晏 燕

（安徽建筑工業(yè)學院，安徽 合肥 230022）

壓桿穩(wěn)定計算的黃金分割法

晏 燕

（安徽建筑工業(yè)學院，安徽 合肥 230022）

文章分析了壓桿臨界應力總圖中的安全系數(shù)分布，提出用黃金分割法進行壓桿的穩(wěn)定計算具體做法，通過算例驗證了黃金分割法的正確性及有效性，與平分法的算法相比，黃金分割法具有明顯的優(yōu)越性。

材料力學；鋼結(jié)構(gòu)；壓桿；黃金分割法

1.引言

壓桿的穩(wěn)定計算是材料力學的重要內(nèi)容，也是鋼結(jié)構(gòu)設計和鋼筋混凝土設計結(jié)構(gòu)的重要基礎。工程中的構(gòu)件常選擇型鋼，由于構(gòu)件橫截面的形狀復雜，決定壓桿穩(wěn)定性的幾何參數(shù)往往很多，因此軸向受壓桿的穩(wěn)定性設計一般用折減系數(shù)法經(jīng)過多次試算后才能獲得理想的截面尺寸，計算過程很繁瑣?，F(xiàn)在使用的材料力學教材大多采用平分法給出的折減系數(shù)φ進行試算以驗證是否符合設計要求[1]。在鋼結(jié)構(gòu)中一般是對于設計的壓桿假定一個柔度值進行與前者相似的試算，最后給出壓桿的合理截面。

由于平分法并不考慮問題本身的特殊性，一律選擇φ=0.5開始試算，往往需要多次迭代，計算繁瑣，工作量很大。實際上，每一個具體的問題，它應該具有的安全系數(shù)是有規(guī)律可循的，而且工程實踐中的設計都是按國家規(guī)范進行的，不同的結(jié)構(gòu)采用的安全系數(shù)都有一定的分布區(qū)間，這些都直接決定了φ的取值范圍[2]?？梢?，不加區(qū)別地采用平分法計算沒有考慮到問題本身的特殊性。

本文提出用黃金分割法進行壓桿的穩(wěn)定計算具體做法，并通過兩個算例驗證了本文方法的正確性及有效性。

2.壓桿的安全系數(shù)分布及穩(wěn)定計算的黃金分割法

在壓桿的穩(wěn)定計算中對各類壓桿能承受的最大應力用臨界應力總圖描述，如圖1所示：

圖1臨界應力總圖示意圖

圖中：σcr—壓桿的界應力；

σs、σp—材料屈服極限和比例極限；

λ—壓桿的柔度；

λs、λp—小柔度桿、中柔度桿的臨界柔度；

i—壓桿屈曲方向的慣性半徑。

在對壓桿進行穩(wěn)定計算時習慣上借用強度許用應力作為設計指標[4]。

圖2折減系數(shù)和柔度的關系

圖3壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù)和柔度的關系

令φ=σcr／nst[σ]，φ稱為折減系數(shù)，它反映了壓桿的穩(wěn)定許用應力與柔度的關系[5]，也包含了與壓桿的穩(wěn)定安全因數(shù)nst的關系（圖2）。壓桿的設計準則為:

這一設計準則給出的安全因數(shù)僅為穩(wěn)定安全因數(shù)，它們與壓桿的柔度有關，例如λs=30為純強度問題，φ=0.963，安全系數(shù)n=1.04。彈塑性材料的屈服極限與比例極限相差無幾，我國鋼結(jié)構(gòu)設計規(guī)范常用σp取代σs，在σcr=σp≈σs時，低碳鋼（Q235）的臨界柔度，λp≈100，φ=0.638，安全因數(shù)約為 n=1.57。對于 λ≥λp，有 σp=π2E ／1002，這時 σcr=π2E ／λ2=σp／（λ2／1002），壓桿安全因數(shù)為 nst=1.57λ2／1002。a 類截面低碳鋼穩(wěn)定安全因數(shù)與柔度間的關系用圖3描述。由圖3可以看出在λ≤40時，壓桿主要還是強度問題。我國鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范中壓桿在λ／λ2≤0.215時，設計主要考慮強度問題，工程上穩(wěn)定計算的柔度常用范圍[2]是60≤λ≤100。就圖3來看，λ≤60時穩(wěn)定安全系數(shù)接近于1，這就給我們用折減系數(shù)法進行穩(wěn)定計算提供了有益的啟示，即計算時傾向于考慮強度問題時，φ取值多在0.5~1區(qū)間；計算時傾向于考慮穩(wěn)定問題時，φ取值多在0.5以下區(qū)間。所以，我們對于穩(wěn)定問題按黃金分割點假設初始折減系數(shù)是合理的。

用黃金分割法進行壓桿穩(wěn)定計算的做法是:

3．壓桿的穩(wěn)定計算實例

解：桿長2m，如果柔度λ=100，如果是圓桿，截面直徑8cm，通常結(jié)構(gòu)直徑要大得多，傾向于強度問題，φ分布在0.5~1區(qū)間，由φ1=0.618試算。

以上兩個算例的求解過程列于表1：

表1算例的計算列表

比較兩種算法，可以看到黃金分割法的工作量明顯減少。平分法不管什么問題，均從φ=0.5算起，而黃金分割法要就具體問題的特點判斷求解區(qū)間，這正是優(yōu)選法的重要特性。其起始計算就縮小了搜索范圍，每次運算則可以排除剩下部分大約二分之一的區(qū)間，因而求解迅速。

4.結(jié)論

用折減系數(shù)法進行壓桿穩(wěn)定計算本質(zhì)上是對壓桿進行滿足穩(wěn)定條件下的優(yōu)化設計，也是優(yōu)選法解決問題的范疇。計算實例表明用優(yōu)選法中的黃金分割法與用傳統(tǒng)的平分法相比較，能以較少的計算工作量較快的完成截面設計工作。

［1］孫訓方等.材料力學（上）[M].北京：高等教育出版社，2007.

［2］孫強等.鋼結(jié)構(gòu)設計[M].合肥：合肥工業(yè)大學出版社，2007.

［3］任治章.壓桿穩(wěn)定設計的優(yōu)化方法[J].力學與實踐，1992，14（2）：51~52.

［4］任治章.壓桿穩(wěn)定設計的直接法[J].力學與實踐，1993，15（1）：66~69.

［5］王世華，杜歷強.圓截面壓桿穩(wěn)定設計的先試后算法[J].力學與實踐，2005，27（6）：79~80.

TU311

A

1672-0547（2010）04-0069-02

2010-06-20

晏 燕（1964-），女，安徽建筑工業(yè)學院講師，研究方向：力學。

安徽省高等學校省級教學研究項目研究成果（編號：2008jyxm324）。