[摘 要] 本文針對企業(yè)按固定比例生產的聯(lián)產品進行非線性盈虧平衡分析，確定最優(yōu)規(guī)模和最優(yōu)規(guī)模所對應的最優(yōu)價格，分析最小規(guī)模和最大規(guī)模之間的風險問題，指出了企業(yè)各種產品定價和非線性盈虧平衡分析的基本思路。示例最優(yōu)規(guī)模、最大規(guī)模和最小規(guī)模以及盈虧平衡點的產量和價格，并分析了絕對量和相對量的變化關系。

[關鍵詞] 聯(lián)產品;固定比例;價格;產銷量;收入;成本;盈虧平衡點

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2009 . 22 . 004

[中圖分類號]F234.3 [文獻標識碼]A [文章編號]1673 - 0194(2009)22 - 0011 - 04

0 引 言

盈虧平衡分析又稱量本利分析，它是研究在一定的市場和生產能力的條件下，項目的成本費用與收益之間的平衡關系的一種方法。盈虧平衡點(Break-Even Point，BEP)表示收益與成本相等時不虧不盈的轉節(jié)點，在這一點上的經(jīng)濟意義十分重要。因此尋找盈虧平衡點，計算其相對指標和絕對指標，進行不確定分析，可以為經(jīng)營管理決策提供必要的信息。

在許多文獻中對于盈虧平衡分析僅給出了線性盈虧平衡分析和非線性盈虧平衡分析的簡單模型，雖然能夠反映一定的經(jīng)濟現(xiàn)象，但不具一般性。當企業(yè)生產多種相互關聯(lián)的產品時，根據(jù)需求定理，由于當產銷量相等時，不同的產銷量對應的銷售價格并不相同，不同的價格會間接影響到該產品的相關商品的需求，進而影響到各自的需求量，所以產品本身價格、關聯(lián)產品的價格與產銷量之間必然存在一定的函數(shù)關系，收入函數(shù)與價格之間也必定存在一定的關系。這種關系在產銷量相等、價格不變的假設前提下則與實際情況存在差距。在盈虧平衡點時，產品的價格是由市場供求決定的，而我們假設價格不變與實際情況并不完全相符。

在企業(yè)生產多種相互關聯(lián)產品時，關聯(lián)產品間可能在需求方面存在著相互關系，在生產方面也存在著相互關系，即生產出某種產品，同時又生產出了另外一種產品。這些產品可能是按照固定比例組合起來的，也可能是按照變動比例生產出來的。前者如面粉廠加工1噸小麥可以產出0.6噸的面粉，同時又可以得到0.4噸的麥麩。后者如煉油廠使用原油煉制汽油和柴油，不同的工藝決定了不同的生產組合，企業(yè)可以根據(jù)需求和生產實際確定最佳的生產關系。這種情況下，各自的價格與產銷量之間存在一定的函數(shù)關系，它違背了價格不變和產銷量相等的原則，那么在這種情況下的盈虧平衡點如何呢?以下本文加以介紹。

1 基本假設

企業(yè)僅生產兩種按固定比例的聯(lián)產品A、B，產量分別是QA、QB，按照1∶n的產量關系生產，即總產量為Q=QA=nQB，生產1單位產品可同時得到1單位的A和n單位的B，產品A的需求函數(shù)為PA=PA(QA，QB)，產品B的需求函數(shù)為PB=PB(QA，QB)。

當A、B產品需求不相關時，各自的需求函數(shù)可以簡化為

當兩種產品具有需求相關關系時，各自的需求函數(shù)為

PA=PA(QA)PB=PB(QA，QB)或QB =Q(PA，PB)(1)

產品A、B的收入函數(shù)分別為TRA、TRB，即TRA=PAQA，TRB=PBQB。則企業(yè)總收益函數(shù)為TR=TR(Q)=TRA+TRB，總成本函數(shù)為TC=C(Q)，稅金與銷售收入的比率為s。產銷量相等(銷毀除外)。

