李 貴 鄭華慶 吳宜燦,3 FDS團(tuán)隊(duì)

1（中國(guó)科學(xué)院等離子體物理研究所 合肥 230031）

2（安徽省精確放療工程技術(shù)研究中心 合肥 230031）

3（中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院 合肥 230027）

基于多算法的電子劑量場(chǎng)反演方法

李 貴1,2鄭華慶1,2吳宜燦1,2,3FDS團(tuán)隊(duì)

1（中國(guó)科學(xué)院等離子體物理研究所 合肥 230031）

2（安徽省精確放療工程技術(shù)研究中心 合肥 230031）

3（中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院 合肥 230027）

為了研究精確放射治療中多算法的電子劑量場(chǎng)反演方法及反演效果，建立非線性規(guī)劃電子劑量場(chǎng)反演模型，利用體外透射劑量重建全空間電子劑量場(chǎng)，并通過(guò)多種算法實(shí)現(xiàn)。采用 7個(gè)例題測(cè)試結(jié)果表明：除NMinimize算法不能實(shí)現(xiàn)該模型外，其他算法都能實(shí)現(xiàn)，其中Levenberg-Marquardt算法最精確快速。進(jìn)一步測(cè)試表明，利用接近電子射程的透射劑量會(huì)帶來(lái)較大的反演誤差（尾差），原因可能是能譜平均帶來(lái)的，因此改進(jìn)方法需考慮改進(jìn)對(duì)平均能量的近似。但由于反演時(shí)間較短，精度高，可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)劑量場(chǎng)反演；并且每一種算法都有特點(diǎn)，為實(shí)現(xiàn)提供多方法的選擇性，滿足臨床上對(duì)實(shí)時(shí)劑量驗(yàn)證的需要。

電子劑量場(chǎng)，劑量驗(yàn)證，能譜，精確放射治療

精確放射治療中，蒙特卡羅模擬等精確劑量計(jì)算可達(dá)到很高的正向計(jì)算精度[1?3]，但實(shí)際治療操作中的不可控誤差[4,5]，會(huì)使照射區(qū)域的劑量分布偏移計(jì)劃劑量分布，因此需實(shí)施實(shí)時(shí)的劑量場(chǎng)的重建即劑量場(chǎng)反演，以確?；颊唧w內(nèi)腫瘤區(qū)域的劑量符合計(jì)劃要求。目前，精確放療劑量驗(yàn)證的方法基本考慮光子照射，但也須驗(yàn)證電子束照射的劑量，方能確?！熬_放療”的實(shí)現(xiàn)。此外，電子劑量場(chǎng)反演還可應(yīng)用于工業(yè)探測(cè)，如用高能電子束照射工件，測(cè)量透射劑量來(lái)反推工件內(nèi)部劑量場(chǎng)分布，從而獲得工件的損傷與材料分布等情況。

電子束照射劑量驗(yàn)證的難點(diǎn)，一是電子射程短，射程之外當(dāng)然無(wú)電子劑量分布；二是光子污染問(wèn)題，光子劑量場(chǎng)可以很好地控制電子污染，而電子劑量場(chǎng)中的光子不能很好地消除。第一個(gè)問(wèn)題的解決方案，只有提高電子束能量，如20 MeV電子束能穿透10 cm水模，可穿透人體一些部位（如乳腺癌的治療），可實(shí)施劑量驗(yàn)證，因此本文把電子劑量場(chǎng)限定在高能區(qū)。對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，本文將把光子場(chǎng)也考慮在內(nèi)，建立一個(gè)混合場(chǎng)模型。

本文發(fā)展一種新型的電子劑量場(chǎng)的反演方法，在混合筆形束模型基礎(chǔ)上，建立非線性規(guī)劃反演模型并利用多種非線性反演方法實(shí)現(xiàn)快速精確的電子束劑量場(chǎng)實(shí)時(shí)反演，最后與蒙特卡羅模擬對(duì)比[6?10]進(jìn)行驗(yàn)證。

