?四川省宣漢縣中小學(xué)教學(xué)研研室 趙緒昌

?四川省宣漢縣新華中學(xué) 劉 欣 劉小峰

“直角三角形三邊的關(guān)系”教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

?四川省宣漢縣中小學(xué)教學(xué)研研室 趙緒昌

?四川省宣漢縣新華中學(xué) 劉 欣 劉小峰

（教材選自華東師大版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第十四章第一節(jié)“直角三角形三邊的關(guān)系”.）

【教學(xué)過程】

師：上課！同學(xué)們好！

生：老師好！

師：同學(xué)們，請(qǐng)看大屏幕（屏幕上呈現(xiàn)兩棵美麗的“勾股樹”，如圖①所示，學(xué)生興高采烈地看著大屏幕，學(xué)習(xí)積極性馬上就被調(diào)動(dòng)起來.先欣賞圖①10秒后再讓學(xué)生欣賞圖②10秒.）

師：（屏幕上顯示圖①） 屏幕上的樹是由什么圖形組成的？

生1：（反應(yīng)迅速）三角形.

生2：（興奮地）還有矩形.

師：能說細(xì)一點(diǎn)嗎？

生3：（思考了一下）直角三角形.

師：（欣賞地點(diǎn)一下頭）很好.

師：這兩棵樹看起來為什么這么漂亮呢？那是因?yàn)橹苯侨切蔚娜呌刑厥獾年P(guān)系.（出示本節(jié)課的課題）在現(xiàn)實(shí)生活中直角三角形的三邊的關(guān)系有著廣泛的應(yīng)用，請(qǐng)看例題（出示圖③）：

師：你如何求出示意圖中線段AB的長(zhǎng)度？（學(xué)生沉思.）

師：為了解決這個(gè)問題，先請(qǐng)同學(xué)們?cè)诩埳嫌弥苯侨前咫S便畫一個(gè)直角三角形（“直角”語氣重一點(diǎn)），再度量出所畫直角三角形三邊的長(zhǎng)度.說一說這3個(gè)數(shù)的情況.（學(xué)生拿出直角三角板認(rèn)真畫，教師到學(xué)生中間巡視.大部分學(xué)生很快就完成了要求，紛紛舉手.）

生4：2.8厘米，3.7厘米，4.6厘米.

生5：1.6厘米，2.8厘米，3.3厘米.

生6：6厘米，8厘米，10厘米.

師：看來大家所畫的直角三角形還比較標(biāo)準(zhǔn).（面帶微笑，輕聲地）同學(xué)們，這3組數(shù)中，我們把較小的兩個(gè)數(shù)平方后加起來，再把最大的這個(gè)數(shù)平方，這兩個(gè)結(jié)果是否相等？

（學(xué)生拿出計(jì)算器認(rèn)真地計(jì)算著，很快得出結(jié)果，紛紛舉手.）

生7：相等.（剛說完，有大部分學(xué)生又舉手.）

生8：不相等.

生9：不相等，但相差很小.

師：（表示認(rèn)可）好，同學(xué)們都觀察得很仔細(xì)，回答都正確，我們可以猜想這兩個(gè)結(jié)果相等.究竟這個(gè)猜想是否正確呢？這節(jié)課我和同學(xué)們一起來研究直角三角形三邊的關(guān)系.（出示課題——直角三角形三邊的關(guān)系.）

師：我們一起先研究特殊的直角三角形（等腰直角三角形）三邊的關(guān)系.請(qǐng)看下圖（出示圖④）.

師：網(wǎng)格圖中的3個(gè)正方形Q、P、R的面積有什么關(guān)系？（學(xué)生觀察了一會(huì)兒，大部分舉手.）

生10：（驚喜）SP+SQ=SR.

（學(xué)生都紛紛點(diǎn)頭，表示同意.）

師：（投去贊許的目光）你觀察得很仔細(xì).那么，正方形Q的面積是否等于BC2呢？

生：（自信地）等于.

師：同理，正方形P、R呢？

生：（異口同聲）SP=AC2，SR=AB2.

師：把SP+SQ=SR換為等腰直角三角形ABC的邊的等式.這個(gè)等式是怎樣的？

生11：（得意）AC2+BC2=AB2.

師：很好（停頓）.AC、BC、AB在Rt△ABC中是什么邊？

生12：AC、BC是直角邊，AB是斜邊.

師：由此可得出什么結(jié)論？

生13：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

師：（看著大家，有意地）你們認(rèn)為他說得完整嗎？

生14：在等腰直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

師：說得對(duì).（教師邊說邊充滿期待地看著學(xué)生，并出示圖⑤.）

師：在一般的直角三角形中，兩直角的平方和是否等于斜邊的平方和呢?