2 基本原理

根據(jù)企業(yè)利潤最大化的條件MR=MC，當A、B兩種產品的需求不相關時，

利用公式(3)可以求出產量Q，把Q分別代入各自的需求函數(shù)，就可以得出A、B兩種產品的定價。但是，當把Q代入各自的邊際收益函數(shù)時，如果MRA、MRB中有小于零的，因為沒有一個廠商愿意使自己某種商品的邊際收益為負值，所以必須銷毀一定的該產品才能保證企業(yè)利潤最大化，也就是保證MRA、MRB≥0，此時產量分別為Q*A，Q*B。把Q*A，Q*B分別代入各自的需求函數(shù)，才可以得出A、B兩種產品的價格。

對于兩種產品具有相關關系(替代或互補)時，其原理是相通的，所不同的是需求函數(shù)為復合函數(shù)，不贅述。

在盈虧平衡時有TR(1-s)=TC，利用該公式可以求出用產量表示的盈虧平衡點及盈虧平衡時產品A、B的價格。以上我們已經(jīng)求出了最佳產量Q*A、Q*B，于是可以求出盈虧平衡時的絕對量和相對量等指標。至此，根據(jù)定價理論和盈虧平衡理論即可確定風險問題。

3 圖形分析與推理

假定企業(yè)生產A、B兩種產品，二者是聯(lián)產品。它們的需求函數(shù)都是線性的，且產銷量相等(銷毀除外)。在圖1中，橫軸代表固定比例生產的聯(lián)產品的產銷量，以產品組為單位;縱軸代表價格。先看圖1(a)，由于兩種產品的需求函數(shù)并不相同，所以產品A、B各有一條需求曲線DA和DB(不失一般性，假設需求曲線為線性的)。同時，產品A、B也就各有一條邊際收益曲線MRA和MRB。把MRA和MRB進行垂直方向加總，可以得到總邊際收益曲線MR。無論如何，企業(yè)都不會使某種產品的邊際收益為負值，因此，從MRB降到零值水平后，總邊際收益曲線MR就與MRA重合。當企業(yè)生產聯(lián)產品時，由于很難確定多少成本是生產產品A的耗費，多少成本是用于生產產品B的，所以生產成本是無法在兩種產品之間進行合理分攤的。因此，兩種聯(lián)產品的生產成本是結合在一起的，聯(lián)產品的邊際曲線只有一條，即MC。曲線MC和MR的交點E決定了企業(yè)的最佳聯(lián)產品產量與價格。這時，A、B兩種產品的產銷量是相同的，即QA=QB，。產品A的價格為PA，產品B的價格為PB 。圖1(b)也反映企業(yè)生產A、B兩種聯(lián)產品的情況，它與圖1(a)唯一的區(qū)別是邊際成本曲線MC位置比較低，說明企業(yè)生產成本比(a)圖反映的水平要低。這時，總邊際收益曲線MR與邊際成本曲線MC的交點E所表示的產品A的最佳價格為PA，比(a)圖中的PA要低一些;同時，產品A的最佳產量為QA，比(a)圖中的QA要大一些。如果這時產品B的產銷量與產品A的產銷量相同，那么產品B的邊際收益將會是負值，也就是說產品B的產銷量過大，以至于已經(jīng)達到了減少企業(yè)利潤，而不是增加企業(yè)總利潤的程度。這時，產品B的產銷量就應該決定在它的邊際收益為零的水平，即(b)圖中的QB，比(a)圖中的QB要大一些。相應地，產品B的最佳價格水平為PB，比(a)圖中的PB要低一些。由于A、B兩種產品是固定比例的聯(lián)產品，生產QA的A產品時也就生產出了相同數(shù)量的B產品(假定A、B兩種產品的比例是1∶1)，為不使產品B的過大產銷量對企業(yè)利潤產生消極影響，企業(yè)必須把(QA-QB)單位的產品B銷毀。

