        式中,D為待定位移系數(shù)。顯然,該函數(shù)滿足四邊簡(jiǎn)支板的邊界條件。

        根據(jù)小撓度板理論[2~4],板的內(nèi)部虛功:

        式中,B0為四邊簡(jiǎn)支板的短期抗彎剛度,將式(1)代入上式中,可得

        (2)

        考慮板面同時(shí)作用有線荷載q0和均布活荷載q′,則線荷載q0的外部虛功:

        (3)

        其中L為積分路徑:0≤x≤a,y=b/2。

        均布荷載q′的外部虛功:

        (4)

        其中Ω為積分區(qū)域:0≤x≤a,0≤y≤b。

        總外虛功為:

        (5)

        由虛功原理[5]可得:

        (6)

        令n=b/a,記K0=B0(n4+2n2+1)為四邊簡(jiǎn)支雙向板的整體剛度特征系數(shù),則

        (7)

        將式(7) 代入式(1),得位移函數(shù):

        (8)

        1.2 四邊固支板

        四邊固支矩形鋼筋混凝土板的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2所示,板沿x、y方向的邊長(zhǎng)分別為a、b,板厚h,在跨中(0≤x≤a,y=b/2)處作用有垂直于板面向下、大小為q0的線荷載。

        設(shè)位移函數(shù):

        (9)

        式中,D為待定位移系數(shù)。顯然,該函數(shù)滿足四邊固支板的邊界條件。

        (10)

        圖2 固支雙向板計(jì)算簡(jiǎn)圖

        考慮板面同時(shí)作用有線荷載q0和均布活荷載q′,則荷載總外虛功為:

        (11)

        由虛功原理可知:

        (12)

        令n=b/a,記K=B(3n4+2n2+3)為四邊固支雙向板的整體剛度特征系數(shù),則

        (13)

        將式(13) 代入式(9),得位移函數(shù):

        (14)

        2 雙向板的抗彎剛度與撓度計(jì)算

        我國(guó)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[6]中只給出了鋼筋混凝土單向受彎構(gòu)件的剛度計(jì)算公式,考慮雙向板雙向彎曲和受壓區(qū)混凝土雙向受壓的特點(diǎn),本文根據(jù)張平生等人的研究結(jié)果[7~9],在《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》的剛度計(jì)算公式中引入雙向板剛度特征系數(shù)φ,得到四邊簡(jiǎn)支雙向板的短期抗彎剛度計(jì)算公式:

        (15)

        對(duì)四邊固支混凝土雙向板而言,在垂直于板面的豎向荷載作用下,支座截面承受負(fù)彎矩,跨中截面承受正彎矩。那么在計(jì)算撓度時(shí)應(yīng)根據(jù)哪一截面計(jì)算板的抗彎剛度是個(gè)不易確定的問題。因此,本文試圖根據(jù)四邊固支與四邊簡(jiǎn)支的雙向板撓度之間的關(guān)系,建立四邊固支板的撓度計(jì)算方法。

        點(diǎn)曲線的使用方式完全不同。我們可以在曲線的任意位置上單擊創(chuàng)建調(diào)整墊,并且隨心所欲拖動(dòng);接著還可以繼續(xù)創(chuàng)造更多新的調(diào)整墊。但無論點(diǎn)曲線還是參數(shù)曲線,始終不變的是左下角對(duì)應(yīng)暗部,右上角對(duì)應(yīng)亮部。向上拖動(dòng)右側(cè)向下拖動(dòng)左側(cè)就能得到提高反差的S形曲線。

        在相同荷載條件下,四邊固支與四邊簡(jiǎn)支雙向板撓度之間的關(guān)系如圖3所示。f1為四邊固支板反彎點(diǎn)處的撓度,f2為彎點(diǎn)跡線所圍成的四邊簡(jiǎn)支板的最大撓度。

        圖3 四邊固支板跨中板帶的受力與變形

        為簡(jiǎn)化計(jì)算,假定f1沿反彎點(diǎn)跡線等值(事實(shí)上,f1在反彎點(diǎn)跡線所圍成的矩形角點(diǎn)處較小,矩形邊長(zhǎng)中點(diǎn)處較大)。試算結(jié)果表明,由此引起的對(duì)整體撓度的誤差并不大。則四邊固支板的最大撓度為:

        f=f1+f2

        (16)

        (17)

        當(dāng)僅有均布荷載作用時(shí),取π2≈10,則

        (18)

        對(duì)四邊簡(jiǎn)支板

        (19)

        對(duì)四邊固支板

        (20)

        3 計(jì)算結(jié)果分析與比較

        計(jì)算模型1采用邊長(zhǎng)為 6000 mm、板厚130 mm的鋼筋混凝土方板,在跨中作用有與x軸平行的集中線荷載,板面均布荷載僅考慮板的自重?;炷翉?qiáng)度等級(jí)為C20,泊松比v=0.2,鋼筋為Ⅰ級(jí),受拉鋼筋配筋率ρx=ρy=0.7%,四邊固支時(shí)支座負(fù)筋的配筋率為0.7%。在應(yīng)用ANSYS軟件進(jìn)行有限元分析時(shí),采用分離式模型,混凝土單元選用Solid65,鋼筋單元選用Link8,混凝土的本構(gòu)關(guān)系為:

        σ=fc[1-(1-εc/ε0)2]εc≤ε0;

        σ=fcε0<εc≤εcu

        式中,ε0=0.002,εcu=0.0033。

        鋼筋的本構(gòu)關(guān)系為:σ=Esεs≤fy。

        應(yīng)用本文公式和ANSYS軟件的計(jì)算結(jié)果如圖4、圖5所示,二者吻合較好。

        圖4 四邊簡(jiǎn)支板荷載—撓度曲線

        圖5 四邊固支板荷載—撓度曲線

        計(jì)算模型2為板跨中作用有線荷載8 kN/m(相應(yīng)于200 mm厚輕質(zhì)砌塊墻體自重),n=0.6,材料強(qiáng)度、板厚及配筋同計(jì)算模型1,四邊固支時(shí)支座負(fù)筋的配筋率為0.7%。按本文公式得到的板跨中撓度與線荷載作用位置及板短邊尺寸的關(guān)系見圖6。線荷載沿板長(zhǎng)跨方向布置,不同n值時(shí)板跨中撓度與板短邊尺寸的關(guān)系見圖7。

        圖6 不同線荷載作用位置板的短邊尺寸—撓度曲線(n=0.6)

        圖7 不同n值板的短邊尺寸—撓度曲線

        計(jì)算模型3為板跨中作用有線荷載8 kN/m且沿板長(zhǎng)跨方向布置,板長(zhǎng)邊為 6000 mm,n=0.6,材料強(qiáng)度及配筋同計(jì)算模型2,按本文公式得到的板跨中撓度與板厚的關(guān)系見圖8。改變配筋率的大小可得板跨中撓度與配筋率的關(guān)系見圖9。

        圖8 板厚—撓度曲線

        圖9 板的配筋率—撓度曲線

        混凝土板在長(zhǎng)期荷載效應(yīng)作用下的撓度可利用式(15),按《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》的方法計(jì)算長(zhǎng)期抗彎剛度,然后由式(17)~(20)計(jì)算長(zhǎng)期撓度。

        4 結(jié) 論

        (1)本文研究了有線荷載作用的混凝土雙向板在正常使用階段的撓度計(jì)算方法,并根據(jù)相同荷載條件下四邊固支與四邊簡(jiǎn)支板的撓度關(guān)系,導(dǎo)出了四邊固支板的抗彎剛度公式,反映了板的抗彎剛度的非線性特征。其計(jì)算結(jié)果與板的實(shí)際受力特性相符,且和大型商用軟件ANSYS的計(jì)算結(jié)果吻合較好。

        (2)分析結(jié)果表明,板面線荷載的作用位置、雙向板的長(zhǎng)短邊尺寸和板厚對(duì)板的撓度有較大影響;跨中線荷載沿板短跨方向布置時(shí)較為有利;板的撓度隨長(zhǎng)短邊尺寸的增大而增大,且短邊相同時(shí),短邊與長(zhǎng)邊之比越小,撓度越大;板的撓度隨板厚的增大而顯著減小。

        (3)當(dāng)ρx=ρy<0.5%時(shí),配筋率對(duì)板的撓度有較大的影響;當(dāng)ρx=ρy≥0.5%時(shí),配筋率對(duì)板的撓度的影響逐漸減小。

        (4)在同等條件下,與四邊固支板相比,四邊簡(jiǎn)支板的撓度相對(duì)較大,且對(duì)上述各參數(shù)變化的反應(yīng)更加敏感。

        [1] Gamble W L. Moments in beam supported slabs [J]. J Am Concr Inst, 1972, 69(3), 149-157.

        [2] (美) R·派克, W·L·根勃爾. 鋼筋混凝土板[M]. 黃國(guó)楨, 成源華譯. 上海: 同濟(jì)大學(xué)出版社, 1992.

        [3] 曲慶璋, 章 權(quán), 季求知,等. 彈性板理論[M]. 北京: 人民交通出版社, 2000.

        [4] 黃 炎. 彈性薄板理論[M]. 湖南: 國(guó)防科技大學(xué)出版社, 1992.

        [5] 龍馭球, 包世華. 結(jié)構(gòu)力學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2000.

        [6] GB J50010-2002,混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[S].

        [7] 張平生. 四邊簡(jiǎn)支鋼筋混凝土雙向板撓度計(jì)算與板厚確定[J]. 西安冶金建筑學(xué)院學(xué)報(bào), 1991,(3):14-17.

        [8] Nawy E G. Flexural cracking in two-way concrete slabs reinforced with high strength weld wire fabric[J]. ACI, 1964,(8): 54-61.

        [9] 丁大鈞. 現(xiàn)代混凝土結(jié)構(gòu)學(xué)[M]. 北京: 中國(guó)建筑工業(yè)出版社, 2000.

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