摘要:布萊克-斯科爾斯的期權定價模型是一個對經濟理論、金融實踐產生巨大影響的模型。該模型需要輸入的參數(shù)中唯一無法在市場中直接觀察到的重要變量是基礎資產的波動率。基于歷史數(shù)據來計量的歷史波動率有嚴重缺陷，于是人們根據期權的市場價格，利用Black-Scholes定價模型倒推出隱含波動率。隱含波動率反映投資者對未來市場的共同預期;對于避險者的套期保值業(yè)務來說，這是進行風險管理的一項重要指標。然而，隱含波動率在使用過程中也存在著“波動率微笑”、“波動率偏斜”及“波動率期限結構”等現(xiàn)象。究其根源，皆源自于Black-Scholes模型所依據的某些假設條件與實際情況不相符合。

關鍵詞:隱含波動率 科拉多-米勒公式 牛頓-拉弗森法 波動率微笑 波動率期限結構

一、歷史波動率的局限性

Black-Scholes模型是一個歐式的不派息的股票看漲期權的定價模型，它所需要輸入的5個參數(shù)(標的資產的現(xiàn)行市價、標的資產的波動率、期權的協(xié)議價格、期權的期限、市場無風險利率)中，除了標的資產的波動率之外，其余變量全都可以在市場上直接觀察到或在合約中作出明確規(guī)定。波動率衡量的是期權在存續(xù)期間或到期日其基礎資產價格的不確定性。由于沒有現(xiàn)存的指標，波動率需要借助于某種數(shù)理統(tǒng)計方法來加以估算。這構成了市場參與者之間就同一份期權合約進行的定價及據此做出的投資決策會出現(xiàn)差異的主要因素。

波動率在一定程度上反映了期權的潛在獲利能力。以股票期權為例，不管是看漲期權還是看跌期權，作為其基礎資產的股票價格波動越是劇烈，期權購買者或持有人的潛在收益就越是大，期權的價值也就越是高。反之，對于公用事業(yè)性質的單位(如電話電報公司等)來說，由于其收益比較穩(wěn)定，公司股價在未來的變化范圍較小，波動率比較低，因此，基于這類基礎資產之上的期權一般不會引起投資者太大的興趣，期權價格相應地也較便宜。盡管也存在股票價格朝不利方向運動的可能性，波動率大意味著股票可能出現(xiàn)的跌幅巨大，但由于期權的潛在收益與所承擔的風險具有非對稱性質，期權持有者可能承受的最大損失不會超過一開始就已確知并已支付掉的期權費。所以，對于投資者來說，期權在到期日是處于持平價還是估虧價，是處于淺度估虧價還是深度估虧價，都是沒有區(qū)別的。

實際上，期權定價所需要的是基礎資產價格或投資收益率在未來的波動率而不是過去的波動率。然而，沒有人能確切地知道未來的波動率，因為作為計算依據的收益率尚未形成。所以，人們以往只是間接地依靠歷史數(shù)據，運用某種數(shù)理統(tǒng)計技巧(如標準差或GARCH等)來做一個合理的估計，這便是歷史波動率。

基于歷史數(shù)據來推算出來的波動率，雖能反映過去的市場變化情況，而且不受概率分布假定的限制，但用歷史的軌跡來推測未來就不一定準確，充其量只能作為未來變動率的一個參考值。尤其是在發(fā)生非常事件的情況下，完全依賴歷史波動率可能會得出錯誤的結論。例如，1994年11月墨西哥爆發(fā)貨幣危機，比索對美元的比價在一個月內竟貶值38.83%，這是根據歷史數(shù)據所不可能預測出來的跌幅。又如，1987年西方國家發(fā)生股災，美國的標準普爾500指數(shù)的波動率在短短的20天里從12%左右狂升至150%，這在歷史上也非常罕見。再如，2001年9月11日美國遭到了恐怖主義襲擊，標準普爾500股價指數(shù)僅在一個季度內就狂跌15%。很顯然，在這種情況下，收益標準差的計算質量會受到嚴重影響。因為即便對過去數(shù)據的把握完全精確，人們也不能保證將來就一定會有同樣的事件發(fā)生;當然，在問題的另一方面，人們也不能肯定將來就不會發(fā)生過去未曾見過的重大突發(fā)事件。

