摘要:本文討論應(yīng)用型計(jì)算機(jī)本科中離散數(shù)學(xué)課程的若干問題。首先討論課程目標(biāo)定位，文章給出了三個(gè)定位目標(biāo)，特別是離散建模作為一種定位目標(biāo)被提出;其次，討論課程的若干改革;最后，以一本教材為例給出了應(yīng)用型計(jì)算機(jī)本科專業(yè)離散數(shù)學(xué)教材的具體案例。

關(guān)鍵詞:離散數(shù)學(xué);離散建模;課程改革

1問題的提出

離散數(shù)學(xué)課程自上世紀(jì)70年代出現(xiàn)以來一直是計(jì)算機(jī)專業(yè)的核心課程之一，但近年來，關(guān)于離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)專業(yè)中的地位與作用的議論就一直不斷，它的課時(shí)數(shù)一直被削減，近期又有人對(duì)它存在的必要性提出質(zhì)疑，個(gè)別學(xué)校甚至將其改設(shè)為選修課，這個(gè)現(xiàn)象在應(yīng)用型計(jì)算機(jī)專業(yè)中尤為突出。計(jì)算機(jī)專業(yè)中這樣重要的課程竟會(huì)出現(xiàn)這樣奇怪的現(xiàn)象，不禁使人疑惑:離散數(shù)學(xué)到底出了什么問題?

究其原因有多方面，部分是外部原因，如就業(yè)壓力、浮躁風(fēng)氣等，而筆者認(rèn)為其主要原因還是在自身內(nèi)部。在本文中，筆者將從應(yīng)用型計(jì)算機(jī)專業(yè)離散數(shù)學(xué)課程的內(nèi)部尋找答案，并就通過課程改革以期扭轉(zhuǎn)目前局面作出探討。

2課程的目標(biāo)定位

在長達(dá)三十余年的課程發(fā)展歷史中，離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)專業(yè)，特別是應(yīng)用型計(jì)算機(jī)專業(yè)中的目標(biāo)定位始終不夠清晰，或不夠堅(jiān)定，經(jīng)常被干擾或被左右。因此要改變離散數(shù)學(xué)目前的局面首先需從明確目標(biāo)定位做起。

一般認(rèn)為，應(yīng)用型本科計(jì)算機(jī)專業(yè)離散數(shù)學(xué)課程目標(biāo)定位有三:

(1) 掌握離散數(shù)學(xué)的基本理論與方法，培養(yǎng)抽象的離散思維能力與邏輯思維能力。

(2) 為諸多后續(xù)課程提供支持。

(3) 作為計(jì)算機(jī)學(xué)科的應(yīng)用與研究工具，用于計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的離散建模[1-3]。

大多數(shù)人對(duì)這三個(gè)目標(biāo)定位的前兩個(gè)一般均持肯定態(tài)度，但對(duì)第三個(gè)定位目標(biāo)，即培養(yǎng)離散建模能力則持懷疑者居多。但是，須知缺少了這個(gè)定位目標(biāo)后，離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)學(xué)科中的地位，特別是它在計(jì)算機(jī)核心課程中的地位就會(huì)動(dòng)搖。因此，作為計(jì)算機(jī)學(xué)科工具，離散建模是離散數(shù)學(xué)區(qū)別高等數(shù)學(xué)的根本之處，也是離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)緊密關(guān)聯(lián)之處，也是使離散數(shù)學(xué)成為計(jì)算機(jī)專業(yè)核心課程的原因之一。目前來看，明確這個(gè)目標(biāo)定位已成為離散數(shù)學(xué)課程改革的當(dāng)務(wù)之急。

3離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)應(yīng)用與研究的有力工具

為探討此問題，首先需從離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)間的關(guān)系談起，目前一種流行的說法是離散數(shù)學(xué)對(duì)計(jì)算機(jī)應(yīng)用與研究的作用是間接的，即計(jì)算機(jī)專業(yè)人員通過離散數(shù)學(xué)抽象思維能力與邏輯思維能力的培養(yǎng)，在這些能力潛移默化的作用下使他們的應(yīng)用、研究能力有所提高。這種說法當(dāng)然有一定道理，但是其實(shí)遠(yuǎn)不止如此。我們知道，離散數(shù)學(xué)之所以成為計(jì)算機(jī)專業(yè)的核心課程，其主要原因就是由于它與計(jì)算機(jī)學(xué)科直接的、緊密的關(guān)聯(lián)，特別是它作為研究與應(yīng)用計(jì)算機(jī)學(xué)科的工具，歷史的發(fā)展可以證明這一點(diǎn)。

