何永鋒 潘學(xué)琴

摘要:本文對大學(xué)物理學(xué)中“勢”的概念與高等數(shù)學(xué)中其原函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了較詳細(xì)的分析,得出這樣的結(jié)論:通過對某些物理公式“摘除”其具體物理含義,并將其與高等數(shù)學(xué)中具有普遍意義的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行對比、分析,我們能夠更加深刻地理解物理公式的含義。

關(guān)鍵詞:勢函數(shù);原函數(shù);零點(diǎn);積分上限;積分下限

中圖分類號(hào):G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1003-6148(2009)11(S)-0078-2

數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)和研究物理學(xué)的重要工具,運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題是大學(xué)物理教學(xué)中的重要環(huán)節(jié),善于利用數(shù)學(xué)分析方法,能夠更好地理解物理公式的含義。

首先,切莫淡化物理公式中變量的物理含義,而過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)關(guān)系。學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的過程中,往往撇開公式的物理意義,忘記公式所表達(dá)的物理現(xiàn)象之間的因果關(guān)系,容易造成錯(cuò)誤。如電磁學(xué)中的場強(qiáng)公式:

E=F鯭(1)

學(xué)生們往往會(huì)從公式的數(shù)學(xué)形式上得出結(jié)論:E穌比于F齷蚍幢扔赒。事實(shí)上,方程左端代表一物理事實(shí),而右邊代表一種定義的方法(測定方法),描述的是這樣一個(gè)事實(shí):將電量為Q的點(diǎn)電荷放在待測電場中時(shí),受到的電場力為F,并不存在E穌比于F齷蚍幢扔赒的問題?？朔@種思維偏差的主要措施,一是要強(qiáng)調(diào)公式的物理意義,理解公式所描述的物理現(xiàn)象與物理事實(shí)之間的因果關(guān)系、決定關(guān)系。二是要明確公式的來龍去脈,增強(qiáng)公式的物理色彩,突出對其物理意義的分析。

然而有一些物理公式,在保持其物理色彩的前提下,強(qiáng)調(diào)其數(shù)學(xué)本質(zhì),有時(shí)甚至過分地強(qiáng)調(diào)。實(shí)踐證明,對于初學(xué)者來說,強(qiáng)調(diào)其數(shù)學(xué)本質(zhì)可以幫助其更加深刻地理解物理公式的本質(zhì)含義。

例如,大學(xué)物理中有關(guān)“勢”函數(shù)的概念,與高等數(shù)學(xué)中“原”函數(shù)概念,有著對應(yīng)關(guān)系。所以,在講授“勢”概念時(shí),將其還原回到數(shù)學(xué)公式,利用掌握的微積分知識(shí),可以澄清一些容易出錯(cuò)的概念。

高等數(shù)學(xué)知識(shí)告訴我們,如果一個(gè)函數(shù)f(x)有原函數(shù)F(x),則由牛頓-萊布尼茨公式可得到:

∫瑇﹛0猣(x)dx=∫瑇﹛0猟F(x)=F(x)-F(x0)(2)

x、x0分別為積分上、下限,且在同一數(shù)軸上,在學(xué)習(xí)“勢”概念之前,學(xué)生對這一公式應(yīng)該有了較深刻的理解。

靜電場中“電勢”φ(r)是這樣定義的:

φ(r)-φ(r0)=∫﹔0璻E(r)?dr(3)

公式(3)帶著明顯物理含義,與具有普遍意義的積分公式(2)有著一定的差別。顯然,這種差別是表面上的,式中E鑫電場強(qiáng)度,r0、r分別為積分上、下限,且上限r(nóng)0一般定義為電勢的“零點(diǎn)”。

為了更好地理解這些變化的含義以及場強(qiáng)與電勢之間的關(guān)系,將(3)式形式地還原為數(shù)學(xué)形式:

φ(r)-φ(r0)=∫瑀﹔0猟φ(r)=∫﹔0璻E(r)?dr=-∫瑀﹔0(E?dr )(4)

可以得到:

dφ=-E?dr=-dW(5)

我們一般定義電勢的改變量為電勢能增量的負(fù)值,之所以這樣定義,從數(shù)學(xué)公式角度考察,“故意”將積分上下限顛倒,必然會(huì)得到這種結(jié)果;從物理含義角度來考察,之所以將上下限顛倒,是為了迎合物理習(xí)慣:一般情況下,保守力做功導(dǎo)致勢能的減少,而數(shù)學(xué)只采用末態(tài)值減去初態(tài)值的方式來描述積分過程。

從(4)式還可以看出,積分變量不再局限于某一坐標(biāo)軸上變化,可以是描述數(shù)量變化的任何變量。在力學(xué)、電磁學(xué)中,它通常是三維空間位置向量的大小。

從上述對比、分析過程不僅可以更加深刻地理解保守力做功的含義,而且有關(guān)“零點(diǎn)”定義的含義也搞清楚了。如果將上限r(nóng)0處定義為零點(diǎn),則任意點(diǎn)處電勢為:

φ(r)-φ(r0)|=0=∫瑀﹔0-(E?dr)=∫瑀﹔0猟φ(r)=φ(r)-φ(r0)(6)

值得注意的是,方程左端的φ(r0)=0,是“人為”的,是我們定義的零點(diǎn),明顯具有物理含義,而方程右端的φ(r)、φ(r0) ,取具體的數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果(真實(shí)結(jié)果),φ(r0)不見得取“零”值。從式(6)亦可以看出,如果沒有人為地將方程左端的φ(r0)設(shè)定為φ(r0)=0,那么,必須將r處真實(shí)值φ(r)修正為φ(r)-φ(r0)。

一般將有限帶電體無窮遠(yuǎn)處定義為電勢零點(diǎn),即有:

φ(r)=∫∞璻E?dr=∫瑀∞dφ(r)=φ(r)-φ(∞)(7)

一般情況下,有限帶電體的φ(∞)=0,與左端“人為”定義的結(jié)果相同(巧合),故有:

φ(r)=∫∞璻E(r)?dr(8)

初學(xué)者通常會(huì)將上式牢記在心, 并且習(xí)慣于解決無窮遠(yuǎn)處電勢零點(diǎn)問題, 而容易把(6)、(7)式忽略,忽略的后果是,當(dāng)遇到變換零點(diǎn)問題時(shí),往往無計(jì)可施。例如,如果問題中涉及將零點(diǎn)定義在某有限距離r0處時(shí),只要清楚“人為”的、“數(shù)學(xué)”的零點(diǎn)的含義,很自然地會(huì)利用(6)式來求任意點(diǎn)r處的電勢。例如,任意點(diǎn)r處點(diǎn)電荷Q的電勢φ(r),可以直接寫為:

φ(r)=∫瑀﹔0-(E?dr)=∫瑀﹔0猟φ(r)=∫瑀﹔0猟(Q4πε0r)=Q4πε0(1r-1r0)(9)

顯然,若生硬照搬公式,則(8)式愛莫能助。

總之,有些物理公式,可以通過將其數(shù)學(xué)化,來加深對其物理含義的理解。這樣,將有助于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法描述物理問題的能力,真正建立起物理上的數(shù)量關(guān)系的能力,增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí),提高運(yùn)用數(shù)學(xué)工具的能力。

參考文獻(xiàn)

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[3]沈永歡等. 實(shí)用數(shù)學(xué)手冊[M]. 北京:科學(xué)出版社, 2004:175-200.

(欄目編輯張正嚴(yán))