Fisher Black曾專門撰文對歷史波動率的局限性作過論述。他認為，雖說有關基礎資產收益率或市場價格的歷史數(shù)據有時是非常有用的，但我們需要更多的有關信息，因為隨著時間的推移，金融資產的價格波動率是會發(fā)生變化的。對于股票來說，導致其價格波動率發(fā)生變化有多種原因，主要是市場的波動性發(fā)生了變化而反映系統(tǒng)風險的股票貝塔值保持不變;或者是市場的波動性固定不變而股票的 值發(fā)生了變化;當然，也可能是這兩者都發(fā)生了變化。所以，期權投資者和市場分析家首先應關注市場波動性在未來的運動方向，即是否存在著任何理由來預期市場的波動性在短期內將出現(xiàn)增大或減小。其次，在掌握有公司股票價格波動率的歷史數(shù)據的情況下，還需要判斷受行業(yè)因素或企業(yè)內部的營業(yè)風險、財務風險及流動性風險等的影響上市公司股票的 值將發(fā)生什么樣的變化，因為這將直接關系到公司股價波動率的變化方向。再次，模型使用者還需要關注利率的變化，應盡可能地采用與期權合約期限相一致的利率并根據貨幣市場變化情況及時進行調整。

二、隱含波動率的計算

鑒于采用歷史波動率來預測基礎資產價格未來的波動存在著缺陷，人們便改變思路，另辟途徑，開始依據期權市場的現(xiàn)有價格來尋求廣大投資者對期權基礎資產收益未來波動率的一致看法，即通過Black-Scholes的期權定價模型倒推出基礎資產的波動率，這便是隱含波動率(implied volatility)。請參見圖1:

用“向后推導”的方法得到的隱含變動率的運用范圍更為廣泛，因為大多數(shù)市場參與者使用同樣的或相似的期權定價模型，這個波動率反映了投資者對基礎資產價格變動的一致看法，能代表市場上的無套利均衡。

但圖1只給出了計算隱含波動率的思路，人們很難通過解Black-Scholes模型直接求解隱含波動率。經濟學家和理財專家曾作過種種努力試圖解決這個難題，如Brenner和Subrahmanyam (1988)、Chance(1993)分別提出過計算隱含波動率的公式④⑤。雖然，這些公式對于持平價期權的波動率的計算還算準確，但實證檢驗的結果表明，一旦基礎資產的價格偏離期權執(zhí)行價格的現(xiàn)值，其準確性就開始喪失。直至1996年，Corrado和Miller在前人研究的基礎上所提出的一個計算公式，才大大提高了隱含變動率的準確性⑥。見下式:

舉例來說，

。根據上式，可計算出這項歐式的股票看漲期權的隱含波動率為24.85%，即:

在實踐中:期權的市場價格不只是基于Black-Scholes模型，其他諸如Binomial Trees模型和Barone-Adesi-Whaley模型等對美式期權以及對派息的股票期權、外幣期權、股指期權以及利率期權的定價也有很大影響。對于這類模型，可采用二等分法和牛頓-拉弗森法來推導期權的隱含波動率。二等分法的好處是:能適用所有形式的奇異期權，但計算過程復雜緩慢;牛頓-拉弗森法則相反，它的計算比較迅速，而且對標準期權的計算結果相當準確，但對于某些在資產價格與收益波動率之間沒有連續(xù)關系的奇異期權來說則不夠理想。

以下的例子旨在說明Newton-Raphson法的運用:設為期權定價模型的理論價格與期權市價之間的差異，若使用Black-Scholes模型，則: 。在試算的過程中，所有其他變量都保持不變，但在輸入波動率時不斷改變其數(shù)值，以最終使函數(shù)式 。這時，輸入的波動率便是基礎資產的隱含波動率。我們仍以不支付股息的歐式股票看漲期權為例，假定 ， ，，， ，有:

倘若一開始隨意選擇的波動率為18%()，我們可求出基于Black-Scholes模型的期權理論價格為$2.9592，它比市場上的期權價格低$0.5408，即。另外，對上式求波動率的一階偏導數(shù)，有:。這項指標反映

期權價格對基礎資產收益波動的敏感程度，它也可用希臘字母 ν來表示。本例的。再將 和的數(shù)值代入下列疊加公式之中，求得。

2

然后，用取代 ，重復以上的步驟，再次計算期權的模型價格、Vega(ν)以及。如此循環(huán)反復，最終找出一個與期權市場價格最為接近的模型價格。在本例中，當試算的隱含波動率 時，期權的模型價格為與期權的市場價格幾乎完全一致。這表明，44.49%的隱含波動率反映了投資者對基礎資產未來價格變動的一致看法。

由Latene和Rendleman(1976)、Chiras和Manaster(1978)、Beckers(1981)、Gemaill(1986)、Shastri和Tandon(1986)以及Scott和Tucker(1989)等學者分別進行的實證分析都清楚地表明，隱含波動率比各種歷史波動率在預測基礎資產未來收益波動率方面更為準確。

三、波動率偏斜、波動率微笑與波動率期限結構

按照Black-Scholes模型，波動率是基礎資產價格的函數(shù)，而與期權本身無關。所以，對于所有不同的執(zhí)行價格，只要基礎資產相同，只要期權的有效期相同，期權的波動率應該是一致的。然而，事實并非一直如此。特別是在1987年華爾街股災發(fā)生之后，股票期權定價過程中的波動率明顯地出現(xiàn)了一些變化⑧，參見圖2。

上面左圖表現(xiàn)的是1987年華爾街股災之前，各種執(zhí)行價格的股票期權所隱含的波動率都差不多，基本上維持在同一水平上。右圖表現(xiàn)的則是1987年華爾街股災之后，各種執(zhí)行價格的期權所隱含的波動率和執(zhí)行價格出現(xiàn)了負相關關系，即那些執(zhí)行價格低于當前股票價格的期權(看漲期權的估盈價和看跌期權的估虧價)所隱含的波動率往往高于執(zhí)行價格等于當前股票價格的期權(持平價)所隱含的波動率;而執(zhí)行價格高于當前股票價格的期權(看漲期權的估虧價和看跌期權的估盈價)所隱含的波動率水平更低。這種情況被稱作“波動率偏斜”。對于外幣期權來說“波動率偏斜”則稍有不同，它表現(xiàn)為:持平價期權的波動率最低，但隨著期權執(zhí)行價格向估盈價和估虧價方向移動，變動率逐漸增大。這便是所謂的“波動率微笑”，參見圖3。

不僅執(zhí)行價格會影響到波動率的水平，而且期權距離到期日的時間長短也對波動率的高低產生作用;換言之，波動率的“偏斜”與“微笑”本身也并非是固定的，它會隨著時間推移而發(fā)生變化。Emanuel Derman曾選取1995年9月27日標準普爾500股指期權的數(shù)據繪制成三維的隱含波動率表面圖(參見圖4)。結果發(fā)現(xiàn):當執(zhí)行價格相同的情況下，期權的期限越是短，其隱含的波動率就越是高;反之，對于期限較長的期權合約來說，“波動率微笑”幾乎不存在。

隱含波動率并非固定不變這一事實對期權的定價理論與實踐具有重大影響。為了能揭示市場如何預期波動率變化的信息，人們開始繪制反映隱含波動率與期權距離到期日所剩余時間之間關系的曲線。這樣，在“收益率期限結構”之外，又形成了一個“波動率期限結構”。

