在我知道“分形理論”之前的日子里，菜花不過是一種美味而營養(yǎng)的蔬菜。如今，我每次見到菜花都會有點(diǎn)瞬間走神——沒錯，我又是愣在那里感嘆分形理論的絕妙巧思，感嘆自然世界的極致美感。

分形理論，于1975年由美籍著名學(xué)者曼德勃羅創(chuàng)立，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個新分支?！胺中巍钡囊淮筇攸c(diǎn)是“自相似性”，而對于并非數(shù)學(xué)專業(yè)的普通人來說，最直觀的理解方式莫過于觀察植物。比如說隨處可見，又可進(jìn)行動手實驗的菜花，就是非常好的理解對象。當(dāng)你把菜花買回家中，它是一整顆，結(jié)結(jié)實實，白白脆脆，但下鍋之前，你一定會將其掰成一小朵一小朵。此時，自相似結(jié)構(gòu)就顯露出來，那“一小朵”與“一整顆”是多么相似啊，除了大小不同，幾乎是彼此的翻版。若你將整顆菜花與一小朵菜花放在沒有參照物的背景中分別拍攝兩張照片，估計還真難分出誰是“老大”。

自然界中的分形結(jié)構(gòu)非常多見，比如人腦皮層、毛細(xì)血管分布、樹木枝干生長、葉子脈絡(luò)等等結(jié)構(gòu)，因此分形理論也被譽(yù)為大自然的幾何學(xué)。對于分形理論的開創(chuàng)性意義，美國著名物理學(xué)家惠勒還有驚人之語：“今后誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學(xué)上的文化人?！?/p>

發(fā)現(xiàn)“碎片”中的規(guī)律

1973年，曼德勃羅在法蘭西學(xué)院的課堂上，首次提出了分維和分形幾何的設(shè)想。但分形(Fractal)一詞的產(chǎn)生卻是在兩年之后的一個夏日夜晚。那天，夜色如水，這般寂靜時刻是最適合冥思苦想的，曼德勃羅任思緒漫延，并隨手翻動他兒子的拉丁文字典，突然想到用Fractal概括他的最新理論。此詞源于拉丁文形容詞fractus，對應(yīng)的拉丁文動詞是frangere(破碎)。此外與英文的fraction(碎片)及fragment(碎片)擁有相同的詞根。曼德勃羅是想用此詞來描述自然界中一大類復(fù)雜無規(guī)則的幾何對象，而這是傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的。例如，起伏不平的山脈、曲折復(fù)雜的海岸線、白衣蒼狗的浮云、九曲回腸的河流、橫縱交疊的血管、布滿繁星的夜空等。直觀地說，這些對象都是分形。它們所呈現(xiàn)的曲線是極不規(guī)則或極不光滑的，但我們又對它們有所判斷，比如看到手繪的“山”的圖畫，我們不會錯認(rèn)為是河流，說明除了不規(guī)則之外，其中還有“規(guī)則”可循。

而對于“規(guī)則”的發(fā)現(xiàn)過程還要追溯到更早的1960年。曼德勃羅在研究棉價變化的長期形態(tài)時，發(fā)現(xiàn)了價格在大小尺度間的對稱性。在對尼羅河水位和著名的“英國海岸線”的數(shù)學(xué)分析中，同樣發(fā)現(xiàn)類似規(guī)律。經(jīng)過大量研究之后，他發(fā)現(xiàn)了“大自然的秘密”——自然界中很多現(xiàn)象從標(biāo)度變換角度表現(xiàn)出的對稱性。他將這類集合稱作自相似集，其嚴(yán)格定義可由相似映射給出，我們則可以通過上文中“菜花的故事”對“自相似集”進(jìn)行形象的理解。曼德勃羅認(rèn)為，傳統(tǒng)歐幾里德測度不能刻畫這類集的本質(zhì)，轉(zhuǎn)向維數(shù)的研究，發(fā)現(xiàn)維數(shù)是尺度變換下的不變量，主張用維數(shù)來刻畫這類集合。1975年，曼德勃羅第一部分形幾何著作，也是20世紀(jì)突破歐幾里德幾何之作《分開：形狀、機(jī)遇和維數(shù)》出版。分形幾何建立以后，引起了許多學(xué)科的關(guān)注，因為它不僅在理論上，而且在實用上都具有重要價值。

