陳 歡 ,湯 斐

(孝感學(xué)院物理與電子信息工程學(xué)院,湖北孝感432000)

模式匹配法是一種利用傳輸矩陣、散射矩陣和完全匹配層直接求解電磁場邊值問題的方法。它不同于時(shí)域有限差分法的網(wǎng)格分析模式,對橫向結(jié)構(gòu)相同的光波導(dǎo),在每個(gè)層面上用同一個(gè)矩陣進(jìn)行描述,因此計(jì)算速度快,尤其適合于大型光波導(dǎo)集成器件的計(jì)算,是一種非常有前景的數(shù)值模擬方法。在周期性結(jié)構(gòu)和多層介質(zhì)材料、變折射率光學(xué)集成器件中得到了廣泛的應(yīng)用。

用模式匹配法求解一個(gè)復(fù)雜光波導(dǎo)器件中的光場分布時(shí),可以將光波導(dǎo)器件沿縱向方向把它分割成很多小段,每小段內(nèi)光波導(dǎo)的橫向結(jié)構(gòu)和折射率分布近似不變,因此其內(nèi)部的光場分布可以用其本征解的疊加來表示。而在兩段光波導(dǎo)連接處,根據(jù)光場的連續(xù)性可以從一側(cè)的本征模系數(shù)推導(dǎo)出另一側(cè)的本征模系數(shù),此即模式匹配法的核心思想[1]。

1 模式匹配法

圖1表示相鄰兩段波導(dǎo)Ⅰ和Ⅱ的分界面。在介質(zhì) Ⅰ中沿方向有一個(gè)p階入射模,該入射模式在波導(dǎo) Ⅰ和 Ⅱ的分界面發(fā)生反射,在介質(zhì) Ⅰ中形成一個(gè)反射場,同時(shí)在介質(zhì) Ⅱ中形成一個(gè)透射場。我們將反射場和透射場分別用介質(zhì) Ⅰ和 Ⅱ中的本征模展開來表示[2],根據(jù)光場的切向分量連續(xù)性得到如下方程:

圖1 相鄰兩段波導(dǎo)的分界面

磁場 H中的負(fù)號是根據(jù)本征解相對應(yīng)的反向傳輸本征解而得到的。式中的展開系數(shù) Rj,p和Tj,p分別稱為反射系數(shù)和透射系數(shù)。將(1)式右邊叉乘,將(2)式左邊叉乘。這里,i表示介質(zhì)Ⅰ或介質(zhì) Ⅱ。再記重疊積分為:

可以得到:

進(jìn)一步可利用正交關(guān)系式

將(4)式和(5)式化簡為:

加減這些場方程得到:

在(8)式和(9)式中,列出 p從1→N的所有方程,最后得到:

在上述兩個(gè)表達(dá)式中 TⅠ,Ⅱ和RⅠ,Ⅱ稱為透射矩陣和反射矩陣,角標(biāo) T表示轉(zhuǎn)置矩陣。如果用列向量Ainc表示任意一個(gè)入射波的本征模展開系數(shù)Ainc,則反射場和透射場可以寫為:

這樣就得到了從介質(zhì) Ⅰ到介質(zhì) Ⅱ的反射矩陣 RⅠ,Ⅱ和透射矩陣 TⅠ,Ⅱ,利用同樣的辦法可以得到從介質(zhì) Ⅱ到介質(zhì) Ⅰ的反射矩陣RⅡ,Ⅰ和透射矩陣 TⅡ,Ⅰ。綜合這四個(gè)矩陣就可以描述相鄰兩斷波導(dǎo)界面處的光場分布情況。在采用模式匹配法的計(jì)算過程中所取用的本征模的個(gè)數(shù)越多,計(jì)算結(jié)果就越精確,但隨之而來的計(jì)算量也越大。

