劉 教, 孔 祥 娜, 康 樂
(河北工業(yè)大學(xué) 人工智能與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,天津 300401 )
切換正系統(tǒng)是由一組正子系統(tǒng)以及某種邏輯切換法則組成的特殊混雜系統(tǒng)[1].由于應(yīng)用范圍廣、設(shè)計算法易實現(xiàn)等優(yōu)點,切換正系統(tǒng)成為控制領(lǐng)域研究的熱門課題.具體到實際應(yīng)用中,切換正系統(tǒng)可用來建立人類免疫缺陷病毒突變模型[2]以及刻畫分岔路交通控制系統(tǒng)[3]等.但切換正系統(tǒng)兼具子系統(tǒng)之間切換特性及變量非負(fù)特性使得對其研究非常困難.
其一,子系統(tǒng)之間切換特性對系統(tǒng)穩(wěn)定性分析至關(guān)重要,切換特性的不同導(dǎo)致系統(tǒng)動態(tài)特性存在差異.一般情況下,實際系統(tǒng)需使用多個模態(tài)進行描繪[4],例如在電路系統(tǒng)中,切換特性更多地體現(xiàn)在開關(guān)處,即切換可能會導(dǎo)致系統(tǒng)模態(tài)的變化,進而導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化.在所研究的切換系統(tǒng)中,構(gòu)造合適的切換策略才能使得整個切換系統(tǒng)穩(wěn)定[5].
其二,變量非負(fù)特性是切換正系統(tǒng)區(qū)別于普通切換系統(tǒng)的額外性質(zhì),因此會導(dǎo)致許多現(xiàn)有研究成果過于保守甚至不能直接使用.從20世紀(jì)后期至今,對系統(tǒng)非負(fù)特性的研究從未中斷,生物學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、醫(yī)學(xué)等學(xué)科中均有涉獵,具體可參考文獻[6-9].與一般切換系統(tǒng)不同,針對切換正系統(tǒng)提出余正Lyapunov函數(shù)方法進行穩(wěn)定性分析,能夠充分利用變量非負(fù)特性,降低保守性.
對于切換正系統(tǒng)穩(wěn)定性分析問題,結(jié)合切換系統(tǒng)理論及正系統(tǒng)理論,通常運用共同余正Lyapunov 函數(shù)和多余正Lyapunov函數(shù)方法進行研究.前者用于系統(tǒng)在任意切換下的穩(wěn)定性分析.但在具體實踐中,不可能總是確保切換系統(tǒng)的所有子系統(tǒng)都漸近穩(wěn)定并共享一個Lyapunov函數(shù),故此方法研究受約束切換情形具有局限性,轉(zhuǎn)而使用多余正Lyapunov函數(shù)方法更為合理.對多余正Lyapunov函數(shù)方法的具體應(yīng)用可參考文獻[10-11].
在受約束的切換信號下,切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究主要包括依時間、依狀態(tài)或者兩者兼存在.但在實際應(yīng)用中,依狀態(tài)的切換系統(tǒng)運行成本過高且只適用于狀態(tài)可測量的系統(tǒng),故而更多的研究是基于依時間的研究上.依時間的切換策略具體為駐留時間、平均駐留時間以及持續(xù)駐留時間.駐留時間策略要求兩個相鄰切換點之間的運行時間大于駐留時間,文獻[12]采用駐留時間策略分析了連續(xù)時間切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性.平均駐留時間策略比駐留時間策略更為普遍,允許系統(tǒng)在必要時快速切換,稍后以低速切換進行補償.文獻[13]應(yīng)用平均駐留時間策略對線性切換系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析.持續(xù)駐留時間策略比駐留時間策略與平均駐留時間策略更具有一般性,將其區(qū)間長度進行某種限制與變化,可得到駐留時間及平均駐留時間策略均為持續(xù)駐留時間策略更為獨特的情形.
已有研究大多假設(shè)所有子系統(tǒng)均穩(wěn)定,但在具體實踐中,系統(tǒng)不可能總是穩(wěn)定的,故含有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)也值得深入研究.文獻[14]首次對含有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換正系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析.但其平均駐留時間策略要求子系統(tǒng)駐留時間的平均值要大于一個特定的下界,這在某些具體實踐應(yīng)用中不易實現(xiàn).特別是限制其不穩(wěn)定子系統(tǒng)平均駐留時間下界導(dǎo)致結(jié)果比較保守并且不合理,采用持續(xù)駐留時間策略研究含有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)更為合理.
由l2范數(shù)誘導(dǎo)的l2增益性能可描述外部擾動對系統(tǒng)輸出的影響.而對于切換正系統(tǒng),運用l1范數(shù)誘導(dǎo)的l1增益描述擾動對系統(tǒng)輸出的影響更為合理.例如文獻[15]討論了周期分段切換正系統(tǒng)的穩(wěn)定性和l1增益性能.文獻[16]運用余正Lyapunov函數(shù)方法研究了在駐留時間策略下切換正系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定特性以及l(fā)1增益性能分析.盡管l1增益特征的重要性已經(jīng)被廣泛認(rèn)知,但帶有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換正系統(tǒng)的l1增益相關(guān)研究卻很少被注意到,尤其是運用持續(xù)駐留時間策略,本文有意解決此問題.
