摘要:可轉(zhuǎn)換債券是一種比較復雜的金融工具，如何準確對其進行定價的問題始終沒有得到根本解決。當前中國學界普遍采用的方法是使用布萊克-斯科爾斯模型對可轉(zhuǎn)債進行估值，在本文中，筆者以Cox，Ross，Rubinstein(CRR)提出的二項樹模型為基礎(chǔ)，經(jīng)過新的修正后，將其用于我國可轉(zhuǎn)債的定價估值，并根據(jù)當前轉(zhuǎn)債市場的真實數(shù)據(jù)輔以實例驗證。最后，對兩種定價模型的估值效果進行了比較并提出了可能出現(xiàn)偏差的原因。

關(guān)鍵詞:可轉(zhuǎn)債定價;布萊克-斯科爾斯模型;二項樹模型;估值效果分析

可轉(zhuǎn)換債券是一種兼具債權(quán)憑證和股權(quán)憑證雙重性質(zhì)的金融工具。一方面，在轉(zhuǎn)換期內(nèi)，債券發(fā)行人必須按約定利率無條件還本付息;另一方面，在債券到期時，其持有人有權(quán)按照約定條件將債券轉(zhuǎn)換為普通股，使債務資本轉(zhuǎn)變?yōu)闄?quán)益資本，其自身也由公司債權(quán)人轉(zhuǎn)變?yōu)楣竟蓶|。

近年來，可轉(zhuǎn)債由于其靈活性高、融資成本低、融資金額大，可以減緩股東權(quán)益稀釋等優(yōu)點，不論是對債券發(fā)行方還是對債券投資者來說，都具有較大的吸引力，因而在資本市場上被廣泛使用。然而可轉(zhuǎn)債由于內(nèi)含轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)的復雜性，其準確定價問題始終沒有得到根本解決。Brennan， Schwartz和Ingersoll提出依據(jù)公司價值變化的隨機過程對可轉(zhuǎn)債進行定價，McConnel和Schwartz將信貸利差作為折現(xiàn)因子建立了新的可轉(zhuǎn)債定價模型，Tsiveriotis將可轉(zhuǎn)債的價值分解為權(quán)益部分和債權(quán)部分，Hung等則在可轉(zhuǎn)債定價模型中加入了對違約風險的度量，從而進一步提高了可轉(zhuǎn)債定價的準確性?？傮w而言，可轉(zhuǎn)債定價模型的研究不論是從理論意義還是從實際應用的角度來說，都具有重要的意義。

一、可轉(zhuǎn)債估值理論模型研究

可轉(zhuǎn)換債券由于兼具債權(quán)性和期權(quán)性，因此其理論價值應該等于它作為普通公司純債券的價值與它相應的看漲期權(quán)的價值之和，用公式表示為:

可轉(zhuǎn)換債券理論價值=純債券價值+轉(zhuǎn)股比例×看漲期權(quán)價值

假設(shè)純債券價值為S，轉(zhuǎn)股價格為K，看漲期權(quán)價值為f，則可轉(zhuǎn)債的價格V可以表示為:

下面本文將就這兩方面進行進一步討論。

(一)純債券價值估值

普通公司純債券價值是指可轉(zhuǎn)換債券若不具有轉(zhuǎn)換權(quán)利，其本身的債券性所具有的投資價值。純債券價值等于可轉(zhuǎn)換債券所有未來現(xiàn)金流(可轉(zhuǎn)債面值和每年利息值)的折現(xiàn)值之和，公式表示為:

其中，NPV為可轉(zhuǎn)換債券的純債券價值，F(xiàn)為可轉(zhuǎn)換債券面值，Ii為第i年可轉(zhuǎn)換債券年利息值(面值×票面利率)，T為可轉(zhuǎn)債期限，t為可轉(zhuǎn)債當期時間，r為折現(xiàn)率。

需要指出的是，純債券價值與無風險利率有關(guān)，而與可轉(zhuǎn)債標的股票的價格無關(guān)，它相當于一個普通可比債券的價值，反映了可轉(zhuǎn)換債券的最低價值。在到期日時，如果出售或者轉(zhuǎn)換債券的價值低于這個價值，則投資者將不會行使該出售或者轉(zhuǎn)換權(quán)利，而是選擇收回本金和每年利息。

