晏 燕

（安徽建筑工業(yè)學(xué)院，安徽 合肥 230022）

壓桿穩(wěn)定計(jì)算的黃金分割法

晏 燕

（安徽建筑工業(yè)學(xué)院，安徽 合肥 230022）

文章分析了壓桿臨界應(yīng)力總圖中的安全系數(shù)分布，提出用黃金分割法進(jìn)行壓桿的穩(wěn)定計(jì)算具體做法，通過(guò)算例驗(yàn)證了黃金分割法的正確性及有效性，與平分法的算法相比，黃金分割法具有明顯的優(yōu)越性。

材料力學(xué)；鋼結(jié)構(gòu)；壓桿；黃金分割法

1.引言

壓桿的穩(wěn)定計(jì)算是材料力學(xué)的重要內(nèi)容，也是鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和鋼筋混凝土設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的重要基礎(chǔ)。工程中的構(gòu)件常選擇型鋼，由于構(gòu)件橫截面的形狀復(fù)雜，決定壓桿穩(wěn)定性的幾何參數(shù)往往很多，因此軸向受壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)一般用折減系數(shù)法經(jīng)過(guò)多次試算后才能獲得理想的截面尺寸，計(jì)算過(guò)程很繁瑣?，F(xiàn)在使用的材料力學(xué)教材大多采用平分法給出的折減系數(shù)φ進(jìn)行試算以驗(yàn)證是否符合設(shè)計(jì)要求[1]。在鋼結(jié)構(gòu)中一般是對(duì)于設(shè)計(jì)的壓桿假定一個(gè)柔度值進(jìn)行與前者相似的試算，最后給出壓桿的合理截面。

由于平分法并不考慮問(wèn)題本身的特殊性，一律選擇φ=0.5開(kāi)始試算，往往需要多次迭代，計(jì)算繁瑣，工作量很大。實(shí)際上，每一個(gè)具體的問(wèn)題，它應(yīng)該具有的安全系數(shù)是有規(guī)律可循的，而且工程實(shí)踐中的設(shè)計(jì)都是按國(guó)家規(guī)范進(jìn)行的，不同的結(jié)構(gòu)采用的安全系數(shù)都有一定的分布區(qū)間，這些都直接決定了φ的取值范圍[2]?？梢?jiàn)，不加區(qū)別地采用平分法計(jì)算沒(méi)有考慮到問(wèn)題本身的特殊性。

本文提出用黃金分割法進(jìn)行壓桿的穩(wěn)定計(jì)算具體做法，并通過(guò)兩個(gè)算例驗(yàn)證了本文方法的正確性及有效性。

2.壓桿的安全系數(shù)分布及穩(wěn)定計(jì)算的黃金分割法

在壓桿的穩(wěn)定計(jì)算中對(duì)各類(lèi)壓桿能承受的最大應(yīng)力用臨界應(yīng)力總圖描述，如圖1所示：

圖1臨界應(yīng)力總圖示意圖

圖中：σcr—壓桿的界應(yīng)力；

σs、σp—材料屈服極限和比例極限；

λ—壓桿的柔度；

λs、λp—小柔度桿、中柔度桿的臨界柔度；

i—壓桿屈曲方向的慣性半徑。

在對(duì)壓桿進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算時(shí)習(xí)慣上借用強(qiáng)度許用應(yīng)力作為設(shè)計(jì)指標(biāo)[4]。

圖2折減系數(shù)和柔度的關(guān)系

圖3壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù)和柔度的關(guān)系

令φ=σcr／nst[σ]，φ稱(chēng)為折減系數(shù)，它反映了壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力與柔度的關(guān)系[5]，也包含了與壓桿的穩(wěn)定安全因數(shù)nst的關(guān)系（圖2）。壓桿的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則為:

這一設(shè)計(jì)準(zhǔn)則給出的安全因數(shù)僅為穩(wěn)定安全因數(shù)，它們與壓桿的柔度有關(guān)，例如λs=30為純強(qiáng)度問(wèn)題，φ=0.963，安全系數(shù)n=1.04。彈塑性材料的屈服極限與比例極限相差無(wú)幾，我國(guó)鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范常用σp取代σs，在σcr=σp≈σs時(shí)，低碳鋼（Q235）的臨界柔度，λp≈100，φ=0.638，安全因數(shù)約為 n=1.57。對(duì)于 λ≥λp，有 σp=π2E ／1002，這時(shí) σcr=π2E ／λ2=σp／（λ2／1002），壓桿安全因數(shù)為 nst=1.57λ2／1002。a 類(lèi)截面低碳鋼穩(wěn)定安全因數(shù)與柔度間的關(guān)系用圖3描述。由圖3可以看出在λ≤40時(shí)，壓桿主要還是強(qiáng)度問(wèn)題。我國(guó)鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范中壓桿在λ／λ2≤0.215時(shí)，設(shè)計(jì)主要考慮強(qiáng)度問(wèn)題，工程上穩(wěn)定計(jì)算的柔度常用范圍[2]是60≤λ≤100。就圖3來(lái)看，λ≤60時(shí)穩(wěn)定安全系數(shù)接近于1，這就給我們用折減系數(shù)法進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算提供了有益的啟示，即計(jì)算時(shí)傾向于考慮強(qiáng)度問(wèn)題時(shí)，φ取值多在0.5~1區(qū)間；計(jì)算時(shí)傾向于考慮穩(wěn)定問(wèn)題時(shí)，φ取值多在0.5以下區(qū)間。所以，我們對(duì)于穩(wěn)定問(wèn)題按黃金分割點(diǎn)假設(shè)初始折減系數(shù)是合理的。

用黃金分割法進(jìn)行壓桿穩(wěn)定計(jì)算的做法是:

3．壓桿的穩(wěn)定計(jì)算實(shí)例

解：桿長(zhǎng)2m，如果柔度λ=100，如果是圓桿，截面直徑8cm，通常結(jié)構(gòu)直徑要大得多，傾向于強(qiáng)度問(wèn)題，φ分布在0.5~1區(qū)間，由φ1=0.618試算。

以上兩個(gè)算例的求解過(guò)程列于表1：

表1算例的計(jì)算列表

比較兩種算法，可以看到黃金分割法的工作量明顯減少。平分法不管什么問(wèn)題，均從φ=0.5算起，而黃金分割法要就具體問(wèn)題的特點(diǎn)判斷求解區(qū)間，這正是優(yōu)選法的重要特性。其起始計(jì)算就縮小了搜索范圍，每次運(yùn)算則可以排除剩下部分大約二分之一的區(qū)間，因而求解迅速。

4.結(jié)論

用折減系數(shù)法進(jìn)行壓桿穩(wěn)定計(jì)算本質(zhì)上是對(duì)壓桿進(jìn)行滿(mǎn)足穩(wěn)定條件下的優(yōu)化設(shè)計(jì)，也是優(yōu)選法解決問(wèn)題的范疇。計(jì)算實(shí)例表明用優(yōu)選法中的黃金分割法與用傳統(tǒng)的平分法相比較，能以較少的計(jì)算工作量較快的完成截面設(shè)計(jì)工作。

［1］孫訓(xùn)方等.材料力學(xué)（上）[M].北京：高等教育出版社，2007.

［2］孫強(qiáng)等.鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[M].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2007.

［3］任治章.壓桿穩(wěn)定設(shè)計(jì)的優(yōu)化方法[J].力學(xué)與實(shí)踐，1992，14（2）：51~52.

［4］任治章.壓桿穩(wěn)定設(shè)計(jì)的直接法[J].力學(xué)與實(shí)踐，1993，15（1）：66~69.

［5］王世華，杜歷強(qiáng).圓截面壓桿穩(wěn)定設(shè)計(jì)的先試后算法[J].力學(xué)與實(shí)踐，2005，27（6）：79~80.

TU311

A

1672-0547（2010）04-0069-02

2010-06-20

晏 燕（1964-），女，安徽建筑工業(yè)學(xué)院講師，研究方向：力學(xué)。

安徽省高等學(xué)校省級(jí)教學(xué)研究項(xiàng)目研究成果（編號(hào)：2008jyxm324）。