竇 曉 霞， 李 海 俠

(寶雞文理學院 數學與信息科學學院，陜西 寶雞 721013 )

0 引 言

捕食-食餌模型是生態(tài)學與生物數學的一個重要研究課題，具有豐富的動力學行為，已成為生態(tài)領域研究的核心內容，受到了國內外數學家和生物學家的廣泛關注．生物模型中反應函數的引入提高了有實際背景生物模型的精確度，因此，生物學家和數學家建立并研究了具有不同反應函數的捕食-食餌模型．這些研究包括經典的Holling-Ⅱ型[1-5]、比率依賴型[6-7]、Beddington-DeAngelis型[8]、Crowley-Martin型[9-12]和Ivlev型[13-14]等反應函數．現實中隨著食餌數量的增加，食餌的防御能力也會提高，這對捕食者會起到抑制作用．于是為了模擬這種抑制現象，Andrews提出了Holling-Ⅳ型反應函數．文獻[15]討論了具有簡化Holling-Ⅳ型反應函數的捕食-食餌擴散模型，利用分歧理論得到了正分歧解的存在性和穩(wěn)定性，并通過不動點指數理論給出了正解的存在性．文獻[16]考察了具有Holling-Ⅳ型反應函數的捕食-食餌模型，討論了穩(wěn)態(tài)解的存在性和穩(wěn)定性、倍周期分歧和Neimark-Sacker分歧的存在性和方向．本文主要考慮一類基于比率依賴的簡化Holling-Ⅳ型反應函數的捕食-食餌擴散模型，運用反應擴散方程和非線性泛函分析等理論，通過考察食餌和捕食者的增長率以及捕食者的捕獲率等因素的影響來研究該模型的動力學行為．

1 模型介紹

文獻[17]在齊次Neumann邊界條件下討論了如下比率依賴的Leslie-Gower捕食-食餌模型：

(1)

考慮到捕食者和食餌受空間非均勻分布的影響，本文在Robin邊界條件下研究如下修正Leslie-Gower 捕食-食餌擴散模型：

(2)

從生物學的現實意義上來講，物種是否能夠共存是對生物模型最重要的研究內容之一．因此本文重點討論系統(2)對應的平衡態(tài)系統

(3)

為了得到重要的結論，給出本文需要的預備知識．

令λ1(p)是特征值問題

易知當r>λ1時，如下方程

(4)

存在唯一正解，記為θ(r，a)．而且，θ(r，a)

2 正解的存在性

利用不動點指數理論討論系統(3)正解的存在性．

易知：當r>λ1時，系統(3)存在半平凡解(θ(r，r/k)，0)；當b>λ1時，系統(3)存在半平凡解(0，θ(b，b/c))．簡單起見，記θ(r，r/k)為u*，θ(b，b/c)為v*．

首先，運用特征值的比較原理以及最值原理易得正解存在的必要條件和先驗估計．

引理1若系統(3)存在正解(u，v)，則r>λ1，b>λ1．

□

□

為了計算不動點指數，引入以下記號：

下面在{(u，v)：u≥0，v≥0}上定義函數

定義算子F：D′→W為

這里M是滿足M>max{m/a，b(k+c)/c}的充分大的常數．于是F是緊且連續(xù)可微算子．顯然系統(3)存在非負解當且僅當算子F在D中存在不動點．

接下來運用文獻[21]中的定理1給出算子F在平凡解和半平凡解處的不動點指數．

引理3設r>λ1，b>λ1，則

以及算子Fε為

證明首先證明(0，0)是F在W中的孤立不動點．假設不成立，則存在非負非平凡解Wi=(ui，vi)，使得當i→∞時Wi→(0，0)且(I-F)Wi=0．于是ui、vi滿足

□

最后由引理3并結合不動點指數的可加性可得系統(3)正解存在的充分條件．

則

因此系統(3)至少存在一個正解．

□

3 正解的唯一性和穩(wěn)定性

本章分析參數m對系統(3)正解唯一性和穩(wěn)定性的影響，給出正解唯一且穩(wěn)定的條件．

若r>λ1，b>λ1，則問題

存在唯一正解，記作v*．

2.1 一般資料比較 本研究輔助生育組孕婦140例，孕周：15+0～15+6周 27 例，16+0～16+6周 65 例，17+0～17+6周29例，18+0～18+6周13例，19+0～19+6周6例，年齡（30.73±3.40）歲，體重（56.56±8.43）kg；自然妊娠組孕婦420例，孕周：15+0～15+6周32例，16+0～16+6周178例，17+0～17+6周154例，18+0～18+6周42例，19+0～19+6周14例，年齡（29.32±4.11）歲，體重（54.67±8.55）kg，差異無統計學意義（P＞0.05），具有可比性。

x∈Ω

(5)

(6)

如果ξ?0，則由式(6)可知

矛盾，故ξ≡0．于是

此矛盾說明結論成立．

□

故結合引理4得到系統(3)存在非退化且線性穩(wěn)定的唯一正解．

□

4 半平凡解的穩(wěn)定性和漸近行為

本章通過拋物方程的比較原理探討系統(2)的滅絕性和持久性．首先探討半平凡解(u*，0)和(0，v*)的穩(wěn)定性．

引理5(i)設r>λ1．如果b<λ1，則半平凡解(u*，0)穩(wěn)定；如果b>λ1，則半平凡解(u*，0)不穩(wěn)定．

證明由于(i)和(ii)的證明類似，因此只證明(ii)．考慮系統(3)在(0，v*)處的線性化特征值問題：

(7)

□

其次給出系統(2)滅絕的充分條件．

定理3設(u，v)是系統(2)的正解．如果r≤λ1，b>λ1，則當t→∞時，(u，v)→(0，v*)．

證明因為

由比較原理得，當t→∞時，u(x，t)→0．令是充分小的正常數，則存在T≥0使得所有t>T有u(x，t)<．由系統(2)的第二個方程得

于是

(8)

又由系統(2)的第二個方程得

再由比較原理有

(9)

□

最后給出系統(2)的持久性條件．

(10)

和方程

(11)

(12)

v(x，t)≤v*+

(13)

另一方面，由系統(2)有

根據比較原理可得

于是存在T″≥0使得對于所有的t>T″，有

(14)

設T*=max {T，T′，T″}，則對所有的t>T*，有

□

5 結 語