2 布拉格光柵仿真研究

圖2 布拉格光柵結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)上述討論,對布拉格光柵來進(jìn)行仿真模擬。根據(jù)布拉格光柵的結(jié)構(gòu)圖(見圖2),設(shè)入射光λ=1.5102μm,n1=1.53,n2=1.52。計(jì)算在 d1段對應(yīng)的光波導(dǎo)中的第一個(gè)導(dǎo)模的值β1=6.2811302878867;同樣計(jì)算在 d2段對應(yīng)的光波導(dǎo)中的第一個(gè)導(dǎo)模的值β2=6.31177186060469。取 d1=2.5π/β1=1.2504,d2=2.5π/β2=1.2443,用512個(gè)周期進(jìn)行計(jì)算布拉格光柵的反射率和透射率,得到圖3。其中實(shí)線代表反射率,虛線代表透射率。從圖3中可以看出,該布拉格光柵的反射帶寬為1.3 nm。

圖3 布拉格光柵的反射率與透射率特性

記Δn=|n1-n2|,對比計(jì)算兩個(gè)布拉格光柵,第一個(gè)布拉格光柵的折射率分別為 n1=1.52和 n2=1.53,Δn=0.001;第二個(gè)布拉格光柵的折射率分別為n1=1.52和n2=1.521,Δn=0.001。設(shè)定好布拉格光柵的周期和長度,使其反射率都接近1,分別在其中心波長附近進(jìn)行計(jì)算,得到圖4,我們看到,Δn=0.001的布拉格光柵的反射帶寬為1.3 nm,而Δn=0.001的布拉格光柵的反射帶寬僅為0.4 nm。當(dāng)折射率差增大時(shí)布拉格光柵的反射帶寬增大。

為了分析布拉格光柵中周期數(shù)對反射率的影響,設(shè)入射光λ=1.5μm,n1=1.53,n1=1.52,d1=1.2504,d2=1.2443。采用模式匹配法取256個(gè)周期和512個(gè)周期在中心波長附近進(jìn)行計(jì)算,得到圖5。這時(shí)取256個(gè)周期時(shí),布拉格光柵的反射率最大也只有70.34%,當(dāng)取512個(gè)周期時(shí),布拉格光柵的反射率近似為1。也就是說,當(dāng)布拉格光柵的周期長度增加時(shí)反射峰值增大。

圖4 折射率差對布拉格光柵反射率的影響

圖5 布拉格光柵的周期數(shù)目對反射率的影響

根據(jù)圖2,設(shè)入射光λ=1.5102μm,n1=1.53,n1=1.52,d1=1.2504,d2=1.2443,用512個(gè)周期計(jì)算反射率接近1的光場分布見圖6。

改變?nèi)肷涔獾牟ㄩLλ=1.5102μm,其他條件不變得到圖7的光場分布圖。此時(shí)透射率接近1?？煽吹綇挠抑磷?反射光時(shí)大時(shí)小,無法有效的累積疊加,因此總反射光很弱(最大約0.5)而透射很強(qiáng)(大約10)。

圖6 布拉格反射器中的光場分布

圖7 布拉格濾波器中的光場分布

3 結(jié)論

本文討論了模式匹配法的基本理論框架,并利用MA TLAB編程對不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的布拉格光柵進(jìn)行了仿真模擬,發(fā)現(xiàn)當(dāng)折射率差增大時(shí)布拉格光柵的反射帶寬增大,而當(dāng)布拉格光柵的周期長度增加時(shí)反射峰值增大,這些行為特征與傳統(tǒng)耦合波理論分析相一致。我們相信這些結(jié)論對布拉格光柵的設(shè)計(jì)具有一定的幫助。

[1] Bienstman P,Baets R.Waveguide and resonator modeling based on ectorial eigenmode expension and perfectly matched layer boundery conditions[Z].Progress In Electromagnetics Research Symposium-PIERS 2000.United States,2000.

[2] Berenger J P.A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves[J].Journal of Computational Physics,1994(2):185-200.