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰W(wǎng)格圖中動(dòng)手畫出三邊為3、4、5個(gè)單位長(zhǎng)度的直角三角形，然后分別以它的三邊長(zhǎng)作正方形，觀察3個(gè)正方形有什么關(guān)系?

（動(dòng)手操作.出示圖⑥.）

師：觀察圖⑥，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到:正方形Q、P的面積為多少？（很多學(xué)生舉手.）

生15：SP=9，SQ=16.

師：SR呢？怎樣計(jì)算？

生16：（思考片刻）可以數(shù)方格，還可以采用割補(bǔ)法.

師：(征求意見的語氣)大家同意嗎？

生：（點(diǎn)頭）嗯！

師：（讓學(xué)生在網(wǎng)格圖中實(shí)際畫一畫、數(shù)一數(shù)）請(qǐng)看屏幕：（動(dòng)畫演示.把圖中的正方形R逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使一邊與網(wǎng)格線重合）問：正方形R的面積等于多少？

生：（不約而同地說）25.

師：（肯定的語氣）是等于25，這三個(gè)正方形的面積有什么關(guān)系？

生17：SP+SQ=SR.

師：很好，把SP+SQ=SR換為直角三角形ABC的邊的等式.這個(gè)等式是怎樣的？

生：（心領(lǐng)神會(huì)，馬上回答）AC2+BC2=AB2.

（學(xué)生點(diǎn)頭，表示同意.）

師：由此可以得到什么結(jié)論？

生18：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

師：（看著大家，有意地）你們認(rèn)為他說得完整嗎？

生19：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

師：精彩！（邊說邊伸出大拇指，給學(xué)生以真誠(chéng)的鼓勵(lì)）圖中的Rt△ABC是等腰直角三角形嗎？

生：（齊答）不是，是一般的Rt△ABC.

師：因此可以得到以下結(jié)論（出示圖⑦）.

師：我們?cè)賮眚?yàn)證一下這個(gè)結(jié)論（出示圖⑧）.

師：斜邊的長(zhǎng)度是多少？可采用哪些方法度量？

生20：用刻度尺.（有幾個(gè)學(xué)生舉手，想補(bǔ)充.）

生21：和網(wǎng)格上的險(xiǎn)段進(jìn)行比較.

師：（面向?qū)W生21）你真聰明！確實(shí)還可以通過旋轉(zhuǎn)與網(wǎng)格上的線段進(jìn)行比較.（把斜邊繞下方端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，使之與網(wǎng)格線重合，得出斜邊等于13的結(jié)果.）

師：（讓學(xué)生嘗試后）利用勾股定理可以計(jì)算直角三角形中各邊的長(zhǎng)度（出示圖⑨）.

師：①②中的已知什么邊求什么邊？

生22：已知兩直角邊求斜邊.

師：（給學(xué)生一定作業(yè)時(shí)間，抽生回答，集體糾正錯(cuò)誤.出示第二個(gè)練習(xí)如下圖.）

師：圖中的①②已知什么邊求什么邊？

生23：已知一直角邊和斜邊，求另一直角邊.

師：（給學(xué)生一定作業(yè)時(shí)間，抽查學(xué)生回答，集體糾正錯(cuò)誤）回到引題（課件回到圖③）：?jiǎn)枺航鉀Q這個(gè)問題就是求示意圖中Rt△ABC的什么邊？

生：（齊答）斜邊.

師：怎樣列式？

師：當(dāng)斜邊不明確時(shí)怎么辦？（教師故意停頓，等待學(xué)生回答.）

生26：（心神領(lǐng)會(huì)，馬上回答）分情況討論.

師：（肯定的語氣）是的，請(qǐng)看（邊說邊出示練習(xí)）.

師：隨著問題的解決，本節(jié)課的學(xué)習(xí)也即將結(jié)束，同學(xué)們，學(xué)習(xí)了本節(jié)課，你們有哪些收獲？

（馬上有學(xué)生舉手.）

生27：知道了直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

生28：還知道了怎樣利用勾股定理解決實(shí)際問題.

師：（鼓勵(lì)）很好.請(qǐng)繼續(xù)思考.（邊說邊出示下一個(gè)圖片.）

生：（齊聲）不是，勾股定理是針對(duì)直角三角形而言的.

師：看來，大家對(duì)勾股定理理解得非常好，真是太棒了.