“知識流浪漢”的大眾科學(xué)

近代的數(shù)學(xué)和物理遠(yuǎn)離民眾的“生活世界”，它們以理想的狀態(tài)呈現(xiàn)，規(guī)則的點(diǎn)、線、面是科學(xué)家眼里理想的研究對象。然而，自然界里幾乎沒有理想對象，例如，地球不是球體，山嶺不是錐體，海岸線不是圓周，閃電也不沿著直線傳播。傳統(tǒng)科學(xué)家們“嚴(yán)肅冷酷，枯燥乏味”的研究工作無人理解。曼德勃羅的分形理論仿佛是科學(xué)與民眾之間的一道瑰麗彩虹，讓彼此兩岸連接成一。

他的獨(dú)特成就也與其人生經(jīng)歷密切相關(guān)。作為哈佛大學(xué)的“數(shù)學(xué)實踐講座”教授的曼德勃羅，高中畢業(yè)后，沒考大學(xué)，選擇了過流浪生活，他“拎著一些破舊而過時的書籍，以他自己的方式學(xué)習(xí)著，自我猜測著許多事情，做任何事均不采取理性或者半理性的方式”。自稱為“知識的流浪漢”的曼德勃羅其研究方法更是獨(dú)具特色，他從不追趕前沿，而喜歡收集過期刊物，從中發(fā)現(xiàn)未被重視的真知灼見，在故紙堆中成就創(chuàng)新理論，真可謂“溫故而知新”的超級典范。

分形理論作為“科學(xué)另類”的研究成果，最初受到科學(xué)界的拒絕，之后卻成為一門橫斷學(xué)科，廣受歡迎。比如物理學(xué)中的布朗運(yùn)動：在顯微鏡下觀察落入溶液中的一粒花粉，會看見它不間斷地作無規(guī)則運(yùn)動(布朗運(yùn)動)，這是花粉在大量液體分子的無規(guī)則碰撞(每秒鐘多達(dá)十億億次)下表現(xiàn)的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的分辨率，就可以發(fā)現(xiàn)原以為是直線段的部分，其實由大量更小尺度的折線連成。對于折線連成的圖形，正是分形理論研究的對象，這無疑可以為研究布朗運(yùn)動提供有效的計算模型。在物理學(xué)界，還將分形用于湍流和臨界現(xiàn)象；在生物學(xué)中，分形理論被用于分析細(xì)胞生長；在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，分形則能分析股票價格走勢……

對于普通民眾，分形更以藝術(shù)的形式與他們進(jìn)行形象、親切以及美的溝通。分形視覺藝術(shù)、分形音樂成為很多計算機(jī)藝術(shù)家探索的新領(lǐng)域。就連年輕人的T恤衫和街邊的海報上，也畫滿了分形圖案。只要你將分形藝術(shù)輸入搜索引擎，你就會看到極其瑰麗多姿，令人驚嘆的美麗畫面。曼德勃羅特別開心地表示，“科學(xué)不是被人保存在牛津劍橋或是常春藤學(xué)校里的，科學(xué)是給大眾的?！?/p>

分形，如果用復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號去解釋，恐怕令很多普通人望而卻步，但當(dāng)我們在準(zhǔn)備晚餐、切開菜花的時候，想想關(guān)于自然世界的美妙構(gòu)造，想想溝通科學(xué)，想想自然與大眾的科學(xué)家曼德勃羅的可愛性情，似乎科學(xué)也在萬家燈火與誘人飯香中散發(fā)出了親切的氣息。

責(zé)任編輯 林京