【摘要】解題策略能表明應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系，策略分解和表示是小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題自動解題系統(tǒng)中十分關(guān)鍵的一步。共提煉197條解題策略，將其分為三個層次，且提出策略生長圖表明其層次關(guān)系，選擇框架知識表示方法表示策略，以構(gòu)建解題策略知識庫，供自動解題程序調(diào)用。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題;自動解答系統(tǒng);解題策略;分解;知識表示

【中圖分類號】G420 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【論文編號】1009—8097(2010)04—0024—04

一 前言

小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題輔助學(xué)習(xí)系統(tǒng)[1-4]和以小學(xué)應(yīng)用題為核心內(nèi)容的相關(guān)科學(xué)研究系統(tǒng)[5]在教學(xué)和一些心理學(xué)測驗[6]的應(yīng)用情境中被國內(nèi)外較多地使用，但這些系統(tǒng)都是內(nèi)置好題目和答案的，不能實現(xiàn)應(yīng)用題的自動求解，這使得這些系統(tǒng)中的題目數(shù)量和題型十分有限，從而嚴(yán)重影響了輔助學(xué)習(xí)和科學(xué)研究的效率和效果。故此，計算機(jī)自動解答應(yīng)用題成為提升小學(xué)應(yīng)用題輔助學(xué)習(xí)系統(tǒng)等相關(guān)系統(tǒng)智能化和能否廣泛使用的關(guān)鍵。

如欲實現(xiàn)應(yīng)用題的自動解答，存儲應(yīng)用題解題策略的知識庫(或稱策略庫)必不可少。計算機(jī)將按照策略庫中的策略來決定題目中某幾個數(shù)量之間的運算關(guān)系。本文即研究和提取小學(xué)應(yīng)用題解題策略、提出解題策略的分層和協(xié)調(diào)機(jī)制及策略的知識表示方法，以便使得解題策略可以合理地存儲在知識庫中，供解題算法調(diào)用，進(jìn)而實現(xiàn)自動解題。

因此本研究在該自動解題系統(tǒng)中的重要性不言而喻，可以說是小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題自動解題系統(tǒng)能夠解題的關(guān)鍵步驟之一。

二 國內(nèi)外應(yīng)用題解題策略的研究現(xiàn)狀

1 國內(nèi)應(yīng)用題解題策略研究

我國學(xué)者多從解答應(yīng)用題技巧方面來研究解題策略。例如，我國學(xué)者孫聯(lián)榮等人[7]把問題解決的策略分為兩大類:綜合策略和一般策略。綜合策略就是問題解決的整個過程中所使用的思考策略，而一般策略是指對發(fā)現(xiàn)和解決問題具有幫助作用的具體策略。他們把小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的一般策略分為以下幾項:(1)嘗試和檢驗;(2)畫圖;(3)實際操作;(4)找規(guī)律;(5)制表;(6)從簡單的情況入手;(7)整理數(shù)據(jù);(8)從相反的方向去思考;(9)列方程;(10)邏輯推理;(11)改變觀點。

又如，我國學(xué)者李明振[8]在對解決數(shù)學(xué)問題心理過程研究并借鑒他人的研究基礎(chǔ)上，將解決數(shù)學(xué)問題的基本策略歸納為如下七種:(1)整體策略;(2)模式識別策略;(3)轉(zhuǎn)化策略;(4)媒介過渡策略;(5)辯證思維策略;(6)反面思考策略;(7)記憶策略。

但上述研究是通用的數(shù)學(xué)問題解決策略，本文所講的解題策略是針對不同類型的應(yīng)用題所具體使用的不同策略，如:時間*速度=距離。下面，程志博士的工作與之更為接近。

程志博士[9]對整數(shù)一、二步和分?jǐn)?shù)基本應(yīng)用題的每一條解題策略作了兩部分工作。一部分是“策略是什么?”另一部分是“這條策略可能對應(yīng)的字串是什么?”本研究在程志博士論文的基礎(chǔ)上，總結(jié)了小學(xué)數(shù)學(xué)一至六年級的應(yīng)用題(除圖形題和表格題)可能用到的大多數(shù)策略，即解決了“小學(xué)數(shù)學(xué)一至六年級應(yīng)用題可能用到的大多數(shù)策略是什么?”的問題。