師：這節(jié)課就到這.下課，同學(xué)們?cè)僖姡?/p>

【教學(xué)反思】

1.欣賞圖片，激發(fā)興趣.通過欣賞美麗的“勾股樹”圖案以及2002年在我國(guó)北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案，讓學(xué)生了解我國(guó)古代輝煌的數(shù)學(xué)成就，引入課題.接下來，讓學(xué)生在紙上隨便畫一個(gè)直角三角形，用刻度尺量一量三邊的長(zhǎng)度，找一找這三個(gè)數(shù)據(jù)是否具有特殊性，讓學(xué)生初步作出猜想.這樣，一方面激發(fā)學(xué)生的求知欲望，另一方面，也對(duì)學(xué)生進(jìn)行了學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)和解決問題能力的培養(yǎng).

2.分析探究，得出猜想.通過對(duì)網(wǎng)格圖中的等腰直角三角形到一般直角三角形中三邊關(guān)系的探究，讓同學(xué)們體驗(yàn)由特殊到一般的探究過程，學(xué)習(xí)這種研究方法.

3.確定猜想成立，得出定理.在這一過程中，學(xué)生充分利用學(xué)具去嘗試解決，力求讓學(xué)生自己探索，先在小組內(nèi)交流，然后在全班交流，盡量學(xué)習(xí)更多的方法.

4.反思?xì)w納，總結(jié)升華.一是讓學(xué)生自己回顧總結(jié)本節(jié)課的收獲.（當(dāng)然多數(shù)為具體的知識(shí)和方法）.二是教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)家敏銳的觀察力和勤于思考的作風(fēng)，不斷提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，適時(shí)對(duì)大家進(jìn)行思想教育.

5.練習(xí)鞏固.主要練習(xí)勾股定理在求直角三角形的邊和解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題的應(yīng)用；規(guī)范解題格式.

本節(jié)課的優(yōu)點(diǎn)：①重點(diǎn)突出，難點(diǎn)突破；②能力要求適中；③學(xué)生能回答教師提問；④層次分明，密度合理，安排嚴(yán)謹(jǐn)；

本節(jié)課的缺點(diǎn)：①異地上課，課件準(zhǔn)備不充分；②多媒體無動(dòng)畫功能，造成課件中的圖形、線段該旋轉(zhuǎn)的動(dòng)不起來，直觀性不強(qiáng).

【教研組評(píng)析】

這節(jié)課的特點(diǎn)是設(shè)計(jì)起點(diǎn)高、探究性強(qiáng)、實(shí)施難度大、教學(xué)價(jià)值高，是一節(jié)成功的探究課.具體體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：

第一，這節(jié)課較好地體現(xiàn)了新課程理念.從教學(xué)設(shè)計(jì)到教學(xué)實(shí)施都立足于學(xué)生，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)及實(shí)際情況出發(fā)，特別是在內(nèi)容安排和問題設(shè)計(jì)上，教師做到了“以生為本”，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的起跳點(diǎn)、關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的需求點(diǎn)、關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì)點(diǎn).這節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的起跳點(diǎn)就是勾股定理的歸納，這節(jié)課學(xué)生的需求點(diǎn)就是學(xué)生的探究欲望，這節(jié)課學(xué)生的優(yōu)勢(shì)點(diǎn)是學(xué)生有較高的思維水平.從電桿拉線問題的設(shè)計(jì)來看，充分體現(xiàn)了教師重視數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、重視對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng).從教學(xué)實(shí)施情況來看，教師注重過程性教學(xué)，并將知識(shí)、技能、思想、方法、策略等蘊(yùn)含于教學(xué)過程之中.另外，教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容恰當(dāng)?shù)剡x擇了教學(xué)方式，做到突出探究式教學(xué)，兼顧講授式教學(xué)，教學(xué)實(shí)施過程比較自然合理.應(yīng)該說，新課程理念在這節(jié)課上得到了較充分的體現(xiàn).

第二，從教學(xué)設(shè)計(jì)上看，具有生成性，體現(xiàn)了教學(xué)創(chuàng)新的意識(shí).這節(jié)課是華師大版八年級(jí)上冊(cè)第十四章勾股定理的新授課.對(duì)勾股定理這一章來說，從課標(biāo)要求到教材內(nèi)容設(shè)置起點(diǎn)都比較低——一方面表現(xiàn)在知識(shí)點(diǎn)少即僅有勾股定理的內(nèi)容，另一方面表現(xiàn)能力要求單一，即運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.教師在沒有現(xiàn)成、固定的教學(xué)練習(xí)情況下，設(shè)計(jì)一節(jié)探究課確實(shí)是一件比較困難的事.劉老師能知難而上，深入研究課標(biāo)、反復(fù)研讀教材，根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況，利用教材資源和學(xué)生的智慧資源設(shè)計(jì)出這節(jié)課的練習(xí)內(nèi)容，具體來說，圖⑨上的練習(xí)是對(duì)教材中例題的繼續(xù)與延伸，做到了依靠教材又超越教材，有助于學(xué)生質(zhì)疑、發(fā)現(xiàn)、解決問題等能力的提高.總之，這節(jié)課的內(nèi)容具有生成性和創(chuàng)造性.

