作者簡介：鄭毓信，南京大學哲學系教授、博士生導師，現(xiàn)為中國自然辯證法研究會數(shù)學哲學專業(yè)委員會委員，國際數(shù)學教育大會(ICME-10)程序委員會委員，美國《數(shù)學討論》雜志評論員，中英澳暑期哲學學院中方委員會委員，教育部人文社會科學重點研究基地山西大學科學技術哲學研究中心學術委員會委員，江蘇省社會科學研究人員高級職務任職資格評審委員會成員，人民教育出版社21世紀義務教育小學數(shù)學新教材顧問，1992年起享受政府特殊津貼，并已被列入英國劍橋世界傳記中心(IBC)編撰的《世界知識分子名人錄》。

鄭毓信的主要研究領域為數(shù)學哲學和數(shù)學教育。

除去數(shù)學與教育方面的一般性要求，數(shù)學教師還應具有自己的特殊技能，這就是“數(shù)學教師的三項基本功”：善于舉例；善于提問；善于比較與優(yōu)化。除教學以外，這三者對于數(shù)學教師的專業(yè)成長也具有特別的重要性，以下就對此作出具體論述。

一、“善于舉例”與數(shù)學教師的專業(yè)成長

容易想到，舉例對于數(shù)學教學的重要性正是由數(shù)學本身的性質(zhì)所決定的。具體地說，高度的抽象性正是數(shù)學最為基本的一個特性：“甚至對數(shù)學只有膚淺的知識就能容易地察覺到數(shù)學的抽象性……我們運用抽象的數(shù)字，卻并不打算每次都把它們同具體的對象聯(lián)系起來。我們在學校中學的是抽象的乘法表一總是數(shù)字的乘法表，而不是男孩的數(shù)目乘上蘋果的數(shù)目，或是蘋果的數(shù)目乘上蘋果的價錢等等?！?亞歷山大洛夫《數(shù)學——它的內(nèi)容、方法和意義》，科學出版社，1958。第一卷)從而，適當?shù)呐e例就應被看成數(shù)學教學工作最為重要的一個方面，因為只有這樣，我們才能為學生較好地去實現(xiàn)相應的數(shù)學抽象提供必要的基礎。

應當指出，數(shù)學學習心理學的現(xiàn)代研究也為上述認識提供了直接論據(jù)：在大多數(shù)情況下，數(shù)學概念的心理對應物(心理表征)并非概念的形式定義，而是一種由多種成分組成的復合體，在其中實例占據(jù)了十分重要的地位，特別是，后者正是個人情感與經(jīng)驗等進人數(shù)學之處，從而對于數(shù)學學習也就具有十分重要的作用。[正因為如此，人們提出，對于“概念定義”(concept definition)與“概念意象”(concept image)我們應作出明確的區(qū)分。]

從上述的角度去分析，我們或許可更好地去發(fā)現(xiàn)中國數(shù)學教學的若干不足之處，因為我們的學生往往能夠準確和迅速地說出所學過的各個數(shù)學概念(如函數(shù)等)的嚴格定義，但在要求給出實例時卻又表現(xiàn)出極大的困難。

當然，中國的數(shù)學教學在這方面也具有自己的寶貴經(jīng)驗或獨到之處。如所謂的“變式理論”(特別是“概念變式”，對此可見鮑建生、顧冷沅等的“變式教學研究”，《數(shù)學教學》2003年第l一3期)就直接關系到我們在教學中應當如何去舉例才能幫助學生更好地掌握數(shù)學概念的本質(zhì)：第一，為了防止學生將相關實例的某些特性誤認為數(shù)學概念的本質(zhì)屬性，我們的教學不應唯一地局限于平時所經(jīng)常用到的一些實例(“標準變式”)，而應當有意識地去引入一些“非標準變式”；第二，反例(“非概念變式”)的引入對于概念的正確理解，特別是防止或糾正學生各種可能的錯誤觀念也具有特別的重要性。

當然，就實際的教學活動而言，我們又必須以學生的具體情況作為直接的出發(fā)點，對于處于困境之中的學生我們應當通過適當?shù)呐e例給其一定的啟示，對于學生的錯誤觀念或認識則又應當通過不同的實例以引發(fā)其內(nèi)在的概念沖突，從而也就能夠使其自覺地去糾正錯誤。

值得指出的是，除去概念的學習以外，這事實上也可被看成中國數(shù)學教學傳統(tǒng)(包括教材編寫)的一個重要內(nèi)涵，即特別重視如何通過適當?shù)膶嵗龓椭鷮W生較好地掌握各種基本技能。這也就是指，無論是教材或教師在教學中對于例題的選擇，都非隨意的行為，而是特別重視例題的典型性，這樣才能切實起到“范例”與啟示的作用。從這樣的角度去分析，數(shù)學教學中對于所謂的“怪題”與“偏題”的反對就是很有道理的。