2 國外應(yīng)用題解題策略研究

美國心理學(xué)家Greeno和Cerpenter根據(jù)問題的語義結(jié)構(gòu)將加減一步算術(shù)應(yīng)用題分為變化題、合并題、比較題三種類型。他們所提出的加減一步算術(shù)應(yīng)用題的分類被許多的研究者廣泛采用，并作為研究兒童解決算術(shù)應(yīng)用題過程所選擇的算術(shù)應(yīng)用題研究材料的依據(jù)[10]。這三種類型應(yīng)用題的具體分類為改變類包含結(jié)果量未知、改變量未知和起始量未知三個子類，合并類包含總數(shù)未知和子集未知兩個子類，及比較類包含差異量未知、被比較量未知和參照量未知三個子類。

Siegbert Schmidt 和 Werner Weiser[11]將一步乘除法分為四類:n倍測度，組合策略，合成操作和公式乘法。

本研究中加減法策略主要采用了美國心理學(xué)家Greeno和Cerpenter對加減法的分類方法，在此基礎(chǔ)上豐富了各類的內(nèi)容。本研究乘除法策略也采用了Siegbert Schmidt 和 Werner Weiser提出的部分理論，將前三類列為乘除法的三類低層策略，而第四類公式乘法是由前三種延伸而來，因此將公式乘法作為前三類的子策略而存在，在此基礎(chǔ)上，本研究豐富了每類策略的內(nèi)容。

三 研究過程和主要研究方法

研究過程中，首先應(yīng)用文獻(xiàn)分析法確定策略分類的層次和類別，用有向圖(稱為策略生長圖)邏輯地表示各層策略的結(jié)構(gòu)。然后，人工解答題庫中的5672道應(yīng)用題(題庫中包含1至6年級各年級各單元各種題型的題目，題目內(nèi)容豐富、題目難度跨度大)，用比較法、歸納法和聚類分析方法從中總結(jié)策略，將總結(jié)得出的策略一一植入到策略生長圖中。之后，進(jìn)行人工評價，應(yīng)用調(diào)查法和訪談法收集評價人的意見并修改和完善策略。再選擇應(yīng)用題樣本，應(yīng)用策略進(jìn)行人工解題檢驗，應(yīng)用訪談法收集意見并再次修訂后，最終確定小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題解題策略。之后選擇合適的知識表示方法將分類知識和策略模板知識表示出來。

四 小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題解題策略分解和邏輯表示

1 小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題解題策略的分解

小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題解題策略分為三大類:基本策略、低層策略和高層策略。

基本策略包含加、減、乘、除和比例5種基本運算，小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題的所有策略都是由此5種運算而來，基本策略總數(shù)共15條。

低層策略是由基本策略組成且無法再分解的策略。它們包含的較大的類別有整數(shù)、小數(shù)四則應(yīng)用題、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題、比和比例應(yīng)用題、幾何形體應(yīng)用題、其它特殊應(yīng)用題。其中共包含總結(jié)出來的低層策略105條。限于篇幅，僅以“整數(shù)、小數(shù)四則應(yīng)用題”類中的部分低層策略(全部為35條)為例布列如下:

從計算機(jī)解題角度來說，基本策略和低層策略各個策略之間是平等的、互斥的，沒有重疊和包含。即，兩類策略中的每一條策略都是不可缺少的，不可被替代的，但其中的變量名稱可以被其近義詞替換，替換前后的兩條策略視為同一條策略。

高層策略有兩層含義。一種含義是高層策略是兩個或多個低層策略組合而成的策略，是可再分的策略。目前所列出的高層策略主要是某些典型題型的解題策略，如相遇問題的解題策略、雞兔同籠問題的解題策略等等。這些策略的父策略包括兩個或多個低層策略。另一種含義是高層策略的語義比低層策略更豐富，越往高層，策略的語義越豐富。高層策略中的各個策略之間不一定是平等、互斥的關(guān)系，相互之間可以有父子關(guān)系。高層策略是可擴(kuò)展的。目前總結(jié)的高層策略共77條，涉及到以下一些問題:余數(shù)、和倍、和差、差倍、分割、植樹、平均、相遇、雙程、追及、流水、濃度、盈虧、升降、相離運動、雞兔同籠、火車過橋、環(huán)形相遇、納稅與利息、折扣與利潤等。

2 小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題的邏輯表示及其意義

由于基本策略、低層策略和高層策略之間的繼承和層次關(guān)系，可以將所有的策略放在一個策略生長圖中。基本策略是低層策略的父策略，低層策略是高層策略的父策略，高層策略之間也有父子關(guān)系，這樣的一張策略生長圖如圖1所示。圖的最高層是具體的應(yīng)用題題目。

策略生長圖可以邏輯地、立體地表示各種簡單和復(fù)雜策略間的關(guān)系，一個比較復(fù)雜的應(yīng)用題題目可對應(yīng)高層策略來解答，簡單的應(yīng)用題則對應(yīng)低層策略或基本策略解答，包含多個運算的復(fù)合運算的題目由幾個策略聯(lián)合起來解答。