在計(jì)算機(jī)的發(fā)展歷史中，離散數(shù)學(xué)起著至關(guān)重要的作用，在計(jì)算機(jī)產(chǎn)生前，圖靈機(jī)理論對(duì)馮#8226;諾依曼計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)起到了理論先導(dǎo)作用;布爾代數(shù)作為工具對(duì)數(shù)字邏輯電路起到指導(dǎo)作用;自動(dòng)機(jī)理論對(duì)編譯系統(tǒng)開發(fā)的理論意義、謂詞邏輯理論對(duì)程序正確性的證明以及軟件自動(dòng)化理論的產(chǎn)生都起到了奠基性的作用。此外，應(yīng)用代數(shù)系統(tǒng)所開發(fā)的編碼理論已廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)通訊及計(jì)算機(jī)中，而應(yīng)用關(guān)系代數(shù)對(duì)關(guān)系數(shù)據(jù)庫的出現(xiàn)與發(fā)展起到了至關(guān)重要的作用。近年來，離散數(shù)學(xué)在人工智能、專家系統(tǒng)及信息安全中均起到了直接的、指導(dǎo)性的作用。

以上的歷史已充分證明，離散數(shù)學(xué)作為一種強(qiáng)有力的工具在計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的研究與開發(fā)中起著重要作用。從這點(diǎn)看，離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)科間關(guān)系已不是間接的、松散的關(guān)系，而是直接的、緊密的關(guān)系。

4離散建模是離散數(shù)學(xué)應(yīng)用于計(jì)算機(jī)學(xué)科的有效手段

那么，作為工具而言，離散數(shù)學(xué)又如何與計(jì)算機(jī)學(xué)科發(fā)生關(guān)系的呢?我們認(rèn)為，這主要通過離散建模實(shí)現(xiàn)了從離散數(shù)學(xué)到計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的應(yīng)用，具體來說有以下幾點(diǎn)。

首先，對(duì)計(jì)算機(jī)(或客觀世界)中的某領(lǐng)域建立起一個(gè)抽象的形式化(離散)數(shù)學(xué)模型，稱離散模型，而建立模型過程稱離散建模。可以將對(duì)該領(lǐng)域的研究歸結(jié)為對(duì)離散模型的研究。

其次，用離散數(shù)學(xué)的方法對(duì)離散模型求解，由于離散模型具有強(qiáng)大的離散數(shù)學(xué)理論支撐，因此對(duì)它的求解比對(duì)領(lǐng)域的求解更為有效。

最后可將離散模型的形式化解語義化為某領(lǐng)域的具體結(jié)果。

這樣，我們可以將對(duì)某領(lǐng)域的研究通過建立離散模型而歸結(jié)為對(duì)離散模型的研究，最后可將其研究數(shù)學(xué)結(jié)果返回為領(lǐng)域中的語義結(jié)果從而最終實(shí)現(xiàn)問題求解的目的。我們可以用下面的圖1給出離散建模的全過程。

有關(guān)的研究例子有很多，如在數(shù)據(jù)庫研究中建立的關(guān)系代數(shù)模型、在編譯系統(tǒng)中建立的自動(dòng)化模型、在數(shù)字邏輯電路中建立的布爾代數(shù)模型以及在數(shù)據(jù)通訊中建立的糾錯(cuò)碼模型等。

下面以關(guān)系代數(shù)模型為例說明離散數(shù)學(xué)對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)發(fā)展的作用。大家知道對(duì)數(shù)據(jù)庫領(lǐng)域的研究始于上世紀(jì)60年代，最初采用的是圖論模型從而形成了當(dāng)時(shí)有名的層次數(shù)據(jù)庫與網(wǎng)狀數(shù)據(jù)庫，它們對(duì)構(gòu)作數(shù)據(jù)靜態(tài)結(jié)構(gòu)起著重要作用。隨著計(jì)算機(jī)與數(shù)據(jù)處理發(fā)展，數(shù)據(jù)庫中數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有了新的變化，數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)要求與數(shù)據(jù)操作要求越加重要，因此需有新的離散模型以適應(yīng)數(shù)據(jù)庫發(fā)展需要。在此形勢下，IBM公司F.F.Codd于1970年提出了數(shù)據(jù)庫的關(guān)系代數(shù)模型。該模型用離散數(shù)學(xué)中的關(guān)系表示數(shù)據(jù)庫中數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用代數(shù)系統(tǒng)中的代數(shù)運(yùn)算表示數(shù)據(jù)庫中的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)與數(shù)據(jù)操作要求。這個(gè)離散模型較為真實(shí)地反映了數(shù)據(jù)庫發(fā)展的需求，因而成為當(dāng)時(shí)數(shù)據(jù)庫中最為流行的模型，它稱為關(guān)系模型。IBM公司之后就依據(jù)該模型的理論開發(fā)研制實(shí)驗(yàn)性的關(guān)系數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)，但在開發(fā)與使用中遇到了三個(gè)困難，使開發(fā)進(jìn)程受挫，它們是:

(1) 這種采用離散數(shù)學(xué)方法的數(shù)據(jù)庫語言在語句表示上遇到困難。

(2) 用這種數(shù)學(xué)方法所開發(fā)的軟件系統(tǒng)操作(包括查詢及增、刪、改等)效率極低，使系統(tǒng)無法實(shí)用。

(3) 用關(guān)系所表示的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)在操作中會(huì)出現(xiàn)很多異常現(xiàn)象。

為解決這三個(gè)問題，必須對(duì)關(guān)系代數(shù)作深入的研究:

(1) 在上世紀(jì)70年代初給出了關(guān)系代數(shù)表達(dá)式的范式，在這種范式中，任一表達(dá)式均可由有序的三個(gè)運(yùn)算符組成，從而構(gòu)成了數(shù)據(jù)庫語言中的三個(gè)基本子句:SELECT、FROM及WHERE，以此為基礎(chǔ)構(gòu)成了著名的數(shù)據(jù)庫中的SQL語言，它目前已成為全球統(tǒng)一及規(guī)范的語言。

(2) 在上世紀(jì)70年代后期通過代數(shù)表達(dá)式優(yōu)化理論使數(shù)據(jù)庫操作效率提高了數(shù)十倍至數(shù)百倍不等，從而有效地解決了系統(tǒng)的實(shí)用性。

(3) 在上世紀(jì)70年代末期通過關(guān)系規(guī)范化理論的研究解決了關(guān)系表示中的異常現(xiàn)象。

經(jīng)過上世紀(jì)70年代近十年的研究積累，關(guān)系代數(shù)理論研究徹底解決了關(guān)系數(shù)據(jù)庫實(shí)現(xiàn)中的三大難題，因而在70年代末期出現(xiàn)了著名的關(guān)系數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)System R及Ingres等，而從80年代起關(guān)系數(shù)據(jù)模型終于淘汰了層次、網(wǎng)狀等其他模型成為引領(lǐng)世界潮流的主要模型，此種勢頭在三十年后的今天仍然沒有變。

關(guān)系代數(shù)模型(離散模型)是理論帶動(dòng)產(chǎn)品的典范，它充分證明了通過離散建模利用離散數(shù)學(xué)理論解決計(jì)算機(jī)應(yīng)用中實(shí)際問題的有效方法。

5課程內(nèi)容改革探討

根據(jù)前面所討論的目標(biāo)定位，接下來我們討論課程內(nèi)容。我們說，應(yīng)用型本科計(jì)算機(jī)專業(yè)離散數(shù)學(xué)課程內(nèi)容應(yīng)根據(jù)課程目標(biāo)定位要求全面掌握，亦即是數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)、后續(xù)課程支持及作為計(jì)算機(jī)應(yīng)用、研究工具等多種定位目標(biāo)的要求設(shè)置。考慮到目前大多數(shù)課程中對(duì)前面兩個(gè)目標(biāo)定位都有較多的關(guān)注，而對(duì)最后的一個(gè)目標(biāo)定位認(rèn)知較少，因此在討論此問題時(shí)，除對(duì)課程目標(biāo)定位要求全面掌握外重點(diǎn)關(guān)注課程內(nèi)容中應(yīng)緊密與計(jì)算機(jī)學(xué)科的關(guān)聯(lián)。

首先，離散數(shù)學(xué)是一門數(shù)學(xué)課程，因此課程內(nèi)容既需具有最基本的理論，同時(shí)還要突出數(shù)學(xué)的特色，即數(shù)學(xué)的符號(hào)化、形式化、抽象性、嚴(yán)密性及邏輯性特點(diǎn)，使學(xué)生學(xué)后有一定的離散抽象思維與邏輯思維能力。

其次，在掌握了離散數(shù)學(xué)的基本理論與能力后，對(duì)應(yīng)用型本科學(xué)生來說還應(yīng)著重以它為工具運(yùn)用于實(shí)際中，解決計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中出現(xiàn)的問題(重點(diǎn)是離散建模)，以及對(duì)后續(xù)課程的支持。

以上兩者是相互支撐缺一不可的。

根據(jù)這兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)，我們認(rèn)為應(yīng)用型本科計(jì)算機(jī)專業(yè)離散數(shù)學(xué)課程內(nèi)容安排應(yīng)該有下面幾個(gè)部分:

(1) 課程內(nèi)容應(yīng)包含離散數(shù)學(xué)基本理論與離散建模兩個(gè)部分。

(2) 在基本理論中首先是課程內(nèi)容的選擇。

離散數(shù)學(xué)課程選擇的內(nèi)容很多，應(yīng)有一個(gè)選擇的基本標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該是:

① 從學(xué)科意義講，應(yīng)具有基礎(chǔ)性、根本性理論指導(dǎo)價(jià)值的內(nèi)容，如集合論、數(shù)理邏輯等。

② 從與計(jì)算機(jī)學(xué)科關(guān)系方面講，應(yīng)具有與計(jì)算機(jī)關(guān)系密切的內(nèi)容，如圖論等。

③ 應(yīng)選擇那些能為后續(xù)課程提供數(shù)學(xué)支撐的內(nèi)容，如圖論為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)提供支撐、代數(shù)系統(tǒng)為數(shù)字邏輯電路提供支撐等。

④ 堅(jiān)持少而精原則。符合上述標(biāo)準(zhǔn)的課程內(nèi)容仍然很多，如一般認(rèn)為與計(jì)算機(jī)學(xué)科關(guān)系緊密的內(nèi)容至少有12種，具有基礎(chǔ)性指導(dǎo)價(jià)值的內(nèi)容至少有5種，不可能全部入選，我們只能選取最具價(jià)值、最具代表性的少量內(nèi)容，通過對(duì)他們的學(xué)習(xí)以達(dá)到融會(huì)貫通、舉一反三的目的，這個(gè)內(nèi)容我們稱之為離散數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。

(3) 在基本理論中還應(yīng)充分考慮到課程內(nèi)容的合理安排。

在一般數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中有大量的定理證明與推演，這對(duì)發(fā)展數(shù)學(xué)理論、規(guī)范數(shù)學(xué)的完整性是必要的，但對(duì)離散數(shù)學(xué)而言，學(xué)習(xí)它的主要目的不是為了發(fā)展離散數(shù)學(xué)自身理論，而是作為工具應(yīng)用于計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中，因此離散數(shù)學(xué)課程內(nèi)容不應(yīng)過分強(qiáng)調(diào)定理的證明與理論的完整性，而應(yīng)將注意力集中于基本概念與基本理論、方法的應(yīng)用。基于此種理念，離散數(shù)學(xué)課程內(nèi)容安排中應(yīng)注重于各分支的基本概念、理論與方法的闡述、解釋與應(yīng)用而不過分拘泥于理論的完整與定理的證明，這是離散數(shù)學(xué)教學(xué)不同于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本之處。

(4) 離散建模必須成為課程的基本內(nèi)容。

離散建模是離散數(shù)學(xué)作為工具與計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的接口點(diǎn)，同時(shí)離散建模的過程即是對(duì)客觀世界事物的數(shù)學(xué)抽象，因此也是培養(yǎng)抽象思維能力的有效方法;而離散建模的求解則更是抽象思維與邏輯思維能力的綜合訓(xùn)練，因此離散建模內(nèi)容必須成為離散數(shù)學(xué)課程內(nèi)容。它應(yīng)包括離散建模的概念、方法與步驟介紹以及一些著名的例子。離散建模的重點(diǎn)有二，一是模型的建立，二是應(yīng)用模型用離散數(shù)學(xué)方法求解實(shí)際中的問題。

6教材案例

基于上述理念與原則，筆者于今年編寫完成以實(shí)踐此理念與原則的離散數(shù)學(xué)教材——《離散數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程》[4]。該教材共有5篇，它們是集合論、代數(shù)系統(tǒng)、圖論、數(shù)理邏輯及離散建模等。該教材的組織基于如下的思想:

(1) 教材中首次引入了離散建模內(nèi)容，并作為獨(dú)立的一篇內(nèi)容講授。在該篇中共有兩章，其中前一章介紹離散建模的概念、方法與步驟;后一章則選取對(duì)計(jì)算機(jī)學(xué)科發(fā)展具有標(biāo)識(shí)意義的5個(gè)著名模型，以此介紹離散建模過程，同時(shí)說明離散數(shù)學(xué)對(duì)計(jì)算機(jī)學(xué)科的作用。這5個(gè)模型是:操作系統(tǒng)中死鎖的圖模型、關(guān)系數(shù)據(jù)庫中的關(guān)系代數(shù)模型與關(guān)系演算模型、人工智能中的機(jī)器人規(guī)劃模型、數(shù)據(jù)通信中的糾錯(cuò)碼模型以及軟件工程中程序正確性證明模型。在這5個(gè)例子中，不但建立了模型而且還運(yùn)用離散數(shù)學(xué)的理論與方法對(duì)模型求解并獲得滿意的結(jié)果，為相關(guān)應(yīng)用領(lǐng)域發(fā)展作出了貢獻(xiàn)。