以下再進一步指明“善于舉例”對于數(shù)學教師專業(yè)成長的特殊重要性。

首先，由以下的實例可以看出，與數(shù)學學習一樣，舉例，特別是如何能夠結合自己的教學實踐舉出適當?shù)膶嵗部杀豢闯衫碚搶W習的關鍵所在?！度嗣窠逃?008年第7期發(fā)表了這樣一篇重點文章“關于數(shù)學教育若干重要問題的探討”，其主要內(nèi)容是一位數(shù)學教師的讀書筆記，相關編輯對這一工作做了如下評價：“這些筆記(指其所摘錄的一些語錄——注)的確很精辟，但是我覺得您的解讀更精彩，從某種角度講，能用恰到好處的實例來解讀理論的人，比只會給出抽象理論的人更偉大，因為這不但表明消化理論的能力，也代表了思考的透徹與思想的成熟。您使我們看到了濃縮的理論后面豐富的實踐風景，同時也引發(fā)了新的思維風暴?！?/p>

以下的實例進一步表明：恰當?shù)呐e例事實上也可被看成各人對于相關理論是否達到了真正理解的直接標志。例如，盡管當前“建構主義”對于廣大數(shù)學教育工作者來說已不再是一個十分陌生的概念了。但即使是所謂的專家也很少有人能用具體的教學實例清楚地說明究竟什么是所謂的“建構主義教學法”，以及它與所謂的“非建構主義教學法”究竟又有什么不同。

其次，由于數(shù)學思維的學習正是廣大一線教師在當前所面臨的一項重要任務，因此，在此有必要特別強調(diào)這樣一點，數(shù)學思維的學習不應求全，而應求用。也就是說，重要的并不在于能夠無一遺漏地列舉出各種數(shù)學思維與思維方法，而是能夠通過自己的教學實踐更好地去體會與展現(xiàn)數(shù)學思維，從而將自己的數(shù)學課真正“講活”、“講懂”、“講深”，即能夠通過自己的教學活動向學生展現(xiàn)“活生生的”數(shù)學研究工作，而不是死的數(shù)學知識，并能幫助學生真正理解有關的教學內(nèi)容，而不是對這些內(nèi)容囫圇吞棗，死記硬背，更可使得學生不僅能夠學到具體的數(shù)學知識，還能深入領會并逐漸掌握內(nèi)在的思維方法。

為了清楚地說明這樣一點，在此還可舉出這樣一個實例——一個“認識分數(shù)”的課例。盡管任課教師本人可能沒有清楚地意識到這樣一點，但如果我們能以“變式理論”作為教學工作的自覺指導，就可以較好地實現(xiàn)由“經(jīng)驗型實踐”向“理論指導下的自覺實踐”的重要轉變。由此我們也可更好理解“變式理論”的本質(zhì)，即如何能夠通過“求變突出其中的不變因素”，從而幫助學生更好掌握數(shù)學概念的本質(zhì)，以及學會數(shù)學地解決問題。

具體地說，任課教師設計了“分蛋糕”這樣一個情境引入分數(shù)，并通過簡短討論(這是一個基本事實：有很多學生在正式學習分數(shù)前已通過各種渠道對分數(shù)的概念有了一定了解)引出了如下結論：“將一個蛋糕平均分成兩份，每份是它的1/2?！?/p>

以下就以這個結論為對象具體指明如何通過適當變化以幫助學生更好地掌握分數(shù)這一概念的本質(zhì)。第一，作為分割的對象，顯然未必一定要是蛋糕，可以是紙片或別的什么東西。另外，對于所分割對象的外形我們也無須作任何特定的限制，它們既可以是圓形，也可以是方形或任何其他的形狀。顯然，通過所說的變化我們就可以更好地理解其中的關鍵：這里所涉及的分割必須是“平均的”。第二，除去分割的對象，我們也可對分割的方法作出一定的變化。例如，分割長方形紙片時，我們可以橫著折，也可以豎著折，還可鈄著折(后者大致地就可被看成以上所說的“非標準變式”的實例)……另外，除所說的“正例”外，我們還應引入一定的“反例”(這也就是以上所說的“非概念變式”)，如按照中位線分割的梯形等。這樣，通過兩者的對照我們就可幫助學生更好地理解到這樣一點：這里的關鍵不在于“如何分”，而是“平均分”，或者說，后者正是分數(shù)概念的本質(zhì)所在。第三，除去分割的對象與方法以外，我們還應將“平均分成兩份”中的“兩份”以及所說的“每份”作出適當變化，而這事實上也就是將所引入的分數(shù)由1/2逐步擴展到了1/3，1/4，……乃至2/3，3/4，……第四，這事實上也可被看成“非標準變式”的—個實例，即分配的對象未必一定要是“1個蛋糕”，也可以是“2個蛋糕”、“3個蛋糕”等。容易看出，后一變化事實上也就意味著我們已經(jīng)將分析的著眼點由“(平均)分配”這一實際活動轉移到了部分與整體的關系，這當然意味著對于分數(shù)本質(zhì)更為深入地認識。