有關隱含波動率還有一個現(xiàn)象值得關注。我們知道，看跌期權與看漲期權的平價關系是根據無套利均衡的原則推導出來的。以Black-Scholes模型來表示的平價關系為: 。

這里并不涉及任何有關基礎資產價格在未來的概率分布的假設，即不管其是否呈對數(shù)正態(tài)分布，這個平價關系都成立。

同理，設 和 為看跌期權與看漲期權的市場價格，其平價關系的表示式為:。

將上述兩個反映平價關系的公式相減，則有: 。

這表明，在執(zhí)行價格與到期期限相同的情況下，用Black-Scholes模型來為歐式看跌期權定價，其出現(xiàn)的偏差與該模型用來為歐式看漲期權定價所產生的偏差是相同的。因此，在談及隱含波動率與執(zhí)行價格的關系時，并不需要特別指明這是跌期權還是看漲期權。換句話說，給定執(zhí)行價格和到期期限，看跌期權和看漲期權不應該有不同的波動率。

然而，這一結論與實際情況也出現(xiàn)了偏差。如1996年2月21日(星期五)，在倫敦國際金融期貨交易所(LIFFE)交易的金融時報100股指期權，其執(zhí)行價格為4300點、到期月份為3月份的看漲期權的隱含波動率是12.5%;而相同執(zhí)行價格、相同到期月份的看跌期權的隱含波動率卻達到了15.9%⑨。在相同的交易條件下，看跌期權的隱含波動率更高!

概言之:某特定基礎資產在期權市場上根本沒有一個統(tǒng)一的波動率，Black-Scholes模型在實際應用中存在著未解之謎⑨。究其原因，這首先可能與價格運動的假設有關，即Black-Scholes模型假設期權標的物的價格變化符合幾何布朗運動，基礎資產的交易是一個連續(xù)的隨機過程。但事實上，金融市場上的資產價格變動有時遵循跳躍進程，而非完全呈連續(xù)運動的模式。其次，Black-Scholes模型假設基礎資產未來收益率的概率分布呈對數(shù)分布狀，實際上這個假設也不是在任何時候都是成立的，收益分布還有其他的形狀。再次，期權定價模型采用了強式有效市場的假設，認為資產的價格包含了所有的歷史數(shù)據所傳遞的信息和當前所有公開的信息(包括企業(yè)內部信息、行業(yè)信息以及投資專家對這些信息的詮釋與分析)。很顯然，這個假設也是值得推敲的。

參考文獻:

[1]Fisher Black Myron Scholes， “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”[ J ]， Journal of Political Economy， 81 (May-June 1973)， 637-659.

[2]Fisher Black， “Facts and Fantasy in the Use of Options” [ J ]， Financial Analysts Journal， 31(1975)， 36-41.

[3]David A Dubofsky， Option and Financial Futures[ M ]， McGraw-Hill， Inc.(1992)， 193-196.

[4]M. Brenner and M. G. Subrahmanyam， “A Simple Formula to Compute the Implied Volatility” [ J ]， Financial Analysts' Journal， September-October (1988)， 80-83.

[5]D. M. Chance， “Leap into the Unknown” [ J ]， Risk， May (1993)， 60-66.

[6]C. J. Corrado T. Miller， “Volatility without tears” [ J ]， Risk， July 1996， 49-52.

[7]Terry J. Watsham， “Futures and Options in Risk Management” [ M ]， Thomson Learning.(1998)， 152-161.

[8]M. Robinstein， “Implied Binomial Trees” [ J ]， Journal of Finance (1994)， 69.

[9]周洛華著《中級金融工程學》[ M ]，上海財經大學出版社(2005年5月版)，303～313頁。

[10]John C. Hull， “Options， Futures and Other Derivatives” [ M ] (Prentice-Hall， Inc.， 2000) ， 435-441.

本文系上海市教育委員會重點科研創(chuàng)新項目“波動率指數(shù)的編制、交易及其在中國的應用前景研究”(08ZS50)的階段性成果。

(作者單位:上海大學國際工商與管理學院金融系)