受上述討論啟發(fā),本文研究含有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換正系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定及l(fā)1增益性能問題.利用持續(xù)駐留時間策略對穩(wěn)定子系統(tǒng)與不穩(wěn)定子系統(tǒng)之間的切換關(guān)系進行建模,其中該切換系統(tǒng)的不穩(wěn)定部分允許任意切換.在此基礎(chǔ)上建立使得系統(tǒng)穩(wěn)定的判據(jù)并計算出未加權(quán)的l1增益.
考慮如下離散時間系統(tǒng):
(1)
定義1[16]在切換系統(tǒng)(1)中對于任意切換信號σ(k),給定常值τ與T.若存在大于等于τ的時間間隔且間隔T內(nèi)系統(tǒng)σ(k)取值唯一,連續(xù)兩個這樣的時間間隔被不超過T的間隔分開,則τ稱作持續(xù)駐留時間,而T稱作持續(xù)周期.
注1本文在持續(xù)駐留時間的切換規(guī)則下,時間區(qū)間可分為多個階段,每一個階段包含兩個部分:τ部分和T部分.對切換正系統(tǒng)(1),穩(wěn)定子系統(tǒng)的運行區(qū)間被看作τ部分,不穩(wěn)定子系統(tǒng)的運行區(qū)間被看作T部分.在T部分內(nèi)允許任意切換但是T部分的長度不會超過常值T.
圖1 持續(xù)駐留時間切換時序圖Fig.1 The sequence diagram of persistent dwell time switching
定義2[17]對于切換系統(tǒng)(1),在給定的切換信號下如果下述條件成立:
(1)當(dāng)ω(k)≡0時,切換系統(tǒng)(1)全局一致漸近穩(wěn)定;
(2)當(dāng)ω(k)≠0時,在零初始條件下,滿足如下不等式:
(2)
則稱切換系統(tǒng)(1)全局一致漸近穩(wěn)定且具有l(wèi)1增益γ.
本章給出保證含有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換正系統(tǒng)的穩(wěn)定性及l(fā)1增益性能的充分條件,并計算持續(xù)駐留時間切換條件.接下來進行ω(k)≡0時的穩(wěn)定性分析,得到如下定理.
定理1當(dāng)ω(k)≡0時,給定常量μ>1,0<α<1,β>1時,如果存在一組向量νi?0,使得對于?i,j∈M下列不等式滿足
νi-μνj0;i≠j
(3)
(4)
(5)
那么切換系統(tǒng)(1)在持續(xù)駐留時間滿足
(6)
的切換信號下全局一致漸近穩(wěn)定.
證明針對切換系統(tǒng)(1)構(gòu)造多余正Lyapunov 函數(shù)
Vσ(k)(x(k))=xT(k)νσ(k)
(7)
對于?i,j∈M,i≠j,由式(3)以及狀態(tài)非負(fù)性可得,在切換點處,
(8)
Vi(x(k+1))<αVi(x(k))
(9)
Vi(x(k+1))<βVi(x(k))
(10)
考慮τ部分只有一個穩(wěn)定子系統(tǒng)運行,T部分有不穩(wěn)定子系統(tǒng)運行且允許任意切換,結(jié)合式(7)~(10)可得
Vσ(kp+1)(x(kp+1))≤
μTp+1ατpβTpVσ(kp)(x(kp))
因為τp≥τ,Tp≤T,可得
Vσ(kp+1)(x(kp+1))≤ηVσ(kp)(x(kp))
(11)
其中μT+1ατβT=η.由式(11)容易得
Vσ(kp)(x(kp))≤ηpVσ(k0)(x(k0))
(12)
對于?k∈[kp,kp+1)可得
Vσ(k)(x(k))≤ηVσ(kp)(x(kp))≤ηpVσ(k0)(x(k0))
(13)
由于
(14)
(15)
其中ε2=min{νi},ε1=max{νi},那么
x(k)≤ληp+1Vσ(k0)(x(k0))
(16)
其中λ=ε1/ε2.根據(jù)定義1,由式(16)得切換系統(tǒng)(1)全局一致漸近穩(wěn)定,定理得證.
注2定理1中,參數(shù)α代表穩(wěn)定子系統(tǒng)的最小穩(wěn)定裕度;參數(shù)β代表所有不穩(wěn)定子系統(tǒng)的最大不穩(wěn)定度;參數(shù)μ代表切換前后Lyapunov函數(shù)值之間的關(guān)系.在仿真中,首先確定參數(shù)α、β和μ保證定理1中式(3)~(5)成立,進而為了獲得較小的持續(xù)駐留時間對參數(shù)值再進行修正.