(2) 教材選取離散數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)、與計(jì)算機(jī)關(guān)系最緊密且具代表性的4個(gè)分支，它們構(gòu)成了離散數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容:集合論、代數(shù)系統(tǒng)、圖論與數(shù)理邏輯。

集合論是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，同時(shí)也是離散數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此它是離散數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)理論。

研究數(shù)學(xué)的兩種重要方法是數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，而數(shù)理邏輯是研究數(shù)學(xué)推理規(guī)則的一門學(xué)科，同時(shí)代數(shù)系統(tǒng)則是研究數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則的一門學(xué)科，因此它們也是離散數(shù)學(xué)的最基礎(chǔ)理論之一。

計(jì)算機(jī)科學(xué)是一種構(gòu)造性科學(xué)，其結(jié)構(gòu)性很強(qiáng)，而圖論則是研究數(shù)學(xué)中抽象結(jié)構(gòu)規(guī)則的學(xué)科，用它研究計(jì)算機(jī)中的結(jié)構(gòu)性問題效果極好，如用它研究網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)均有很好的效果。因此，圖論是一門與計(jì)算機(jī)學(xué)科關(guān)系特別緊密的學(xué)科。

上面4部分內(nèi)容已足夠支撐后續(xù)課程的理論需要(主要是10門核心課程)，同時(shí)它們與計(jì)算機(jī)學(xué)科的關(guān)連度比較高，并為大多數(shù)離散建模所采用。

(3) 教材內(nèi)容以介紹基本概念、基礎(chǔ)理論、知識(shí)與應(yīng)用為主，而不以定理證明、推演為主，特別是對(duì)冗長、繁瑣的證明采用刪繁求簡的方法予以簡化之。

教材在下面兩個(gè)方面具有一定特色:

(1) 在國內(nèi)首次以篇為單位系統(tǒng)介紹了離散建模的理論、方法與實(shí)例，并重點(diǎn)通過離散建模用離散數(shù)學(xué)方法求解計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中的問題。

(2) 在國內(nèi)計(jì)算機(jī)本科中(離散數(shù)學(xué))教材篇幅最少(僅33萬字)，做到了內(nèi)容簡潔，但講解清楚，能適應(yīng)與滿足應(yīng)用型本科計(jì)算機(jī)專業(yè)一般學(xué)時(shí)數(shù)(64學(xué)時(shí))的要求。

這兩個(gè)特色體現(xiàn)了應(yīng)用型本科計(jì)算機(jī)專業(yè)離散數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)定位要求，使離散數(shù)學(xué)課程與計(jì)算機(jī)學(xué)科的真正緊密結(jié)合走出了關(guān)鍵一步。

7結(jié)論

本文探討應(yīng)用型本科計(jì)算機(jī)專業(yè)離散數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)定位，提出了該課程的3個(gè)定位目標(biāo)，特別是作為計(jì)算機(jī)學(xué)科的工具用于離散建模的目標(biāo)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探討了離散數(shù)學(xué)課程內(nèi)容改革，提出了以基本概念、理論與方法的闡述、解釋與應(yīng)用為主，以選取具有基礎(chǔ)性指導(dǎo)價(jià)值且與計(jì)算機(jī)學(xué)科緊密相關(guān)的最具代表性的核心內(nèi)容為主的少而精原則。

最后，文章以一本教材為例給出了應(yīng)用型本科計(jì)算機(jī)專業(yè)離散數(shù)學(xué)教材的具體案例。

離散數(shù)學(xué)課程中可以探討的問題還很多，在本文中僅就一些關(guān)鍵問題提出個(gè)人見解，希望能起到拋磚引玉的作用。

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A Discussion of Discreate Mathematics Goal Location and Course Reform in

Applied Computer Undergraduate Subject

XU Jie-pan

(Deparement of Computer Science and Technology， Nanjing University， Nanjing 210093， China)

Abstract: This paper discuss saree issues about course in discreate mathematics. First， discussing the goal location of course， paper give the three goals， especially， discreate modeling as a goal is given; second， discussing the some reform of course; finally， a text book of course in discreate mathematics in applied computer undergraduate subject.

Key words: Discreate Mathonatics; discreate modeling; curriculum reform

(編輯:姚彥如)