在圖2中，總收益曲線TR和總成本曲線TC有兩個交點E1、E2，根據(jù)盈虧平衡點的定義，E1、E2就是該問題的盈虧平衡點，在E1、E2兩點所對應的產量分別為Q1、Q2，因此企業(yè)只有安排在Q1、Q2之間的水平上進行生產才能盈利，否則必然虧損。我們稱Q1、Q2為經(jīng)濟規(guī)模。在Q1、Q2之間有一個產量Q*對應于利潤最大化，我們稱之為最佳經(jīng)濟規(guī)模。那么Q*與前面求得的最優(yōu)產量一定相等嗎?如果不考慮稅金對成本的影響，則答案是肯定的，因為定價理論與盈虧平衡理論所使用的原理是相同的，即MC=MR。

4算 例

解:

TRA=PAQA=2Q(60-0.1×2Q)=120Q-0.4Q2

TRB=Q(70-0.5Q)=70Q-0.5Q2

MRA=120-0.8Q，MRB=70-Q

TR=TR(Q)=TRA+TRB=190Q-0.9Q2，MR=190-1.8Q

TC=C(Q)=8 400-10Q+0.1Q2，MC=-10+0.2Q

當MR=MC時，有190-1.8Q=-10+0.2Q

∴Q=100

因為MRA=120-0.8×100>0，MRB =70-100<0，所以應銷毀部分B產品(若不銷毀則B的價格為20)。當MRB =70-Q=0，Q=70，則銷毀量為100-70=30。

此時

PA=60-0.1×200=40，PB=70-0.5×70=35

TR=10 450，TC=8 400，π=TR-TC=2 050

在盈虧平衡時有TR=TC，

190Q-0.9Q2=8 400-10Q+0.1Q2

解得盈虧平衡時的產量為Q1=140，Q2=60，最佳規(guī)模為Q*=100(MC=MR)，由于沒有稅金，所以最佳規(guī)模與前面所求得的最優(yōu)產量相同。在該最優(yōu)產量水平上銷毀30單位的B產品，此時A、B的價格分別為40單位和35單位。

產量允許增加至140單位，此時A的價格為32單位，由于此時MRB =-70<0，所以應銷毀全部的B產品。此時總成本與總收益都為8 960單位。

產量允許降低至60單位，此時A的價格為48單位，MRB =70-60>0，則B的價格為40單位。此時總收益與總成本均為8 160單位。

同理，在最優(yōu)產量水平上，A、B的價格分別為40單位和35單位;在最大規(guī)模水平上A的價格為32單位，B全部銷毀;在最小規(guī)模水平上A、B的價格分別是48單位和40單位，于是得出A產品的價格允許下降至32單位、上升幅度為48-40=8單位、下降的幅度為40-32=8單位;B產品的價格允許上升至40單位，上升的幅度為40-35=5單位。

用相對量表示，A產品的產量允許升降的幅度為40%，B產品的產量不考慮銷毀問題允許升降的幅度為40%。A的價格允許升降的幅度為20%，B的價格允許上升的幅度為14.3%。

對于盈虧平衡時的相對量表示，則更容易求解了。

5結 論

以上本文僅就企業(yè)按固定比例生產兩種相互關聯(lián)的產品進行了盈虧平衡分析，得出了用產量和價格表示的盈虧平衡點。對于用固定成本、單位可變成本來表示該盈虧平衡點，以及對兩種以上聯(lián)產品的盈虧平衡分析，在此不再深入討論。從上面推導與求解過程來看，確定了最優(yōu)規(guī)模和最優(yōu)規(guī)模所對應的產品價格，同時也分析了最小規(guī)模和最大規(guī)模之間的風險問題，這是企業(yè)生產規(guī)模決策和定價決策的關鍵。另外我們可以根據(jù)前面的思路推導企業(yè)按變動比例生產聯(lián)產品的盈虧平衡問題，以及生產能力有剩余時的盈虧平衡問題，還可以針對價格歧視和壟斷、壟斷競爭和寡頭壟斷等市場結構問題進行盈虧平衡分析。

主要參考文獻

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