等比數(shù)列是數(shù)列中的重點(diǎn)，因此對(duì)等比數(shù)列的學(xué)習(xí)研究是我們學(xué)好數(shù)列這一章的關(guān)鍵之處。下面就我在教學(xué)中對(duì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的幾種推導(dǎo)方法整理出來(lái)，與大家共同探討商榷。

【問(wèn)題】已知數(shù)列{an｝為等比數(shù)列，公比為q，Sn=a1+a2+a3+…+an。求證:Sn=

[證法一] 當(dāng)q=1時(shí)，a1=a2=…=an，∴Sn=na1

當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1⑴

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn⑵

⑴-⑵得:(1-q)Sn=a1-a1qn，∴Sn=

這種方法叫錯(cuò)位相減法。在教學(xué)過(guò)程中學(xué)生不會(huì)輕易想到用公比乘以和式，課本上用此方法比較突然，學(xué)生不易接受。

[證法二]當(dāng)q=1時(shí)，證法同上。

當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2)=a1+qSn-1，又∵Sn=Sn-1+an，∴Sn-1+an=a1+qSn-1

∴Sn-1 =，∴Sn=

這種方法的前提是讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)列的遞推公式Sn=Sn-1+an。

[證法三] 當(dāng)q=1時(shí)，證法同上。

當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1q2…+a1qn-2)=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2+a1qn-1)-a1qn=a1+qSn-a1qn

∴Sn(1-q)=a1-a1qn，∴Sn=

這種方法通過(guò)對(duì)和式進(jìn)行觀察，很容易看出在和式中可以再構(gòu)造出Sn，從而很容易推導(dǎo)，顯得水到渠成，順理成章，學(xué)生也樂(lè)意接受。

總之，在教學(xué)中重點(diǎn)要在知識(shí)的理解上下功夫，多思考，多研究。只有讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與到教學(xué)中，才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，從而解決問(wèn)題。

(作者單位:甘肅省武威第十五中學(xué))