注3對于普通系統(tǒng)的穩(wěn)定性可構(gòu)造二次型Lyapunov函數(shù)方法進行研究,即只要滿足Lyapunov 函數(shù)在全狀態(tài)域內(nèi)均收斂就可保證穩(wěn)定性.但對于切換正系統(tǒng)來說,由于狀態(tài)正性約束,僅需要保證Lyapunov函數(shù)在非負(fù)象限的收斂性即可獲得穩(wěn)定性結(jié)果.此時若依然選用二次型Lyapunov函數(shù)會導(dǎo)致結(jié)果的保守性,因此需要尋找新的研究方法體系.本文構(gòu)造余正Lyapunov 函數(shù),此前關(guān)于二次型Lyapunov函數(shù)方法體系中的線性矩陣不等式等理論均不再適用,這造成切換正系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的困難.
定理2針對切換系統(tǒng)(1),給定常量μ>1,0<α<1,β>1,如果存在切換向量νi?0,i∈M,γ>0,使得式(3)及下列不等式滿足
(17)
(18)
(19)
那么在持續(xù)駐留時間滿足式(6)的切換信號下切換系統(tǒng)(1)全局一致漸近穩(wěn)定且具有l(wèi)1增益γ1=φγ,其中
證明ω(k)≡0時,若式(17)、(18)成立,則式(4)、(5)成立.通過定理1可得,切換系統(tǒng)(1)全局一致漸近穩(wěn)定.下面考慮ω(k)≠0的情況.對于1≤i≤r,即穩(wěn)定子系統(tǒng)運行時,由式(7)得
(20)
由式(17)、(19)和(20)可得
(21)
采取同樣的方式,對于r+1≤i≤m,即不穩(wěn)定子系統(tǒng)運行時有
(22)
由式(18)、(19)和(22)可得
(23)
Vσ(kp+1)(x(kp+1))≤
因此在零初始條件下,可得
(24)
由τp≥τ,Tp≤T可得(τ-1)(Tp-T)≤0,即
τTp≤Tτ+Tp-T
(25)
假設(shè)[l,k)在p階段,有
(k-l)(Tp+1)(T+τ)=
(k-l)(TpT+Tpτ+T+τ)<
(k-l)(TpT+Tτ+Tp+τ)
(26)
且
(k-l)(T+1)(Tp+τ)=
(k-l)(TpT+Tτ+Tp+τ)
(27)
因此
上式兩邊均除以(Tp+τ)(T+τ),得
(28)
令ψp[l,k)表示p階段屬于[l,k)中的區(qū)間,因此有
(29)
假設(shè)[l,k)存在n個完整的階段,[l,k)中的切換次數(shù)滿足下述不等式:
(30)
(31)
結(jié)合式(30)、(31)可得
(32)
由式(6)可得
(33)
由式(32)、(33)可得
變換積分區(qū)間得
(34)
運用代數(shù)運算和幾何級數(shù)的求和公式,可得
(35)
其中
綜上所述,根據(jù)定義2,可得切換系統(tǒng)(1)全局一致漸近穩(wěn)定且具有l(wèi)1增益,定理得證.
考慮如下3個二階離散切換正系統(tǒng)及對應(yīng)的系數(shù)矩陣:
D1=(0.1 0.3),D2=(0.4 0.2),
D3=(0.3 0.3)
G1=(0.2 0.1),G2=(0.1 0.2),
G3=(0.1 0.1)
E1=(0.1),E2=(0.2),E3=(0.3)
外部擾動選取ω(k)=e-0.1k|sin 0.2k|.由系統(tǒng)參數(shù)知第1個子系統(tǒng)穩(wěn)定,其余系統(tǒng)不穩(wěn)定.選擇參數(shù)α=0.57,β=1.36,μ=1.02,T=6.通過式(6)計算得τ=3.528 7.選取初始值x(0)=(1.2 0.5)且在時間區(qū)間[0,20]內(nèi)切換信號圖如圖2所示,穩(wěn)定子系統(tǒng)區(qū)間大于τ,不穩(wěn)定子系統(tǒng)區(qū)間被限制在T之內(nèi),符合持續(xù)駐留時間策略.在此切換信號下,切換系統(tǒng)(1)的狀態(tài)軌跡圖如圖3所示,可觀察到系統(tǒng)穩(wěn)定,驗證了定理1的有效性.
圖2 切換信號圖Fig.2 The diagram of switching signal
圖3 狀態(tài)軌跡圖Fig.3 The diagram of state trajectory
存在外部擾動時,系統(tǒng)的l1增益γ1與持續(xù)駐留時間的關(guān)系如圖4所示,容易發(fā)現(xiàn)持續(xù)駐留時間增大時,l1增益呈下降趨勢且有下界.
圖4 l1增益與持續(xù)駐留時間關(guān)系Fig.4 Relationship between l1-gain and persistent dwell time
本文在持續(xù)駐留時間策略下分析了包括不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換正系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.相較于駐留時間策略與平均駐留時間策略,持續(xù)駐留時間策略適用范圍更廣.同時,通過多余正Lyapunov函數(shù)方法給出系統(tǒng)全局一致漸近穩(wěn)定的充分條件.其次,通過線性規(guī)劃問題對系統(tǒng)進行增益分析,求解出一個未加權(quán)的l1增益.最后,通過對含有一個穩(wěn)定子系統(tǒng)以及兩個不穩(wěn)定子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)進行仿真,驗證了所采用方法的有效性.