劉 教， 孔 祥 娜， 康 樂

(河北工業(yè)大學(xué) 人工智能與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，天津 300401 )

0 引 言

切換正系統(tǒng)是由一組正子系統(tǒng)以及某種邏輯切換法則組成的特殊混雜系統(tǒng)[1]．由于應(yīng)用范圍廣、設(shè)計算法易實現(xiàn)等優(yōu)點，切換正系統(tǒng)成為控制領(lǐng)域研究的熱門課題．具體到實際應(yīng)用中，切換正系統(tǒng)可用來建立人類免疫缺陷病毒突變模型[2]以及刻畫分岔路交通控制系統(tǒng)[3]等．但切換正系統(tǒng)兼具子系統(tǒng)之間切換特性及變量非負(fù)特性使得對其研究非常困難．

其一，子系統(tǒng)之間切換特性對系統(tǒng)穩(wěn)定性分析至關(guān)重要，切換特性的不同導(dǎo)致系統(tǒng)動態(tài)特性存在差異．一般情況下，實際系統(tǒng)需使用多個模態(tài)進行描繪[4]，例如在電路系統(tǒng)中，切換特性更多地體現(xiàn)在開關(guān)處，即切換可能會導(dǎo)致系統(tǒng)模態(tài)的變化，進而導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化．在所研究的切換系統(tǒng)中，構(gòu)造合適的切換策略才能使得整個切換系統(tǒng)穩(wěn)定[5]．

其二，變量非負(fù)特性是切換正系統(tǒng)區(qū)別于普通切換系統(tǒng)的額外性質(zhì)，因此會導(dǎo)致許多現(xiàn)有研究成果過于保守甚至不能直接使用．從20世紀(jì)后期至今，對系統(tǒng)非負(fù)特性的研究從未中斷，生物學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、醫(yī)學(xué)等學(xué)科中均有涉獵，具體可參考文獻[6-9]．與一般切換系統(tǒng)不同，針對切換正系統(tǒng)提出余正Lyapunov函數(shù)方法進行穩(wěn)定性分析，能夠充分利用變量非負(fù)特性，降低保守性．

對于切換正系統(tǒng)穩(wěn)定性分析問題，結(jié)合切換系統(tǒng)理論及正系統(tǒng)理論，通常運用共同余正Lyapunov 函數(shù)和多余正Lyapunov函數(shù)方法進行研究．前者用于系統(tǒng)在任意切換下的穩(wěn)定性分析．但在具體實踐中，不可能總是確保切換系統(tǒng)的所有子系統(tǒng)都漸近穩(wěn)定并共享一個Lyapunov函數(shù)，故此方法研究受約束切換情形具有局限性，轉(zhuǎn)而使用多余正Lyapunov函數(shù)方法更為合理．對多余正Lyapunov函數(shù)方法的具體應(yīng)用可參考文獻[10-11]．

在受約束的切換信號下，切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究主要包括依時間、依狀態(tài)或者兩者兼存在．但在實際應(yīng)用中，依狀態(tài)的切換系統(tǒng)運行成本過高且只適用于狀態(tài)可測量的系統(tǒng)，故而更多的研究是基于依時間的研究上．依時間的切換策略具體為駐留時間、平均駐留時間以及持續(xù)駐留時間．駐留時間策略要求兩個相鄰切換點之間的運行時間大于駐留時間，文獻[12]采用駐留時間策略分析了連續(xù)時間切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性．平均駐留時間策略比駐留時間策略更為普遍，允許系統(tǒng)在必要時快速切換，稍后以低速切換進行補償．文獻[13]應(yīng)用平均駐留時間策略對線性切換系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析．持續(xù)駐留時間策略比駐留時間策略與平均駐留時間策略更具有一般性，將其區(qū)間長度進行某種限制與變化，可得到駐留時間及平均駐留時間策略均為持續(xù)駐留時間策略更為獨特的情形．