1 基于混合筆形束的非線性規(guī)劃反演模型

1.1 劑量場(chǎng)誤差分析與反演模型的建立

Luo等[11?13]根據(jù) Fermi-Eyges多級(jí)散射理論，發(fā)展了混合筆形束模型，用于精確放射治療的精確解析電子劑量計(jì)算，其模型決定電子光子混合劑量場(chǎng)的參數(shù)有：電子能譜、矩形野尺寸、散射參數(shù)、光子污染函數(shù)與“距離平方反比修正”函數(shù)中的若干系數(shù)。本文將在此模型基礎(chǔ)上建立電子劑量場(chǎng)反演模型。

電子劑量場(chǎng)的反演如圖1的 C→B過(guò)程，根據(jù)體外C處的透射劑量反推B的劑量分布。其中要求電子能穿透B穿過(guò)空氣到達(dá)C處，這樣才能根據(jù)C處測(cè)得到的透射劑量分布反推出全空間的劑量分布。此法把圖中 ABC三部分劑量場(chǎng)看作一體，把問(wèn)題歸結(jié)為求解非均勻模體的反向劑量計(jì)算問(wèn)題。

基于以上分析，對(duì)如下幾種情況的變化造成空間的劑量場(chǎng)重新分布進(jìn)行討論。

(1) 矩形野變化。設(shè)變形后的矩形野為(x∈[D2,D1],y∈[C2,C1])，未形變的矩形野為(x∈[d2,d1],y∈[c2,c1])，由此引起的矩形變化(負(fù)號(hào)表示變短)為：

野長(zhǎng)變化：

野寬變化：

圖1 電子劑量場(chǎng)反演Fig.1 Inversion of electron dose map.

(2) 射線平移。只考慮水平面的平移，射線上下平移的實(shí)質(zhì)是源皮距變化，這里用臨床常用的平行源，因此源皮距的變化對(duì)劑量場(chǎng)的影響很不敏感，可忽略。由于射線位置與射野是相對(duì)的，射線平移導(dǎo)致的后果就等同于射野偏離了原射野中心：[(d1+d2)/2, (c1+c2)/2]。新的射野中心可通過(guò)變形后的矩形野求得。新的射野中心為：[(D1+D2)/2, (C1+C2)/2]，則新射野中心對(duì)原射野中心的偏移量為：

(3) 射線轉(zhuǎn)動(dòng)。射線發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)等同于坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)公式，設(shè)θ和φ角分別是法線方向n的極偏移角和方位偏移角，則舊坐標(biāo)(x,y,z)和新坐標(biāo)(X,Y,Z) (實(shí)驗(yàn)坐標(biāo)系)的變換關(guān)系為

(4) 光子污染變化。我們?cè)谙惹暗碾娮幽茏V反演研究中提出[14,15]：光子污染由兩個(gè)指數(shù)函數(shù)描述。假設(shè)高能散射光平均衰減系數(shù)μp、軔致輻射光子和次級(jí)光子衰減系數(shù)μe、散射光子與軔致輻射光子的比例系數(shù)ν等決定光子物理性質(zhì)的參數(shù)不變，并設(shè)電子劑量場(chǎng)的重新分布使光子污染改變?yōu)樵瓉?lái)的β倍，則只要在電子劑量場(chǎng)中考慮光子污染項(xiàng)，且該光子污染項(xiàng)為一個(gè)平均值，就可基本消除光子污染對(duì)電子劑量場(chǎng)的誤差影響。β實(shí)質(zhì)就是實(shí)際的光子污染對(duì)原計(jì)劃中光子污染的調(diào)整值，用于獲得更精確的電子劑量場(chǎng)。光子污染P'(z)為[14]，