最后，還應強調(diào)的是，除各個具體理論的學習外，我們還可從更為一般的角度認識“善于舉例”對于數(shù)學教師專業(yè)成長的重要性。具體地說，按照社會學的觀點，所謂“專業(yè)成長”主要就是指個體如何能夠成為相應共同體的一員，而后者的一個重要標志則又在于對于共同體成員所共同具有的觀念與信念(這也就是所謂的“范式”或“傳統(tǒng)”)的學習和繼承。當然，后者主要是一個潛移默化的過程。但又正如“范式”這一概念在當代的主要倡導者、美國著名科學哲學家?guī)於魉赋龅?，只有借助于范例我們才能真正掌握相應的范式：“最基本的是，范式是指某些具體的科學成就事例，是指某些實際的問題解答，科學家認真學習這些解答，并仿照它們進行自己的工作?！?庫恩，《必要的張力》，紀樹立等譯，北京大學出版社，2004)

容易看出，后一分析事實上也就十分清楚地表明了學習經(jīng)典對于專業(yè)成長的特殊重要性。另外，從實踐的角度看，我們則又應當特別強調(diào)這樣一點：與片面強調(diào)理論的指導作用相比較，我們又應更加強調(diào)實踐工作的創(chuàng)造性，特別是“實踐性智慧”對于新的工作的啟示意義或促進作用。由于后者主要地即可被描述為“借助于案例進行思維”，從而作為“反思性實踐者”，我們也就應當十分重視案例的分析與積累。這樣，通過與案例的比較我們就可獲得關于如何去從事新的實踐活動的重要啟示。

顯然，按照這樣的分析，案例研究也就應當被看成教學研究的一個基本形式。當然，關鍵是“案例分析”應當重在分析，對此可由以下的實例清楚地看出。

這是“觀察物體”的一個教學實例，主要內(nèi)容是幫助學生學會如何從不同方向去觀察一些簡單物體(包括立方體以及用若干同樣大小的立方體組成的較為復雜的物體)，即確定從正面、左面、上面等不同方向去觀察究竟會看到什么形狀的圖形(正方形、長方形等)。

如果不作深入思考的話，人們也許會覺得這是一堂較為容易的數(shù)學課，在課堂上只需引導學生去進行實際觀察就可以了。當時，任課教師不僅精心準備了必要的教具，并先后采取了以全班為單位派代表，以及以小組為單位輪流進行觀察等具體做法，更有特色的是，這位教師在教學中還使用了攝像機去進行驗證。這樣，一切就似乎都進行得十分順利。

例如，教師在課堂上首先提出問題：“這是一個立方體，從正面看你看到了什么?”面對這樣一個問題，學生進行了實際觀察，教師不斷對學生給出的解答作出評價：“好!”“非常好!”“你看得真仔細!”“你再仔細看看!”……這樣，所有學生最終都得出了“我看到了一個正方形”這樣一個結論。

但是，筆者在此要提出的問題是：這個結論的得出難道真是實際觀察的結果嗎?例如，如果一個學生提出他所看到的是通常所說的立體圖(即是由一個正方形和兩個平行四邊形所組成的組合圖形)，你能說他看錯了嗎?!

完全可以想象，如果在教學中真的出現(xiàn)了上述的情況，任課教師一定會建議道：“你再仔細看看!”甚至還可能作出這樣的提示：“你再好好想想究竟什么是‘從正面看’?！钡?，如果一個學生堅持說他怎么也看不出老師所說的正方形，而只能看到通常所說的立體圖，教師又該如何去處理呢?還是這個問題：你真的能說他看錯了嗎?!

至此，我想有的讀者也許已經(jīng)有所感悟了：事實上這里我們并不是真正地在看，而是在教會學生應當如何去看。也就是說，我們在此所進行的事實上是一種規(guī)范化的活動：通過我們的教學，使學生逐步學會究竟什么叫做“從正面看”?；蛘哒f，究竟看到了什么樣的形狀才是正確的，其他的則都是不正確的。

“等一等!”也許有的讀者早已忍耐不住了，“難道這不是一個客觀事實嗎，即立方體在長、寬、高三個方向的投影都是正方形!”是的!但這里的關鍵恰就在于“投影”這兩個字，因為這顯然是一種理想化的狀態(tài)(或者說，是嚴格定義的結果)，而如果我們真的用眼睛(或者用攝像機)去看則是很難(如果不說不可能的話)看出正方形的。所以，我們就應引出這樣的結論：在此我們事實上并非是用眼睛，而是用頭腦在看!

可見，即使是“觀察”這種最為基本、最為直截了當?shù)幕顒邮聦嵣弦膊⒉缓唵巍．斎?，就我們目前的論題，這也就十分清楚地表明了：即使是些常見的教學實例。由深入的分析我們也可能獲得關于數(shù)學學習與教學活動的深刻認識。(對此并可見另文“‘案例分析’應重在分析”，《中學數(shù)學教學參考》，2000年第9期)

(責編 王學軍)