已有研究大多假設(shè)所有子系統(tǒng)均穩(wěn)定，但在具體實踐中，系統(tǒng)不可能總是穩(wěn)定的，故含有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)也值得深入研究．文獻[14]首次對含有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換正系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析．但其平均駐留時間策略要求子系統(tǒng)駐留時間的平均值要大于一個特定的下界，這在某些具體實踐應(yīng)用中不易實現(xiàn)．特別是限制其不穩(wěn)定子系統(tǒng)平均駐留時間下界導(dǎo)致結(jié)果比較保守并且不合理，采用持續(xù)駐留時間策略研究含有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)更為合理．

由l2范數(shù)誘導(dǎo)的l2增益性能可描述外部擾動對系統(tǒng)輸出的影響．而對于切換正系統(tǒng)，運用l1范數(shù)誘導(dǎo)的l1增益描述擾動對系統(tǒng)輸出的影響更為合理．例如文獻[15]討論了周期分段切換正系統(tǒng)的穩(wěn)定性和l1增益性能．文獻[16]運用余正Lyapunov函數(shù)方法研究了在駐留時間策略下切換正系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定特性以及l(fā)1增益性能分析．盡管l1增益特征的重要性已經(jīng)被廣泛認(rèn)知，但帶有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換正系統(tǒng)的l1增益相關(guān)研究卻很少被注意到，尤其是運用持續(xù)駐留時間策略，本文有意解決此問題．

受上述討論啟發(fā)，本文研究含有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換正系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定及l(fā)1增益性能問題．利用持續(xù)駐留時間策略對穩(wěn)定子系統(tǒng)與不穩(wěn)定子系統(tǒng)之間的切換關(guān)系進行建模，其中該切換系統(tǒng)的不穩(wěn)定部分允許任意切換．在此基礎(chǔ)上建立使得系統(tǒng)穩(wěn)定的判據(jù)并計算出未加權(quán)的l1增益．

1 問題描述和預(yù)備知識

考慮如下離散時間系統(tǒng)：

(1)

定義1[16]在切換系統(tǒng)(1)中對于任意切換信號σ(k)，給定常值τ與T．若存在大于等于τ的時間間隔且間隔T內(nèi)系統(tǒng)σ(k)取值唯一，連續(xù)兩個這樣的時間間隔被不超過T的間隔分開，則τ稱作持續(xù)駐留時間，而T稱作持續(xù)周期．

注1本文在持續(xù)駐留時間的切換規(guī)則下，時間區(qū)間可分為多個階段，每一個階段包含兩個部分：τ部分和T部分．對切換正系統(tǒng)(1)，穩(wěn)定子系統(tǒng)的運行區(qū)間被看作τ部分，不穩(wěn)定子系統(tǒng)的運行區(qū)間被看作T部分．在T部分內(nèi)允許任意切換但是T部分的長度不會超過常值T．

圖1 持續(xù)駐留時間切換時序圖Fig.1 The sequence diagram of persistent dwell time switching

定義2[17]對于切換系統(tǒng)(1)，在給定的切換信號下如果下述條件成立：

(1)當(dāng)ω(k)≡0時，切換系統(tǒng)(1)全局一致漸近穩(wěn)定；

(2)當(dāng)ω(k)≠0時，在零初始條件下，滿足如下不等式：

(2)

則稱切換系統(tǒng)(1)全局一致漸近穩(wěn)定且具有l(wèi)1增益γ．

2 主要內(nèi)容

本章給出保證含有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換正系統(tǒng)的穩(wěn)定性及l(fā)1增益性能的充分條件，并計算持續(xù)駐留時間切換條件．接下來進行ω(k)≡0時的穩(wěn)定性分析，得到如下定理．

定理1當(dāng)ω(k)≡0時，給定常量μ>1，0<α<1，β>1時，如果存在一組向量νi?0，使得對于?i，j∈M下列不等式滿足

νi-μνj0；i≠j

(3)