經(jīng)過(guò)以上的誤差修正，這時(shí)所得的劑量場(chǎng)可認(rèn)為是接近實(shí)際的劑量場(chǎng)：

其中，x-y-z符合式(4)。反演的具體目的是求得該模型中的修正因子，從而求得實(shí)際的全空間劑量分布。

反演法就是利用體外透射劑量曲線反演全空間的劑量分布。設(shè)深度為ZN處測(cè)得的透射劑量為D(X,Y,ZN)，反演的透射劑量為D'(X,Y,ZN)，這里采用均方根誤差來(lái)衡量反演的計(jì)算精度：其中，m×n是用于反演的數(shù)據(jù)數(shù)目，N是反演的參數(shù)數(shù)目(二維N=5；三維N=8)。這樣，該數(shù)學(xué)模型是一個(gè)非線性規(guī)劃模型：目標(biāo)函數(shù)是反演的透射劑量與測(cè)量透射劑量的最小均方根誤差，約束條件是非負(fù)的光子污染倍數(shù)β，引入絕對(duì)值，該模型就是一個(gè)無(wú)約束的最優(yōu)化問(wèn)題(Minσ)：

這時(shí)反演的具體實(shí)施過(guò)程是用方程(9)左邊的測(cè)量透射劑量擬合方程右邊的若干參數(shù)，將算得參數(shù)代入式(9)，得到實(shí)際的劑量場(chǎng)分布。用非線性擬合法獲得式(9)的參數(shù)求解。

最后，假設(shè)加速器相對(duì)穩(wěn)定，在實(shí)施放療中電子能譜的變化忽略不計(jì)，但在放療前，通過(guò)反演法獲得能譜與光子污染函數(shù)。

1.2 反演模型的實(shí)現(xiàn)

為進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，這里選用來(lái)自蒙特卡羅EGS模擬(即EGSnrc，其中野內(nèi)統(tǒng)計(jì)誤差小于0.5%)的測(cè)試?yán)}對(duì)比數(shù)據(jù)。EGS模擬計(jì)算時(shí)，輸入能譜與文獻(xiàn)[14]電子能譜一致。同時(shí)考慮電子劑量場(chǎng)存在嚴(yán)重的光子污染問(wèn)題，絕大部分光子污染來(lái)自入射電子源(約5%)，EGS程序無(wú)此計(jì)算功能。因此在反演模型中添加光子污染，數(shù)據(jù)來(lái)自 Deng J采用BEAMnrc模擬20 MeV Varian Clinac 1800電子加速器的光子污染[16]。

計(jì)算模型如圖2所示，這里采用Mathematica6.0編程，實(shí)現(xiàn)求解如上的非線性規(guī)劃模型；調(diào)用該軟件自帶軟件包 Nonlinear Regression進(jìn)行非線性反演，有7種反演算法可用，包括：C1：Levenberg-Marquardt；C2：Quasi-Newton；C3：Gradient；C4：Conjugate-Gradient；C5：Newton；C6：Principal-Axis；C7：NMinimize算法。計(jì)算機(jī)配置為Win XP，P-4 CPU：2.0 GHz，RAM：256 Mb。測(cè)試內(nèi)容采用7個(gè)計(jì)算例題：可行性測(cè)試、射野大小影響、縱向材料不同、大偏差的影響及復(fù)雜幾何模型下存在大測(cè)量誤差的影響。其中，大偏差是指實(shí)際劑量場(chǎng)嚴(yán)重偏移原計(jì)劃的劑量場(chǎng)；小偏差則是指這兩者差別不大。采用的測(cè)試設(shè)計(jì)如下（坐標(biāo)單位均為cm）：

圖2 幾何模型Fig.2 Geometric model.

