譚守林,張金巍,陳 力

(第二炮兵工程學(xué)院603教研室,陜西西安,710025)

現(xiàn)代戰(zhàn)爭中,利用導(dǎo)彈子母彈封鎖敵機(jī)場跑道是奪取制空權(quán)的重要手段。子母彈拋撒半徑不同,子彈分布密度和爆炸效應(yīng)就不同,對(duì)目標(biāo)的毀傷效果也不同。子母彈拋撒半徑可以通過改變拋撒高度和側(cè)向拋撒速度來調(diào)整。在目標(biāo)、武器數(shù)量和性能等條件相同的情況下,通過對(duì)子母彈拋撒半徑的優(yōu)化選擇,可以使子母彈對(duì)目標(biāo)的打擊效果達(dá)到最佳。

不同型號(hào)的導(dǎo)彈,其精度往往不同,在制定火力計(jì)劃時(shí)需要考慮導(dǎo)彈精度對(duì)打擊效果的影響。本文在分別研究了導(dǎo)彈精度和子母彈拋撒半徑對(duì)打擊效果的影響后,運(yùn)用優(yōu)化算法求出子母彈最佳拋撒半徑。為了更好地研究子母彈最佳拋撒半徑隨導(dǎo)彈精度的變化規(guī)律,本文擬合出二者的函數(shù)關(guān)系式,以期為子母彈彈頭設(shè)計(jì)和火力應(yīng)用提供參考。

1 基于Monte Carlo的機(jī)場跑道失效率計(jì)算模型

1.1 瞄準(zhǔn)點(diǎn)的選擇

機(jī)場跑道是一類典型的窄長形面目標(biāo),一般情況下,跑道長L為3 000 m,寬B為46 m,長寬比達(dá)65∶1。導(dǎo)彈子母彈的拋撒半徑一般為100～400 m,其拋撒圓環(huán)直徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于跑道寬度,故可假設(shè)跑道為均勻線目標(biāo)。在研究導(dǎo)彈子母彈打擊機(jī)場跑道目標(biāo)時(shí),瞄準(zhǔn)點(diǎn)的選取按均勻選點(diǎn)的原則進(jìn)行[1],即瞄準(zhǔn)點(diǎn)以目標(biāo)中心為基點(diǎn)、沿跑道長度方向?qū)ΨQ等間隔分布,間距dx=L/M,其中M為發(fā)射導(dǎo)彈數(shù)。

取原點(diǎn)o′為機(jī)場跑道中心點(diǎn),x′軸過原點(diǎn)與跑道方向平行,y′軸在跑道平面內(nèi)過原點(diǎn)垂直于x′軸,構(gòu)造目標(biāo)坐標(biāo)系x′o′y′。

設(shè)第i枚導(dǎo)彈(i=0,1,…,M-1)的瞄準(zhǔn)點(diǎn)為(xi,yi),則

1.2 子彈落點(diǎn)散布模擬

1.2.1 母彈隨機(jī)落點(diǎn)模型[2]

設(shè)導(dǎo)彈的圓概率偏差為CEP,母彈落點(diǎn)(mx,my)服從(μ1,μ2,σ1,σ2,ρ)二維正態(tài)分布,其中:μ1、μ2分別為母彈落點(diǎn)坐標(biāo)的均值,即μ1=xi,μ2=yi;σ1、σ2為導(dǎo)彈的射擊精度,σ1=σ2=σ;ρ為x方向與y方向的相關(guān)系數(shù),若坐標(biāo)軸與主散布軸平行,則射向與側(cè)向散布互相獨(dú)立,即相關(guān)系數(shù)ρ=0。射擊精度與CEP的關(guān)系為

第i枚母彈落點(diǎn)坐標(biāo)為

式中:xi、yi為第i枚導(dǎo)彈的瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo);c1、c2為(0,1)區(qū)間上相互獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)數(shù)。

1.2.2 子彈隨機(jī)落點(diǎn)模型[3]

以子彈的拋撒中心為原點(diǎn)o,建立子彈落點(diǎn)坐標(biāo)系xoy,子彈落點(diǎn)分布在以母彈落點(diǎn)為圓心的圓環(huán)內(nèi),圓環(huán)外徑為子彈拋撒半徑R,內(nèi)徑為盲區(qū)半徑r,取r/R=0.3。假設(shè)子彈在圓環(huán)中服從徑向均勻分布,第i枚母彈第j個(gè)子彈的落點(diǎn)坐標(biāo)為(xij,yij),則有

式中:v1為(r/R,1)區(qū)間上均勻分布隨機(jī)數(shù);v2為(0,1)區(qū)間上均勻分布隨機(jī)數(shù),且與v1相互獨(dú)立。

為便于計(jì)算對(duì)目標(biāo)的毀傷效果,通常把子彈落點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到目標(biāo)坐標(biāo)系。子彈落點(diǎn)在目標(biāo)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