(二)看漲期權(quán)價值估值

1.基于布萊克-斯科爾斯模型的可轉(zhuǎn)債估值

布萊克-斯科爾斯模型(Black-Scholes Model)由諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者Fischer Black和Myron Schole提出，適用于看漲歐式期權(quán)的估值，該模型根據(jù)“無套利原理”(Arbitrage-free Principle)提出，即如果某個期權(quán)的價格偏離了布萊克-斯科爾斯模型所計算的價值，則市場上無風險套利的機會就會出現(xiàn)，而無風險套利的過程將使得期權(quán)的價格重新回歸至模型所計算的理論值。布萊克-斯科爾斯模型包括股票、債券、期權(quán)在內(nèi)的以市價變動而定價的金融衍生工具的合理定價奠定了理論基礎(chǔ)，公式表示為:

f=Ps·N(d1)-X·e-rt·N(d2)

其中f為看漲期權(quán)價值， Ps為股票的當前價格， X為期權(quán)的執(zhí)行價格， t為期權(quán)到期時間，為股票連續(xù)復利下年收益率的標準差， N(di)是標準正態(tài)分布小于di的概率(i=1，2)，r為無風險利率1。

布萊克-斯科爾斯模型的理論基礎(chǔ)是Black-Scholes微分方程和風險中性定價原理:

Black-Scholes微分方程:

在風險中性時，歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)到期日的期望值分別為:

E[max(PT-PE)，0]

E[max(PE-PT)，0]

其中，PT為到期日時期權(quán)商品市場價格，PE為期權(quán)商品執(zhí)行價格。

和許多其他定價模型一樣，布萊克-斯科爾斯模型是建立在一系列有關(guān)經(jīng)濟環(huán)境和股票價格的假設(shè)之上的，主要包括:

1)期權(quán)標的物的價格變動遵循一般化的維納過程，即其價格服從對數(shù)正態(tài)分布;

2)股票可以賣空，且賣空者將得到交易中的全部利益;

3)期權(quán)標的物的價格波動率為已知的常數(shù);

4)期權(quán)是歐式期權(quán)，即只有在到期日才能夠執(zhí)行;

5)存在一個固定的無風險利率;

6)不存在交易費用和稅收等;

特別地，布萊克-斯科爾斯模型沒有考慮到期權(quán)在到期日之前被執(zhí)行的情況，因此該模型通常只適用于歐式期權(quán)的定價，若使用該模型對美式期權(quán)進行定價，則會出現(xiàn)較大的偏差。

2.基于二項樹模型的可轉(zhuǎn)債估值

二項樹模型(Binomial Options Pricing Model)由Cox，Ross，Rubinstein最先提出，它既可以用于歐式期權(quán)的估值，又可以用于美式期權(quán)的估值。該模型將可轉(zhuǎn)債期限分割為n個相等且間隔為t的時間段(每個時間間隔稱為一個二項期)，然后通過研究每個二項期后的股票價格，使用等效替代的方法來計算待估值期權(quán)的價格。事實上，由于該模型應用廣泛、比較直觀且易于理解，因此它已經(jīng)成為當今金融界最廣泛使用的金融衍生品定價模型之一，公式表示為:

其中f為看漲期權(quán)價值，Ps為股票的當前價格， X為期權(quán)的執(zhí)行價格，t為一個單位二項期，n為觀察期，u為一個單位時間股票價格上漲的比例，d為一個單位時間股票價格下跌的比例，p為股票價格上漲的概率，1-p為股票價格下跌的概率，r為無風險利率。

下面簡要推導說明二項樹模型的看漲期權(quán)公式:

首先考慮只有一期的二項樹。由于Ps是股票的當前價格，u為一個單位時間股票價格上漲的比例，d為一個單位時間股票價格下跌的比例，因此在一個二項期t之后，股票的價格只有上漲或下跌兩種情況，并且，若股價上漲，則在該時間點股價為u Ps;若股價下跌，則在該時間點股價為d Ps。