(1) 可行性測(cè)試

例題 1水-空氣-水(小偏差，10 cm ×10 cm野)

使用水體模大小為30 cm×30 cm×30 cm。圖2為電子照射的幾何坐標(biāo)示意圖，各電子劑量計(jì)算程序計(jì)算的結(jié)果的坐標(biāo)要求與圖2相一致。第一層為30 cm×30 cm×6 cm的水(ρ= 1 g/cm3，下同)；第二層為 30 cm×30 cm×2 cm 的空氣(ρ= 0.00121 g/cm3，下同)；第三層為30 cm×30 cm×22 cm 的水。

(2) 射野大小影響

例題 2 水-空氣-水(小偏差，20 cm ×20 cm 野)

例題1基礎(chǔ)上，射野擴(kuò)大為20 cm ×20 cm，其它不變。對(duì)比數(shù)據(jù)來(lái)源：EGS計(jì)算，參數(shù)與例題1一致。

(3) 縱向材料不同

例題 3 水-肺-空氣-水(小偏差，10cm ×10 cm野)

例題1基礎(chǔ)上，空氣層上方30 cm×30 cm×6 cm的水模替換為30 cm×30 cm×2 cm水層與30 cm×30 cm×4 cm肺層(ρ= 0.258 g/cm3)，其它不變。對(duì)比數(shù)據(jù)來(lái)源：EGS計(jì)算，參數(shù)與例題1一致。

(4) 大偏差的影響

例題 4 水-空氣-水(大偏差，10 cm ×10 cm 野)

例題1基礎(chǔ)上，將入射電子束沿著坐標(biāo)原點(diǎn)，與X-Z平面水平，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)5°，射野由射野坐標(biāo)(–5,5)，(–5,5)，(5, –5)，(5,5)變化為(–4,5)，(–4,5)，(4.2, –5)，(4.2,5)；光子污染比例題1放大2倍，其他不變。

例題 5 水-空氣-水(大偏差，20 cm ×20 cm 野)

幾何模型在例題 2基礎(chǔ)上，射野擴(kuò)大為 20 cm×20 cm，然后將入射電子束沿坐標(biāo)原點(diǎn)，與X-Z平面水平，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 10°，射野由射野坐標(biāo)(–10,10)，(–10,10)，(10, –10)，(10,10)變化為(–12,10)，(–12,10)，(11, –10)，(11,10)；光子污染比例題 3 放大5倍，其他不變。

例題6 水-肺-空氣-水(大偏差，10 cm×10 cm野)

在例題水-肺-空氣-水(小偏差，10 cm×10 cm 野)的基礎(chǔ)上，將入射電子束沿著坐標(biāo)原點(diǎn)與X-Z平面水平，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 10°，射野由坐標(biāo)(–5,5)，(–5,5)，(5,–5)，(5,5)變化為(–7,5)，(–7,5)，(6,–5)，(6,5)；光子污染比例題3放大5倍，其他不變。

(7) 復(fù)雜模型(橫向與縱向材料不同，透射劑量在電子射程附近)

例題 7：水-空腔-水-空氣-水(10 cm×10 cm 野)

例題1基礎(chǔ)上，沿著中心軸自上而下，分別放置30 cm×30 cm×3 cm的水層，與2 cm×2 cm×2 cm的空氣腔(周圍是水)，30 cm×30 cm×3 cm的水，30 cm×30 cm×2 cm空氣，30 cm×30 cm×20 cm水。

2 結(jié)果與討論

反演結(jié)果見(jiàn)表1、圖3與圖4，這里只給出了典型結(jié)果的劑量場(chǎng)，圖3與圖4是例題4與例題7的離軸劑量曲線。其中，表1的“–”表示對(duì)應(yīng)的算法不能實(shí)現(xiàn)計(jì)算。