本文的解題策略是自動解題中需要的解題知識，存入解題策略知識庫中，程序根據(jù)對題目的理解調(diào)用知識庫中的知識，調(diào)用知識的過程中必然會遇到知識沖突的問題，即同一個題目可以對應(yīng)超過1條知識來解答，這是由自然語言理解的深度來決定的，本文提出的分層的策略的邏輯表示將十分有利于知識的沖突消解。

五 小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題解題策略的檢驗

1 小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題樣本抽取

為了檢驗小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題解題策略的完備性、合理性、有效性、簡潔度和是否存在冗余，從5672道小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題的題庫中，利用分層取樣和隨機(jī)取樣結(jié)合的方法，從1-6年級，每個年級隨機(jī)抽取18道應(yīng)用題，共108道應(yīng)用題，組成待驗樣本。

2 樣本檢驗結(jié)果

(1) 完備性。樣本題目共108道，能夠用以總結(jié)的策略庫中的策略解答的題目有102道，不能夠解答的題目有6道。因此樣本的解題率為94.4%。

(2) 合理性。目前總結(jié)的策略庫中的策略大部分較易被理解，分類比較合理，能夠被檢驗者接受。

(3) 有效性。經(jīng)過檢驗，大部分策略能夠有效地解答應(yīng)用題題目，但還需要總結(jié)大量的常識知識，來輔助計算機(jī)理解題目，并找到準(zhǔn)確的策略。

(4) 簡潔度。檢驗者認(rèn)為絕大部分策略表達(dá)簡潔明了，個別策略中的變量易產(chǎn)生歧義。因此，本研究給出了變量歧義說明，此不贅述。

(5) 冗余度:經(jīng)過檢驗，某些題目，既可以用低層策略解答，也可以用高層策略解答。但這并非是策略冗余的表現(xiàn)。從計算機(jī)解題角度來說，這兩條策略不可互相替代，因為他們分別與題庫中兩種不同問題相對應(yīng)。對于高層策略來說，對應(yīng)的題目范圍相對較小，而低層策略對應(yīng)題目的范圍比較大。既然低層策略可以解題，那么高層策略存在的理由是高層策略語義更豐富，更容易與題目進(jìn)行匹配關(guān)聯(lián)，且高層策略與題型相關(guān)度比較大，便于以后對學(xué)生進(jìn)行解題輔導(dǎo)。

總體來說，本研究的解題策略分解和表示能夠比較準(zhǔn)確全面地解答小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題。

六 小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題解題策略的表示方法

本文比較了常用的知識表示方法，最終根據(jù)策略知識的特點選擇了框架知識表示法來表示解題策略及這些策略之間的邏輯關(guān)系。限于篇幅，僅舉一例如下:

例1:基本策略中的SB1(加數(shù)+加數(shù)=和)的框架表示

框架名:<加數(shù)+加數(shù)=和>

本策略:

編號:SB1

名稱:加數(shù)+加數(shù)=和

描述:加法運算，求兩數(shù)之和。

父策略:

編號:0

運算與變量:

運算符:+

變量數(shù):3

變量1:

名稱:加數(shù)

代碼:P25

近義詞:

實例:數(shù)詞+“加”+數(shù)詞(245加上235);

“比”+數(shù)詞+“多”+數(shù)詞(比67多129)

變量2:

名稱:加數(shù)

代碼:P25

近義詞:

實例:數(shù)詞+“加”+數(shù)詞(245加上235);

“比”+數(shù)詞+“多”+數(shù)詞(比67多129)

變量3:

名稱:和

代碼:P26

近義詞:

實例:“和”“是”+數(shù)詞(和是多少?);

匹配字串:

字串1:……加上……是……?

字串2:……加上……，和是……?

字串3:比……多……的數(shù)是……?

字串4:……加上……，得……?

字串5:……，……的和是……?

例題:

例題1:675加上286是多少?

例題2:245加上121，和是多少?

例題3:比78060多3042的數(shù)是多少?

例題4:905加上235，得多少?

例題5:475，936的和是多少?