這里，我們估值的原理是:構(gòu)造一個投資組合，使得該投資組合的回收在股價上漲或下跌的情況下，與待定價期權(quán)的回收都完全相同，則此時必有該投資組合的價值與期權(quán)的價值也相同。

構(gòu)造的投資組合是:買進△股相同公司的股票2，并且以無風險利率借入B元債券。

設(shè)δ為連續(xù)股利收益率，r為無風險收益率，上漲情況下期權(quán)價值為Vu，下跌情況下期權(quán)價值為Vd。

若第一期后股票的價格上漲為u·Ps，根據(jù)期權(quán)價值=構(gòu)造的投資組合價值，有:

Vu=u·Ps·△·eδt+B·ert(1)

若第一期后股票的價格下跌為d·Ps，同理根據(jù)期權(quán)價值=構(gòu)造的投資組合價值，有:

Vd=d·Ps·△·eδt+B·ert(2)

聯(lián)立以上(1)(2)兩式，解出△和B，可得:

由于在當期時刻(T0)，此投資組合的價值為購買股票和債券所需的現(xiàn)金流，也就是我們最終要估值的期權(quán)的價值，設(shè)這個值為f，則有:

f=e-rt[p·Vu+(1-p)Vd](4)

上式即為一期情況下期權(quán)估值的表達式，其中 ，

Vu=max(u·Ps-X，0)，Vd=max(d·Ps-X，0)

同理，在兩個二項期2t之后，股票漲跌后的價格只有三種情況，分別是u2·Ps，u·d·Ps，d2·Ps。以此類推可知，在n個二項期nt之后，股票的價格有n+1種情況，可以統(tǒng)一表示為:

Psn=ukdn-kPs，k=1，2，…，n

此時期權(quán)的內(nèi)在價值即為股票價格和行權(quán)價格中的較高者，即max(ukdn-kPs-X，0)。

對于這種n個二項期的期權(quán)價值計算，我們選擇采取“倒推法”，即沿著二項樹倒向逐級推出前一期期權(quán)價值的方法。具體原理是:由于我們可以借助構(gòu)造的投資組合的價值計算出第n期的每個結(jié)點上的期權(quán)價值(共n+1個)，將其逐項帶入公式(4)中，便可以計算出第n-1期的每個結(jié)點上的期權(quán)價值(共n個)，再次帶入公式(4)，即可以計算出第n-2期的每個節(jié)點上期權(quán)價值(共n-1個)……以此類推，進行迭代計算，最終必定可以計算出在第0期(即現(xiàn)在時點)的期權(quán)價值，該值即為所求的目標期權(quán)的當前價值。在實際計算中，該過程可以通過計算機編程實現(xiàn)。

二、可轉(zhuǎn)債估值應用實例

本文中選擇浙江龍勝(600352)在2009年發(fā)行的規(guī)模為125000萬元、面值為100元的龍盛轉(zhuǎn)債(110006)作為以上有關(guān)估值模型討論的應用實例?？赊D(zhuǎn)債的基本數(shù)據(jù)如下:

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可以得到用于計算的對應變量值: 3

F=100，X=8.9，T-t=4.5，I1=1.0，I2=1.2，I3=1.4，I4=1.6，I5=1.8

對股票價格波動率σ的估計:

浙江龍勝可轉(zhuǎn)債的發(fā)行日期為2009年09月14日，為消除可轉(zhuǎn)債發(fā)行對股價的影響，這里我們選擇債券發(fā)行前從2008年09月01日至2009年08月31日一年的股票價格來計算波動率。

設(shè)ui (i=1，2，…，n)為股票第i日的連續(xù)復利收益率，為ui的標準差，則 即為股票價格日波動率，公式表示為:

計算出股票價格日波動率 以后，就可以計算出股票價格年波動率σ，計算公式為:

股票價格年波動率σ=股票價格日波動率

代入相關(guān)數(shù)據(jù)，最終計算結(jié)果為浙江龍盛股票價格年波動率 σ=0.2268。

對貼現(xiàn)率i的估計:

貼現(xiàn)率應等于企業(yè)發(fā)行純債券所要求的回報率，由于當前中國企業(yè)發(fā)行債券都有相應的評級和擔保，因此在不考慮額外的信用風險的情況下，可以認為交易所相應期限的企業(yè)債券收益率即為可轉(zhuǎn)換債券定價的貼現(xiàn)利率。這里，我們選擇同期債券比較收益率3.85%作為貼現(xiàn)率i的估計。

對無風險利率r的估計:

國際上對于無風險利率的估計，一般采用短期國債收益率來替代計算。這里，我們也同樣遵循這一原則并考慮了信用風險溢酬之后，采用2009發(fā)行的一年期憑證式國債票面利率2.60%來作為無風險利率r的估計值。

(一)純債券價值

如上所述，可轉(zhuǎn)債的純債券價值等于可轉(zhuǎn)換債券所有未來現(xiàn)金流(可轉(zhuǎn)債面值和每年利息值)的折現(xiàn)值之和，公式表示為:

針對本例，由以上數(shù)據(jù)選擇，具體計算過程如下:

因此可以得到可轉(zhuǎn)債的純債券價值為90.64767元。

(二)看漲期權(quán)價值

1.基于布萊克-斯科爾斯模型的可轉(zhuǎn)債估值

浙江龍盛2010年4月13日股票收盤價Ps為13.69元，相關(guān)數(shù)據(jù)如下:

Ps=13.69，X=8.9，r=2.6%，σ=0.2268，t=4.5

通過NORMSDIST函數(shù)，可以計算得到:

N(d1)=0.916008， N(d2)=0.815291

每份看漲期權(quán)的價值為:

f=13.69×0.916008-8.9×e-0.026×4.5×0.815291=6.08524

轉(zhuǎn)股比例為11.2，因此11.2份看漲期權(quán)的價值為:

6.08524×11.2=68.154688元

基于布萊克-斯科爾斯模型計算，最終可以得到2010年4月13日龍盛轉(zhuǎn)債的理論價值:

可轉(zhuǎn)換債券理論價值=90.64767+68.154688=158.80元(保留至百分)

2.基于二項樹模型的可轉(zhuǎn)債估值

對于二項樹模型來說，這里為了簡單直觀地表示出二項取值的過程，取變量值n=5。其他數(shù)值保持不變，分別為:

Ps=13.69，X=8.9，r=2.6%，σ=0.2268，n=5，t=0.9

對于一個單位時間股票價格上漲的比例u，一個單位時間股票價格下跌的比例d的取值，將根據(jù)該公司股票年化波動率在連續(xù)復利條件下進行計算，即:

u=e，d=e-

代入上文中數(shù)據(jù)，可得u=1.24006，d=0.80641。

對于一個單位時間后股票上漲的概率p，計算表達式為:

代入數(shù)據(jù)，可得P=0.50101。

單位時間間隔(一個二項期)方面，取n=5，t=0.9代入(*)式，有:

每份看漲期權(quán)價值f=6.12688:

11.2份看漲期權(quán)的價值: 6.12688×11.2=68.62106

此，我們最終可以得到2010年4月13日龍盛轉(zhuǎn)債在二項樹模型下的理論價值為:

可轉(zhuǎn)換債券理論價值=90.64767+68.62106=159.27(保留至百分位)

在以上計算中，筆者為了簡要直觀地說明使用二項樹模型對可轉(zhuǎn)債估值的過程，選取了變量值n=5。在實際計算中，迭代的次數(shù)越多，估值效果將會越準確。因此，為了準確定價，實際計算時通常會選取n=100以上的迭代次數(shù)，這種方法可以保證計算結(jié)果更加接近可轉(zhuǎn)換債券的真實價值4。

分別使用布萊克-斯科爾斯模型(BSM)和二項樹模型(BOPM)在n=5和n=100的情況下，根據(jù)浙江龍勝的股票價格5，計算出龍盛轉(zhuǎn)債從2010年4月1日至2010年4月15日期間的理論價值，結(jié)果匯總?cè)缦?/p>