1.3 機(jī)場跑道失效率的計(jì)算

對(duì)于機(jī)場跑道這類窄長形目標(biāo),主要采用跑道失效率作為其毀傷指標(biāo),下面給出跑道失效率的計(jì)算步驟。

(1)判斷子彈落點(diǎn)是否在跑道上。設(shè)彈坑半徑為r0,如果r0且則子彈落點(diǎn)在跑道上,記為(x(k),y(k)),k=1,2,…,S,其中S為落在跑道上的子彈個(gè)數(shù)。

(2)判斷是否存在最小升降窗口。

最小升降窗口是指飛機(jī)在跑道上安全起飛或降落所需的最小完好矩形區(qū)域,設(shè)其長度為WL,寬度為WB。

對(duì)于整條跑道,邊界條件取為

將子彈落點(diǎn)(x(k),y(k))按x(k)的增序排列,即x(0)≤x(1)≤…≤x(S)≤x(S+1)。如果存在x(k)-x(k-1)≥WL(k=1,2,…,S+1),則封鎖失敗,停止搜索;否則,以x向坐標(biāo)最小的子彈落地(x(0),y(0))為起點(diǎn),在跑道上以最小升降窗口長度WL為定步長,得到一個(gè)區(qū)間,搜索其中的彈著點(diǎn),對(duì)各彈著點(diǎn)的y向坐標(biāo)進(jìn)行排序,判斷是否存在相鄰兩點(diǎn)的y向間距大于最小升降窗口寬度WB,如果存在,則封鎖失敗,停止搜索;否則,依次以子彈落點(diǎn)(x(k),y(k))(k=1,2,…,S+1)為起點(diǎn),重復(fù)上一步操作,其中,如x(k)與x(S+1)的x向間距小于WL,則跑道失效,停止搜索,否則繼續(xù)搜索,直到確認(rèn)跑道上沒有最小升降窗口或者封鎖失敗。

(3)計(jì)算跑道失效率。

采用Monte Carlo模擬方法計(jì)算跑道失效率。設(shè)總的模擬次數(shù)為N,其中跑道失效的次數(shù)為N1,則跑道失效率P為

經(jīng)過多次仿真實(shí)驗(yàn)表明,當(dāng)N取5 000時(shí),跑道失效率的計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確。

2 導(dǎo)彈精度和子母彈拋撒半徑對(duì)機(jī)場跑道失效率的影響

導(dǎo)彈精度是評(píng)定子母彈對(duì)目標(biāo)毀傷效果的重要條件。導(dǎo)彈精度包括導(dǎo)彈落點(diǎn)的準(zhǔn)確度和密集度。準(zhǔn)確度描述落點(diǎn)散布中心離開目標(biāo)的距離,是一個(gè)系統(tǒng)值,常以落點(diǎn)縱向和橫向的系統(tǒng)偏差來表示。密集度描述隨機(jī)落點(diǎn)圍繞散布中心的分布狀況,反映了落點(diǎn)隨機(jī)性誤差的大小,以導(dǎo)彈縱向和橫向落點(diǎn)的方差來表示。當(dāng)導(dǎo)彈縱、橫向落點(diǎn)的方差相同時(shí),落點(diǎn)分布稱為圓散布,此時(shí)常以導(dǎo)彈落點(diǎn)的圓概率偏差CEP表示落點(diǎn)隨機(jī)性誤差[4]。本文不考慮導(dǎo)彈系統(tǒng)誤差,即認(rèn)為落點(diǎn)散布中心與目標(biāo)點(diǎn)重合,導(dǎo)彈落點(diǎn)隨機(jī)誤差采用圓概率偏差CEP,因此以下導(dǎo)彈精度均指CEP。

子母彈拋撒半徑是影響導(dǎo)彈子母彈對(duì)目標(biāo)毀傷效果的另一重要指標(biāo),也是彈道設(shè)計(jì)和計(jì)算諸元要考慮的重要因素。

下面通過仿真計(jì)算來研究導(dǎo)彈精度及子母彈拋撒半徑對(duì)跑道失效率的影響。設(shè)跑道長L=3 000 m,跑道寬B=46 m,最小升降窗口長WL=800 m,最小升降窗口寬WB=20 m,彈坑半徑r0=1 m;導(dǎo)彈數(shù)量為5枚,子彈個(gè)數(shù)為70,導(dǎo)彈精度CEP從50 m變化到200 m,子母彈拋撒半徑從50 m變化到500 m。用VC++6.0編程并用M atlab軟件繪圖,得出跑道失效率與導(dǎo)彈精度、子母彈拋撒半徑的關(guān)系如圖1所示。

從圖1中可以看出:①在其他條件相同時(shí),跑道失效率隨著CEP的增大迅速降低,但隨著子母彈拋撒半徑的增加,CEP對(duì)跑道失效率的影響逐漸減弱;②在其他條件相同時(shí),隨著子母彈拋撒半徑的增大,跑道失效率呈先增大后減小的變化趨勢,即存在一個(gè)子母彈最佳拋撒半徑使跑道失效率達(dá)到最大。