(4)

(5)

那么切換系統(tǒng)(1)在持續(xù)駐留時間滿足

(6)

的切換信號下全局一致漸近穩(wěn)定．

證明針對切換系統(tǒng)(1)構(gòu)造多余正Lyapunov 函數(shù)

Vσ(k)(x(k))=xT(k)νσ(k)

(7)

對于?i，j∈M，i≠j，由式(3)以及狀態(tài)非負(fù)性可得，在切換點處，

(8)

Vi(x(k+1))<αVi(x(k))

(9)

Vi(x(k+1))<βVi(x(k))

(10)

考慮τ部分只有一個穩(wěn)定子系統(tǒng)運行，T部分有不穩(wěn)定子系統(tǒng)運行且允許任意切換，結(jié)合式(7)～(10)可得

Vσ(kp+1)(x(kp+1))≤

μTp+1ατpβTpVσ(kp)(x(kp))

因為τp≥τ，Tp≤T，可得

Vσ(kp+1)(x(kp+1))≤ηVσ(kp)(x(kp))

(11)

其中μT+1ατβT=η．由式(11)容易得

Vσ(kp)(x(kp))≤ηpVσ(k0)(x(k0))

(12)

對于?k∈[kp，kp+1)可得

Vσ(k)(x(k))≤ηVσ(kp)(x(kp))≤ηpVσ(k0)(x(k0))

(13)

由于

(14)

(15)

其中ε2=min{νi}，ε1=max{νi}，那么

x(k)≤ληp+1Vσ(k0)(x(k0))

(16)

其中λ=ε1/ε2．根據(jù)定義1，由式(16)得切換系統(tǒng)(1)全局一致漸近穩(wěn)定，定理得證．

注2定理1中，參數(shù)α代表穩(wěn)定子系統(tǒng)的最小穩(wěn)定裕度；參數(shù)β代表所有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的最大不穩(wěn)定度；參數(shù)μ代表切換前后Lyapunov函數(shù)值之間的關(guān)系．在仿真中，首先確定參數(shù)α、β和μ保證定理1中式(3)～(5)成立，進而為了獲得較小的持續(xù)駐留時間對參數(shù)值再進行修正．

注3對于普通系統(tǒng)的穩(wěn)定性可構(gòu)造二次型Lyapunov函數(shù)方法進行研究，即只要滿足Lyapunov 函數(shù)在全狀態(tài)域內(nèi)均收斂就可保證穩(wěn)定性．但對于切換正系統(tǒng)來說，由于狀態(tài)正性約束，僅需要保證Lyapunov函數(shù)在非負(fù)象限的收斂性即可獲得穩(wěn)定性結(jié)果．此時若依然選用二次型Lyapunov函數(shù)會導(dǎo)致結(jié)果的保守性，因此需要尋找新的研究方法體系．本文構(gòu)造余正Lyapunov 函數(shù)，此前關(guān)于二次型Lyapunov函數(shù)方法體系中的線性矩陣不等式等理論均不再適用，這造成切換正系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的困難．

定理2針對切換系統(tǒng)(1)，給定常量μ>1，0<α<1，β>1，如果存在切換向量νi?0，i∈M，γ>0，使得式(3)及下列不等式滿足

(17)

(18)

(19)

那么在持續(xù)駐留時間滿足式(6)的切換信號下切換系統(tǒng)(1)全局一致漸近穩(wěn)定且具有l(wèi)1增益γ1=φγ，其中

證明ω(k)≡0時，若式(17)、(18)成立，則式(4)、(5)成立．通過定理1可得，切換系統(tǒng)(1)全局一致漸近穩(wěn)定．下面考慮ω(k)≠0的情況．對于1≤i≤r，即穩(wěn)定子系統(tǒng)運行時，由式(7)得

(20)

由式(17)、(19)和(20)可得

(21)