三、估值結(jié)果分析

根據(jù)估值結(jié)果對比表，可以直觀地觀察到兩種理論模型基本對可轉(zhuǎn)換債券的價值進行了比較準確的估計。進一步計算可知，使用布萊克-斯科爾斯模型估值的偏差范圍為-0.76%至4.80%，使用二項樹模型在n=5的情況下估值的偏差范圍為-0.53%至5.11%，在n=100的情況下估值的偏差范圍為-0.75%至4.79%，這個結(jié)果可以說明以下結(jié)論:

1)本文以上理論研究中，對可轉(zhuǎn)債定價模型的假設(shè)和相關(guān)變量的選取比較準確合理。

2)使用二項樹模型估值時，在迭代次數(shù)n增大時，可轉(zhuǎn)債估值的準確性有較大提高。

3)當n取值結(jié)果較大時，使用二項樹模型估值的結(jié)果和使用布萊克-斯科爾斯模型估值的結(jié)果將十分接近。

4)市場上龍盛轉(zhuǎn)債的實際價值可能被低估6。

正如上文所述，任何金融產(chǎn)品及其衍生品的定價模型均是建立在一系列理想情況的假設(shè)基礎(chǔ)之上的，而這些假設(shè)存在本身就會在一定程度上限制定價模型的準確性。在真實市場中，金融產(chǎn)品的實際價格還將受到很多其他因素的影響，可能會造成價值偏差的原因包括:

1)股票市場不完善。相關(guān)研究表明，我國的股票市場處于無效和弱有效性之間。公司與投資者之間的信息不對稱現(xiàn)象較為嚴重，在2010年股指期貨起始交易之前，市場上始終沒有做空機制，只能通過推高大盤指數(shù)和股票價格來通過價差獲取盈利，因此容易出現(xiàn)虛高和泡沫的現(xiàn)象。

2)債券市場弱流動性。目前中國債券尤其是可轉(zhuǎn)債市場還屬于新興發(fā)展階段，市場不夠成熟，流動性相對較弱，交易量相對較小，債券市場價格不能完全反映真實價值。

3)投資者不成熟。由于可轉(zhuǎn)債這種新型金融工具在我國發(fā)展的時間相對較短，市場規(guī)模較小，因此很多投資者對可轉(zhuǎn)債的認識嚴重不足，未對其內(nèi)在價值進行充分挖掘。

4)贖回和回售條款7。在債券發(fā)行時，發(fā)行公司和交易者之間簽訂的協(xié)議中可能會包含贖回和回售條款，即在一定的觸發(fā)條件成立時，公司有權(quán)利(或義務)以某一提前設(shè)定的價格贖回(或回售)之前所發(fā)行的可轉(zhuǎn)換債券，這種條款的存在將會限制一般理論定價模型的準確性。

實際上，布萊克-斯科爾斯和二項樹這兩種期權(quán)定價模型都是建立在動態(tài)復制原理和無套利均衡原理之上。根據(jù)中心極限定理，當n趨向無窮大時，二項式分布將逼近正態(tài)分布，此時二項樹模型的定價結(jié)果也將逼近布萊克-斯科爾斯模型的定價結(jié)果8。

布萊克-斯科爾斯模型的建立進行了大量的假設(shè)，成立的條件相對苛刻，而且一般情況下只適用于歐式期權(quán)，因此其應用性受到一定的局限;二項樹模型的假設(shè)條件較少，使用范圍更廣泛，既可以用于歐式期權(quán)定價，也可以用于美式期權(quán)定價，但是其計算過程卻相對復雜。

投資者在對可轉(zhuǎn)換債券進行估值時，除了使用相關(guān)定價模型來計算其理論價值外，還應關(guān)注包括宏觀經(jīng)濟環(huán)境、企業(yè)所在行業(yè)和具體發(fā)行公司情況在內(nèi)的其他因素，來整體考慮可轉(zhuǎn)債的綜合情況，力圖可以更加準確地把握其真實價值。

參考文獻:

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(作者單位:英國牛津布魯克斯大學商學院 首都經(jīng)濟貿(mào)易大學金融學院)