圖1 不同導(dǎo)彈精度及子母彈拋撒半徑下的跑道失效率Fig.1 DPR at differentm issile’s precisionsand separation radius

3 子母彈最佳拋撒半徑的計(jì)算

從圖1可以看出,跑道失效率是CEP的單峰函數(shù),峰值頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的拋撒半徑即為子母彈最佳拋撒半徑,隨著CEP的增加,子母彈最佳拋撒半徑也在增加。利用優(yōu)化算法可以求出每一個(gè)CEP對(duì)應(yīng)的最佳拋撒半徑。

下面運(yùn)用黃金分割法[5]求出不同導(dǎo)彈精度下的子母彈最佳拋撒半徑。在本文中可假設(shè)φ(α)為子母彈拋撒半徑為α?xí)r通過Monte Carlo模擬計(jì)算的跑道失效率。令a1、b1為子母彈拋撒半徑的下限和上限,則φ(α)為搜索區(qū)間[a1,b1]上的單峰函數(shù)。設(shè)在第k次迭代時(shí)搜索區(qū)間為[ak,bk],取兩個(gè)試探點(diǎn)λk、μk∈[ak,bk],且λk<μk,并滿足下列條件:①λk和μk到搜索區(qū)間[ak,bk]的端點(diǎn)等距;②每次迭代時(shí),搜索區(qū)間長度縮短率相同。然后比較φ(λk)和φ(μk)的大小,并逐步縮小搜索區(qū)間。具體步驟如下:

(1)選取初始數(shù)據(jù)。確定搜索區(qū)間[a1,b1]和精度要求δ,按式(9)和式(10)選取最初兩個(gè)試探點(diǎn)λ1和μ1。

計(jì)算φ(λ1)和φ(μ1),令k=1。

(2)比較函數(shù)值。若φ(λk)>φ(μk),轉(zhuǎn)步驟(3);若φ(λk)≤φ(μk),則轉(zhuǎn)步驟(4).

(3)若bk-λk≤δ,則停止計(jì)算,輸出μk;否則,令ak+1=λk,bk+1=bk,λk+1=μk,φ(λk+1)=φ(μk),μk+1=ak+1+0.618(bk+1-ak+1)。計(jì)算φ(μk+1),轉(zhuǎn)步驟(5)。

(4)若μk-ak≤δ,則停止計(jì)算,輸出λk;否則,令ak+1=ak,bk+1=μk,μk+1=λk,φ(μk+1)=φ(λk),λk+1=ak+1+0.328(bk+1-ak+1)。計(jì)算φ(λk+1),轉(zhuǎn)步驟(5)。

(5)令k=k+1,轉(zhuǎn)步驟(2)。

4 子母彈最佳拋撒半徑與導(dǎo)彈精度的函數(shù)關(guān)系擬合

為了確定CEP與子母彈最佳拋撒半徑的關(guān)系,本文在用5枚子母彈打擊機(jī)場跑道的情況下,求出不同CEP對(duì)應(yīng)的最佳拋撒半徑,采用最小二乘函數(shù)擬合法分別擬合出子母彈最佳拋撒半徑與CEP的一次、二次和三次函數(shù)關(guān)系式。

式中:x為導(dǎo)彈精度CEP;y為子母彈最佳拋撒半徑。圖2為各次函數(shù)的擬合曲線,其中,一次函數(shù)和二次函數(shù)的擬合曲線幾乎重合。

圖2 子母彈最佳拋撒半徑與導(dǎo)彈精度的關(guān)系Fig.2 Relationship between submunition missile’s best separation radius and precision

從式(12)～式(13)可以看出,二次函數(shù)和三次函數(shù)中高次項(xiàng)的系數(shù)都比較小,接近于零,因此可以忽略其高次項(xiàng)。從圖2中也可以看出,二次函數(shù)和三次函數(shù)擬合曲線比較接近于直線。為了計(jì)算方便,可以認(rèn)為子母彈最佳拋撒半徑與導(dǎo)彈精度的關(guān)系為線性關(guān)系,即用5枚子母彈打擊機(jī)場跑道時(shí),二者的函數(shù)關(guān)系為y=1.5x+55。同樣,可以擬合出用6枚或7枚子母彈打擊目標(biāo)的情況下子母彈最佳拋撒半徑與導(dǎo)彈精度的函數(shù)關(guān)系。

5 結(jié)語

本文基于機(jī)場跑道失效率計(jì)算模型,利用Monte Carlo模擬方法研究了導(dǎo)彈精度和子母彈拋撒半徑對(duì)機(jī)場毀傷效果的影響,并利用黃金分割法求出子母彈最佳拋撒半徑,最后運(yùn)用最小二乘法擬合出子母彈最佳拋撒半徑與導(dǎo)彈精度的函數(shù)關(guān)系式,通過比較得出二者近似為線性關(guān)系。本研究可以為子母彈的火力應(yīng)用和諸元快速計(jì)算提供參考。

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