付長寶，張 巍，姜麗麗，李恩奎

(通化師范學(xué)院 物理系, 吉林 通化134002)

靜電學(xué)的基本問題是求解在所有邊界上滿足邊值關(guān)系和邊界條件的泊松方程的解．一種重要的特殊情形是區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)電荷，區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面，對于這樣的區(qū)域電場的求解可以采用一種特殊的方法——鏡像法．鏡像法求解電場的關(guān)鍵在于根據(jù)感應(yīng)電荷與點(diǎn)電荷激發(fā)的場在邊界上所滿足的邊值關(guān)系和邊界條件，確定像電荷的位置和電荷量．一般情況下，利用鏡像法所求得的物理問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式是比較繁雜的，不利于對問題的物理認(rèn)識.本文針對鏡像法求解物理問題的這一特點(diǎn)，利用Mathematic，對鏡像法求解靜電場問題所給出的復(fù)雜數(shù)學(xué)形式進(jìn)行數(shù)值模擬，并繪制相應(yīng)的直觀圖形，進(jìn)而從復(fù)雜的數(shù)學(xué)結(jié)果中提煉直觀的物理認(rèn)識．

圖2 求球外任意一點(diǎn)p的電勢

1 回顧運(yùn)用鏡像法[1-3]求解空間某點(diǎn)電勢

若存在這樣一個(gè)求解靜電場的問題：真空中一半徑為R0的導(dǎo)體球，距球心為a(a>R0)處有一點(diǎn)電荷Q,導(dǎo)體球不接地而帶電荷Q0,求球外電勢，并求電荷Q所受的力.

假設(shè)導(dǎo)體球接地時(shí)，點(diǎn)電荷Q及Q在球上所引起的感應(yīng)電荷，在球面上所激發(fā)的靜電場電勢為零．若設(shè)此時(shí)點(diǎn)電荷Q在球內(nèi)的鏡像電荷為Q'，考慮球面上任一點(diǎn)P如圖1所示，邊界條件要求：

Qr+Q'r'=0

(1)

式中r為Q到p的距離，r'為Q'到p的距離.因此對球面上任一點(diǎn)，應(yīng)有：

r'r=-Q'Q=常數(shù)

(2)

由圖1可看出若選Q'的位置使ΔOQ'P∽ΔOQP,則方程(2)得以滿足，且有:

r'r=R0a=常數(shù)

(3)

設(shè)Q'距球心距離為b，兩三角形相似的條件為bR0=R0a，即：

b=R20a

(4)

由(2)式和(3)式得

Q'=-R0aQ

(5)

(4)式和(5)式給出了假想電荷Q'的位置和大小.

方程(4)和(5)給出的是假設(shè)導(dǎo)體接地時(shí)，點(diǎn)電荷Q在導(dǎo)體球內(nèi)部的鏡像電荷的位置和大小.但問題當(dāng)中，導(dǎo)體球并沒有接地且導(dǎo)體球所帶有的電荷量為Q0，那么點(diǎn)電荷Q與導(dǎo)體球所帶有的電荷Q0，以及導(dǎo)體上產(chǎn)生的感應(yīng)電荷在導(dǎo)體球面上所激發(fā)的電勢應(yīng)為大于零的常數(shù).這時(shí)，所求解的問題的邊界條件為：導(dǎo)體球所帶的總電荷量為Q0,同時(shí)球面為等勢面.根據(jù)邊界條件要求，若在假想導(dǎo)體球接地的基礎(chǔ)上，再在球心處放置一假想電荷Q0-Q'此時(shí)原問題的所有邊界條件得以滿足，球外任一點(diǎn)p的電勢如圖2所示為：

ψ(p)=14πε0(Qr-R0Qar'+Q0+(R0Qa)R)

(6)

其中1r=1R2+a2-2Racosθ，

1r'=1R2+b2-2Rbcosθ

ψ(R,θ)=14πε0[QR2+a2-2Racosθ-

R0Qa1R2+b2-2Rbcosθ+Q0+R0Q/aR]

(7)

電荷Q所受到的靜電場力為：

4πε0F=Q(Q0-Q')a2+QQ'(a-b)2=

QQ0a2-Q2R30(2a2-R20)a3(a2-R20)2

(8)

由方程(7)和方程(8)可知，利用鏡像法求解靜電場問題時(shí)，得到的結(jié)果在數(shù)學(xué)形式上比較復(fù)雜，由直接的計(jì)算結(jié)果出發(fā)不利于對問題的物理認(rèn)識.如直接的觀察方程(7)很難判斷Ψ隨R和θ的變化關(guān)系，同樣從方程(8)出發(fā)也很難直接判斷出當(dāng)a發(fā)生變化時(shí)F隨a的變化關(guān)系.

2 利用Mathematic[4]數(shù)值模擬繪制圖形

Mathematic是一款較著名的數(shù)學(xué)工具軟件，其功能強(qiáng)大，可實(shí)現(xiàn)符號運(yùn)算、繪制圖形、程序設(shè)計(jì)等功能，近年來被廣泛的應(yīng)用到科技論文的寫作中.下文將利用Mathematic對方程(7)、(8)進(jìn)行數(shù)值模擬繪制圖形.

根據(jù)方程(7)在取參數(shù)R0=2,b=1,a=3,Q=5,Q0=2.5，且R∈(2,100),θ∈(0.01,0.99π)時(shí)繪制函數(shù)ψ(R,θ)隨半徑和極角變化的圖形如圖3：

由圖3可十分容易得知Ψ隨半徑R和極角θ的變化關(guān)系：當(dāng)極角θ一定時(shí)，Ψ隨R的增大而減??；當(dāng)半徑R一定時(shí)，Ψ隨θ的增大而減小.

圖3 Ψ隨R和θ的變化關(guān)系圖

根據(jù)方程(8)在取參數(shù)Q=5,Q0=2.5,R0=2,同時(shí)有a∈(3,60)時(shí)繪制函數(shù)F(a)隨a的變化關(guān)系圖如圖4.

圖4 F隨a的變化關(guān)系圖

由圖4可知，在a∈(0,4)的范圍內(nèi)，點(diǎn)電荷Q所受到的靜電場力為導(dǎo)體球上所帶有的自由電荷Q0與導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷對它的作用力的合力，效果上表現(xiàn)為引力，且引力隨著a的增大而逐漸減??；當(dāng)a=4時(shí)，點(diǎn)電荷Q所受到的靜電場力合力為零；當(dāng)a∈(4,60)時(shí)點(diǎn)電荷Q所受到的靜電場力合力表現(xiàn)為斥力，初始時(shí)斥力隨a的增大而增大，當(dāng)a=6時(shí)斥力取得最大值，然而在a∈(6,60)的范圍內(nèi)斥力將隨a的增大而減小并無限接近于零.

綜上所述，本文針對鏡像法求解問題中所給出的問題的結(jié)果過于復(fù)雜，不利于對問題的物理上的認(rèn)識這一特點(diǎn)，利用Mathematic對鏡像法求解問題中所給出的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值模擬，并繪制了相應(yīng)的直觀圖形，發(fā)現(xiàn)由直觀的曲線圖形出發(fā)十分方便提煉復(fù)雜數(shù)學(xué)結(jié)果中包含的物理規(guī)律．

參考文獻(xiàn)：

[1]郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)[M].人民教育出版社,1997.

[2]蔡圣善，等.電動(dòng)力學(xué)[M].高等教育出版社,2002.

[3]陳世民.電動(dòng)力學(xué)簡明教程[M].高等教育出版社,2004.

[4]丁大正.Mathematic4教程[M].電子工業(yè)出版社,2002.