采取同樣的方式，對于r+1≤i≤m，即不穩(wěn)定子系統(tǒng)運行時有

(22)

由式(18)、(19)和(22)可得

(23)

Vσ(kp+1)(x(kp+1))≤

因此在零初始條件下，可得

(24)

由τp≥τ，Tp≤T可得(τ-1)(Tp-T)≤0，即

τTp≤Tτ+Tp-T

(25)

假設(shè)[l，k)在p階段，有

(k-l)(Tp+1)(T+τ)=

(k-l)(TpT+Tpτ+T+τ)<

(k-l)(TpT+Tτ+Tp+τ)

(26)

且

(k-l)(T+1)(Tp+τ)=

(k-l)(TpT+Tτ+Tp+τ)

(27)

因此

上式兩邊均除以(Tp+τ)(T+τ)，得

(28)

令ψp[l，k)表示p階段屬于[l，k)中的區(qū)間，因此有

(29)

假設(shè)[l，k)存在n個完整的階段，[l，k)中的切換次數(shù)滿足下述不等式：

(30)

(31)

結(jié)合式(30)、(31)可得

(32)

由式(6)可得

(33)

由式(32)、(33)可得

變換積分區(qū)間得

(34)

運用代數(shù)運算和幾何級數(shù)的求和公式，可得

(35)

其中

綜上所述，根據(jù)定義2，可得切換系統(tǒng)(1)全局一致漸近穩(wěn)定且具有l(wèi)1增益，定理得證．

3 數(shù)值算例

考慮如下3個二階離散切換正系統(tǒng)及對應(yīng)的系數(shù)矩陣：

D1=(0.1 0.3)，D2=(0.4 0.2)，

D3=(0.3 0.3)

G1=(0.2 0.1)，G2=(0.1 0.2)，

G3=(0.1 0.1)

E1=(0.1)，E2=(0.2)，E3=(0.3)

外部擾動選取ω(k)=e-0.1k|sin 0.2k|．由系統(tǒng)參數(shù)知第1個子系統(tǒng)穩(wěn)定，其余系統(tǒng)不穩(wěn)定．選擇參數(shù)α=0.57，β=1.36，μ=1.02，T=6．通過式(6)計算得τ=3.528 7．選取初始值x(0)=(1.2 0.5)且在時間區(qū)間[0，20]內(nèi)切換信號圖如圖2所示，穩(wěn)定子系統(tǒng)區(qū)間大于τ，不穩(wěn)定子系統(tǒng)區(qū)間被限制在T之內(nèi)，符合持續(xù)駐留時間策略．在此切換信號下，切換系統(tǒng)(1)的狀態(tài)軌跡圖如圖3所示，可觀察到系統(tǒng)穩(wěn)定，驗證了定理1的有效性．

圖2 切換信號圖Fig.2 The diagram of switching signal

圖3 狀態(tài)軌跡圖Fig.3 The diagram of state trajectory

存在外部擾動時，系統(tǒng)的l1增益γ1與持續(xù)駐留時間的關(guān)系如圖4所示，容易發(fā)現(xiàn)持續(xù)駐留時間增大時，l1增益呈下降趨勢且有下界．

圖4 l1增益與持續(xù)駐留時間關(guān)系Fig.4 Relationship between l1-gain and persistent dwell time

4 結(jié) 語

本文在持續(xù)駐留時間策略下分析了包括不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換正系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題．相較于駐留時間策略與平均駐留時間策略，持續(xù)駐留時間策略適用范圍更廣．同時，通過多余正Lyapunov函數(shù)方法給出系統(tǒng)全局一致漸近穩(wěn)定的充分條件．其次，通過線性規(guī)劃問題對系統(tǒng)進行增益分析，求解出一個未加權(quán)的l1增益．最后，通過對含有一個穩(wěn)定子系統(tǒng)以及兩個不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)進行仿真，驗證了所采用方法的有效性．