本節(jié)課的優(yōu)點(diǎn)：

①重視知識(shí)形成過程，實(shí)施有效教學(xué)；②引導(dǎo)學(xué)生，了解教材；③師生交往互動(dòng)；④學(xué)生學(xué)習(xí)熱情高，思維積極，發(fā)言踴躍.

本節(jié)課的缺點(diǎn)：

①滲透德育教育不夠；②沒有運(yùn)用多種手段創(chuàng)設(shè)問題情境；③教學(xué)手段應(yīng)用不很適當(dāng)、先進(jìn)性不夠；④課堂作業(yè)設(shè)計(jì)形式單一，創(chuàng)新性不強(qiáng).（四川省宣漢縣新華中學(xué) 數(shù)學(xué)教研組）

【教研員評(píng)析】

我個(gè)人認(rèn)為：第一，從教學(xué)實(shí)施過程來看，較好地發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，教師的主導(dǎo)作用.這節(jié)課的活動(dòng)模式是：先動(dòng)手畫一畫，量一量——然后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察，產(chǎn)生猜想——再探究歸納規(guī)律——利用定理解決實(shí)際問題，以這樣一個(gè)活動(dòng)主線展開教學(xué)過程.在每個(gè)活動(dòng)環(huán)節(jié)中，特別是在學(xué)生探究解決問題方案的過程中，教師能走進(jìn)學(xué)生，與學(xué)生一起討論、交流，發(fā)現(xiàn)并收集學(xué)生在活動(dòng)中所遇到的對(duì)問題認(rèn)識(shí)的疑點(diǎn)、處理問題的難點(diǎn)、解決問題的亮點(diǎn).具體表現(xiàn)在：得出網(wǎng)格圖中的正方形R的面積時(shí)，學(xué)生用了兩種方法：第一種是割補(bǔ)法，學(xué)生分別取零補(bǔ)整等情況進(jìn)行探究；第二種是旋轉(zhuǎn)法，利用動(dòng)畫進(jìn)行探究.在此教師不僅發(fā)揮了一個(gè)組織者、引領(lǐng)者的作用，同時(shí)發(fā)揮了一個(gè)參與者與合作者的作用.學(xué)生作為活動(dòng)的主體，由于有充分的獨(dú)立思考時(shí)間，學(xué)生的各種思維也被有效激活，為合作交流奠定了有利基礎(chǔ).特別是對(duì)得出結(jié)論的處理，學(xué)生既有觀察、質(zhì)疑、猜想，又有探究、交流，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生參與活動(dòng)的積極性，激發(fā)了學(xué)生探究問題的強(qiáng)烈欲望.而P51練習(xí)2中不僅能檢測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，還大大促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升.在教學(xué)實(shí)施過程中，不僅體現(xiàn)了教師的教學(xué)指導(dǎo)力度，還凸顯了學(xué)生的參與廣度以及學(xué)生的思維深度.

第二，從教學(xué)方式操作的效果來看，教師對(duì)探究式教學(xué)理解得比較深刻.具體表現(xiàn)在：內(nèi)容選擇具有較高的探究?jī)r(jià)值——思考性、挑戰(zhàn)性、生成性、開放性.另外教師對(duì)探究式教學(xué)的操作步驟安排得比較合理：安排了質(zhì)疑、猜想、探究等環(huán)節(jié).教師恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方式解決問題、恰到好處地運(yùn)用合作交流，激活了學(xué)生的參與積極性與創(chuàng)造欲望，這是探究式教學(xué)所極力倡導(dǎo)的教學(xué)效果，這節(jié)課做到了學(xué)生是知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者、探究者和擁有者.

第三，對(duì)這節(jié)課談兩點(diǎn)建議：1.獨(dú)立思考是學(xué)生回答問題的前提，因此建議抽問前要給學(xué)生充分的獨(dú)立思考時(shí)間；2.在動(dòng)手操作后應(yīng)給予學(xué)生充分的交流展示的時(shí)間與空間，讓學(xué)生揭示自己的思考方法、思維過程，使所有參與探究的學(xué)生對(duì)問題都能理解掌握，使探究活動(dòng)更有實(shí)效性.

E-mail:hit790205@163.com

?編輯/張燁