除例題 3(但誤差大)，其他例題的 NMinimize算法都不能實(shí)現(xiàn)，原因可能是該算法對(duì)約束條件不敏感，或該算法計(jì)算內(nèi)存消耗太大，超過(guò)了Mathematica6.0程序包Nonlinear Regression所允許的計(jì)算要求。反演中能計(jì)算出射野大小、射線中心與偏斜角這些小偏差。在例題7中，重建的劑量場(chǎng)與EGS的對(duì)比表明，除了空腔處有一定的偏差外，其他部位重合得很好。空腔的偏差可能主要來(lái)自兩方面，其一，EGS的計(jì)算網(wǎng)格稀疏帶來(lái)的測(cè)量平面誤差及對(duì)比 EGS計(jì)算曲線本身就有誤差(0.5%–0.8%)；其二，反演模型對(duì)能量取平均的結(jié)果使得計(jì)算的尾部劑量場(chǎng)范圍變短——即電子在尾部還沒(méi)有完全衰減，但平均后就忽略了電子對(duì)尾部的劑量貢獻(xiàn)，由此產(chǎn)生尾部誤差（尾差）。因此改進(jìn)的反演模型需要考慮改進(jìn)對(duì)平均能量的近似。對(duì)于PrincipalAxis的失效可能與該算法的搜索方法有關(guān)，由于PrincipalAxis沿著均勻主軸有良好的收斂性，對(duì)于復(fù)雜模型就有可能失效。

表1 計(jì)算誤差與時(shí)間Table 1 Calculated error and time

圖3 水-空氣-水(大偏差，10 cm×10 cm野)反演結(jié)果(a) 重建離軸劑量曲線(C1–C6算法)與EGSnrc計(jì)算結(jié)果(點(diǎn)線)對(duì)比，(b) 重建全空間等劑量線(C1–C6)，其中C1–C6算法的結(jié)果互相重合，C7算法無(wú)法實(shí)現(xiàn)Fig.3 Inversion results of water-air-water model (10 cm×10 cm field).(a) comparison between reconstructed off-axis curve (by C1–C6 algorithms) and simulation results of EGSnrc;(b) reconstructed results of the whole dose map (by C1–C6 algorithms), where the reconstructed results of C1–C6 but C7 algorithms agreed well with the EGSnrc's.

在這 7個(gè)例題中(表 1)，從計(jì)算精度來(lái)看，Levenberg-Marquardt、Quasi-Newton與 Newton算法具有共性。這是因?yàn)長(zhǎng)evenberg-Marquardt算法是一種改進(jìn)的高斯牛頓(Gauss-Newton)算法，也就是搜索最小均方的方法；Quasi-Newton算法又稱為變尺度法，是牛頓法與梯度法的一種混合方法：如果取尺度為單位陣，此時(shí)搜索的方向就是梯度法方向；而進(jìn)一步，當(dāng)多次搜索完成時(shí)，其方向就是牛頓法方向。因此 Levenberg-Marquardt、Quasi-Newto算法都具有Newton算法的精度特性；但計(jì)算速度上，Levenberg-Marquardt算法>Quasi-Newton算法>Newton算法。其他算法在精度與速度上差別較大，精度上比不上前面三種方法，計(jì)算時(shí)間上各有差異。表1還表明，在所有的測(cè)試中Levenberg- Marquardt算法表現(xiàn)出很好的特性，精度快速，可作為電子劑量場(chǎng)反演的首選算法。

圖4 水-空腔-水-空氣-水(10 cm×10 cm野)模型反演結(jié)果(a) 重建離軸劑量曲線(C1–C5)與EGSnrc計(jì)算結(jié)果(點(diǎn)線)的對(duì)比，(b) 重建的全空間等劑量線(C1–C5)；C1–C5算法的結(jié)果互相重合，C6與C7算法無(wú)法實(shí)現(xiàn)Fig.4 Inversion results of water-cavity-water-air-water model (10 cm×10 cm field).(a) comparison between reconstructed off-axis curve (by C1–C5 algorithms) and simulation results of EGSnrc;(b) reconstructed results of the whole dose map (by C1–C5 algorithms), where the reconstructed results of C1–C5 but C6 and C7 algorithms agreed well with the EGSnrc's.