七 總結(jié)

本文對小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題自動解題中需要應(yīng)用的解題策略進(jìn)行了研究，對策略分類、分層時主要考慮并合理解決了以下問題:一、怎樣提高總結(jié)的解題策略的可讀性，以使后續(xù)工作可以以之為基礎(chǔ)順利進(jìn)行;二、怎樣利于后續(xù)的計算機(jī)自動解題和自動輔導(dǎo)時進(jìn)行策略調(diào)用。三、小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題的所有解題策略應(yīng)該運用一種什么方法將其緊緊聯(lián)系起來，如何清楚地將各策略之間的關(guān)系表示出來，便于計算機(jī)存儲和調(diào)用。

本研究主要的創(chuàng)新之處為:(1)國外研究內(nèi)容主要是一步加減法和一步乘除法的策略整體上的分類。(2)程志博士主要對整數(shù)一、二步和分?jǐn)?shù)一步應(yīng)用題的每一條解題策略做了兩部分工作。一部分是“策略是什么”，另一部分是“這條策略可能對應(yīng)的字串是什么”。而本研究總結(jié)了小學(xué)數(shù)學(xué)一至六年級的應(yīng)用題(包括一步、二步和多步應(yīng)用題，除圖形題和表格題)可能用到的大多數(shù)策略，即解決了“小學(xué)數(shù)學(xué)一至六年級應(yīng)用題可能用到的大多數(shù)策略是什么”的問題。但本文并非僅僅是策略數(shù)量上的增加，而是定義了一套合理的策略分類、分層體系、并使各層策略協(xié)調(diào)、聯(lián)動起來，制定了合理的策略屬性，為計算機(jī)存儲策略、調(diào)用策略從而正確解題提供了方便。(3)本研究將常識知識和解題策略分開總結(jié)。制定了區(qū)分常識知識和解題策略的原則。解題策略是指具有運算符號的等式，而不具有這個特點但又是解題不可缺少的知識是常識知識，經(jīng)過總結(jié)、整理，存儲為常識庫。當(dāng)策略庫中的策略無法解決問題時，計算機(jī)程序就需要到常識庫中查找相關(guān)常識，根據(jù)常識知識轉(zhuǎn)化已知條件，形成新的已知條件，再從策略庫中尋找解題策略。

后續(xù)工作是為每條策略總結(jié)匹配的字串，才能最終作為解題策略被計算機(jī)調(diào)用。目前本課題組正在基于數(shù)據(jù)挖掘理論和算法探索關(guān)鍵字串自動生成的方法。

參考文獻(xiàn)

[1] Wong.WK，Hsu， SC， Wu， SH， et al. LIM-G: Learner-initiating instruction model based on cognitive knowledge for geometry word problem comprehension[J]. Computers Education.，2007， 48(4)::582-601.

[2]Chee-Kit Looi， Boon Tee Tan. WORDMATH:A Computer-Based Environment for Learning Word Problem Solving[A]. Proceeding of third CALISCE International Conference: Computer Aided Learning and Instruction in Science and Engineering[C]. San Sebastian， Spain， 1996，1108:78-86.

[3] Bethany Rittle-Johnson，Kenneth R. Koedinger.Designing Knowledge Scaffolds to Support Mathematical Problem Solving [A]. Proceeding of 24th Annual Meeting of the North American Chapter of the International-Group-for-the-Psychology-of-Mathematics- Education [C]. COGNITIONAND INSTRUCTION. 2005，23 (3): 313-349.

[4] Chang， KE， Sung. YT， Lin.SF. Computer-assisted learning for mathematical problem solving[J].Computers Education. 2006，46(2): 140–151.

[5] Tsukasa Hirashima， Takuro Yokoyama， Masahiko Okamoto，et al. An Experimental Use of Learning Environment for Problem-Posing as Sentence-Integration in Arithmetical Word Problems[A]. Intelligent Tutoring System: the Proceedings of the 9th International Conference on Intelligent Tutoring Systems[C]. 2008:687-689

[6] Ahmad A， Salim SS， Zainuddin R. MINDA:A Cognitive Tool for Fraction Word Problem Solving[A]. International Symposium of Information Technology: the Proceedings of International Symposium on Information Technology[C]. 2008:1358-1365

[7] 孫聯(lián)榮.小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決策略的研究[J].上海教育科研，2000，(10):51-53.

[8] 李明振.數(shù)學(xué)問題解決策略及其訓(xùn)練研究[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，1998，(02):72-76.

[9] 程志.小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題自動解答系統(tǒng)的研究——以整數(shù)一、二步和分?jǐn)?shù)基本應(yīng)用題為例[D].北京:北京師范大學(xué)，2007.

[10] 劉廣珠.兒童解決算術(shù)應(yīng)用題認(rèn)知加工過程及比較圖式形成的實驗研究[J].心理發(fā)展與教育，1996，(02):1-5.

[11] Siegbert Schmidt， Werner Weiser.Semantic Structures Of One-step Word Problems Involving Multiplication Or Division[J]. Educational Studies in Mathematics，1995， Vol. 28， No. 1:55-72.