丁 川，韓立波 (長江大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

具有小延時反饋的邏輯生長過程中的穩(wěn)態(tài)概率與極值分布

丁 川，韓立波 (長江大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

應(yīng)用小延時近似方法，研究了關(guān)聯(lián)高斯白噪聲誘導(dǎo)的具有延時反饋的邏輯生長過程，得到了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率分布，分析了延時對穩(wěn)態(tài)概率分布的影響，并對理論分析的結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值模擬比較。在參數(shù)空間中確定了穩(wěn)態(tài)概率的極值區(qū)域，研究了延時對極值區(qū)域分布的影響。研究結(jié)果表明，延時反饋可以導(dǎo)致類相變現(xiàn)象的產(chǎn)生。

邏輯生長模型； 關(guān)聯(lián)噪聲； 延時反饋；穩(wěn)態(tài)概率；極值

噪聲對非線型系統(tǒng)的影響，是當(dāng)前隨機(jī)過程理論研究的重要課題。邏輯生長模型是一個典型的非線性系統(tǒng)，在生物學(xué)、遺傳學(xué)、化學(xué)反應(yīng)、人口動力學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用。特別地，邏輯生長模型可以對腫瘤細(xì)胞的生長過程進(jìn)行很好的描述[1～3]。另外，由于物質(zhì)、能量和信息的有限傳播速度，延時反饋被引入到系統(tǒng)中[4]。近年來，F(xiàn)rank[5,6]提出了小延時近似的?？?普朗克描述方法，用以直接解決隨機(jī)延時微分方程。筆者在小延時條件下，研究了被關(guān)聯(lián)白噪聲誘導(dǎo)的具有延時反饋的隨機(jī)系統(tǒng)，并將其應(yīng)用于具有延時的邏輯生長過程，對延時邏輯生長過程的穩(wěn)態(tài)概率分布進(jìn)行了理論分析和數(shù)值模擬。通過數(shù)值分析方法，確定了穩(wěn)態(tài)概率分布的極值分布區(qū)域，并研究了延時對極值分布區(qū)域的影響。

1 模型及系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率分布

關(guān)聯(lián)噪聲誘導(dǎo)的含有延時反饋的隨機(jī)微分方程具有以下形式：

(1)

式中，f(x(t))為外場；x=x(t)，xτ=x(t-τ)分別表示在t時刻和t-τ時刻變量x的值；τ為時間延遲；g1(x(t))、g2(x(t))為噪聲系數(shù)；ξ(t)和η(t)是高斯型白噪聲，滿足以下統(tǒng)計規(guī)律：

lt;ξ(t)gt;=lt;η(t)gt;=0 lt;ξ(t)ξ(t′)gt;=2Qδ(t-t′)

(2)

式中，Q和D分別是噪聲ξ(t)和η(t)的強(qiáng)度；-1lt;λlt;1是ξ(t)和η(t)間的關(guān)聯(lián)系數(shù)。

式(1)和式(2)可以轉(zhuǎn)化為等效的隨機(jī)微分方程：

(3)

lt;Γ(t)Γ(t′)gt;=2δ(t-t′)

(4)

與式(3)等效的Ito形式[2]為：

dx(t)=F(x(t),x(t-τ))dt+G(x(t))dW(t)

(5)

應(yīng)用小延時近似，式(5)可以轉(zhuǎn)化為：

dx=Fa(x)dt+Ga(x)dW

(6)

(7)

由式(6)可以得到變量x的穩(wěn)態(tài)概率分布：

(8)

式中，N為歸一化常數(shù)。

具有延時反饋的邏輯生長過程的隨機(jī)微分方程[4,5]滿足：

(9)

其中，a和b為大于0的系數(shù)。

對比式(1)和式(9)有：

f(x,xτ)=[a-bxτ]xg1(x)=xg2(x)=1

由式(4)和式(7)，可以得到：

與式(9)相應(yīng)的近似穩(wěn)態(tài)概率分布為：

穩(wěn)態(tài)概率分布Pst(x)的極值由方程：

決定。極值點位于：

極值的數(shù)目由：

決定。在λlt;0區(qū)域內(nèi)，穩(wěn)態(tài)概率分布僅存在單一極值，該極值為極大值；在λgt;0區(qū)域內(nèi)，當(dāng)Δ=0時，穩(wěn)態(tài)分布具有單極值，Δgt;0時，分布具有雙極值，一個極大和一個極小，Δlt;0時，分布無極值情況。

2 延時反饋對穩(wěn)態(tài)概率分布和極值區(qū)的影響

圖1 不同延時條件下穩(wěn)態(tài)概率分布Pst(x)隨x的變化關(guān)系曲線

在不同延時條件下，穩(wěn)態(tài)概率分布隨變量x的變化關(guān)系曲線由圖1所示，圖1中同時給出了相應(yīng)的數(shù)值模擬。由圖可知，在給定的參數(shù)條件下，當(dāng)τ=0.1時，曲線存在一個明顯的極大值，極小值幾乎靠近x=0。當(dāng)τ增加到τ=1.0時，峰和谷的位置相互靠近，顯示出明顯的雙極值結(jié)構(gòu)特征。當(dāng)τ增加到τ=2.0時，極大值和極小值均消失，曲線成為單調(diào)變化。圖中還顯示，在小延時條件下，數(shù)值模擬與解析分析的結(jié)果完全符合。

應(yīng)用數(shù)值計算技術(shù)，穩(wěn)態(tài)概率分布在參數(shù)空間(Q-λ)和(Q-D)中的極值分布區(qū)域繪于圖2。區(qū)域符號“T”表示該區(qū)域具有2個極值，“N”表示該區(qū)域不存在極值。曲線為區(qū)域的分界線，即由無極值結(jié)構(gòu)向雙極值結(jié)構(gòu)發(fā)生轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化線。由圖2(a)可知，在Q-λ空間中，隨著延時τ增加，分界線整體向下移動，雙極值區(qū)域減小。由圖2(b)可知，分界線向左移動，曲線斜率出現(xiàn)明顯變化。

根據(jù)以上分析可知，在由關(guān)聯(lián)高斯型白噪聲誘導(dǎo)的延時邏輯生長過程中，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率分布會受到延時反饋的影響，當(dāng)延時 發(fā)生改變時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率分布曲線的結(jié)構(gòu)可以發(fā)生轉(zhuǎn)換，即從無極值結(jié)構(gòu)變化到雙極值結(jié)構(gòu)，這表明，延時反饋也可以導(dǎo)致類相變現(xiàn)象的產(chǎn)生。

圖2 穩(wěn)態(tài)概率分布在參數(shù)空間中的極值分布區(qū)

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[編輯] 洪云飛

O415.6

A

1673-1409(2009)02-N026-03

2009-02-19

湖北省教育廳重大項目(Z200612001)。

丁川(1982-)，男，2004年大學(xué)畢業(yè)，碩士生，現(xiàn)主要從事理論物理方面的研究工作。