3 結(jié)論

本文建立了利用體外透射劑量重建全空間劑量分布的非線性規(guī)劃模型。該模型考慮了電子放療實(shí)施過(guò)程中的主要誤差來(lái)源，包括射線平移、射線偏轉(zhuǎn)、射野變形與光子污染。在原放療計(jì)劃電子劑量計(jì)算的基礎(chǔ)上添加這些誤差因子，利用體外透射劑量曲線反演出這些誤差因子，從而獲得經(jīng)過(guò)修正的原計(jì)劃，獲得實(shí)際的全空間劑量分布。其中采用了7種算法包括Levenberg-Marquardt、Quasi-Newton、Gradient、Conjugate-Gradient、Newton、Principal-Axis與NMinimize算法來(lái)實(shí)現(xiàn)該模型。多個(gè)例題(非均勻介質(zhì)的、與原計(jì)劃有小偏差與大偏差等情況下的劑量場(chǎng))測(cè)試結(jié)果表明，除了 NMinimize算法(只有一算例，誤差大)不能實(shí)現(xiàn)該模型外，其他算法都能實(shí)現(xiàn)，反演誤差小于0.9%；Levenberg-Marquardt算法表現(xiàn)出很好的特性，精度快速，可以作為電子劑量場(chǎng)反演的首選算法。進(jìn)一步測(cè)試表明，利用接近電子射程的透射劑量會(huì)帶來(lái)較大的反演誤差（尾差），這可能是反演模型對(duì)能量取平均的結(jié)果使得計(jì)算的尾部劑量場(chǎng)范圍變窄——即電子在尾部還沒(méi)有完全衰減，但平均后就忽略了電子對(duì)尾部的劑量貢獻(xiàn)。因此改進(jìn)的反演模型需要考慮改進(jìn)對(duì)平均能量的近似。

總之，每一種算法實(shí)現(xiàn)非線性規(guī)劃反演模型都有特點(diǎn)，這為在實(shí)際實(shí)現(xiàn)中提供多方法的選擇可能性；由于反演時(shí)間較短，精度高，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)劑量驗(yàn)證與實(shí)時(shí)劑量場(chǎng)可視化，可滿足臨床上實(shí)時(shí)的需要。

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Electron dose map inversion based on several algorithms

LI Gui1,2ZHENG Huaqing1,2WU Yican1,2,3FDS Team
1(Institute of Plasma Physics, Chinese Academy of Sciences, Hefei 230031, China)
2(Engineering Technology Research Center of Accurate Radiotherapy of AnHui Province, Hefei 230031, China)
3(School of Nuclear Science and Technology, University of Science and Technology of China, Hefei 230027, China)

The reconstruction to the electron dose map in radiation therapy was investigated by constructing the inversion model of electron dose map with different algorithms. The inversion model of electron dose map based on nonlinear programming was used, and this model was applied the penetration dose map to invert the total space one.The realization of this inversion model was by several inversion algorithms. The test results with seven samples show that except the NMinimize algorithm, which worked for just one sample, with great error, though, all the inversion algorithms could be realized to our inversion model rapidly and accurately. The Levenberg-Marquardt algorithm,having the greatest accuracy and speed, could be considered as the first choice in electron dose map inversion. Further tests show that more error would be created when the data close to the electron range was used (tail error). The tail error might be caused by the approximation of mean energy spectra, and this should be considered to improve the method. The time-saving and accurate algorithms could be used to achieve real-time dose map inversion. By selecting the best inversion algorithm, the clinical need in real-time dose verification can be satisfied.

Electron dose map, Inversion algorithm, Monte Carlo, Accurate radiation therapy

R730.55，R811

安徽省自然科學(xué)基金(090413095)資助

李 貴，男，1981年出生，在職博士，從事醫(yī)學(xué)物理相關(guān)研究

2009-12-16，

2009-12-16