史玉英 (商丘師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南 商丘 476000)

不確定非線性時(shí)滯系統(tǒng)的正實(shí)控制分析

史玉英 (商丘師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南 商丘 476000)

通過(guò)構(gòu)造 Lyapunov 泛函,利用矩陣不等式方法對(duì)非線性時(shí)滯系統(tǒng)的正實(shí)性進(jìn)行分析和研究,得到系統(tǒng)嚴(yán)格正實(shí)的充分條件。這些條件最終都可以轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式(LMI，linear matrix inequaty)的形式, 可用MATLAB中的LMI工具箱求解。

時(shí)滯系統(tǒng);不確定性; 正實(shí)控制；LMI

正實(shí)控制是電路和系統(tǒng)理論中一個(gè)基本性質(zhì)，它在系統(tǒng)和控制理論中有關(guān)穩(wěn)定性分析、超穩(wěn)定性、二次型最優(yōu)、系統(tǒng)的穩(wěn)定實(shí)現(xiàn)等方面都有重要的應(yīng)用。所謂正實(shí)控制問(wèn)題是指對(duì)于一個(gè)給定的對(duì)象，構(gòu)造內(nèi)穩(wěn)控制器使閉環(huán)系統(tǒng)正實(shí)[1～4]。文獻(xiàn)[5,6]討論了線性連續(xù)系統(tǒng)的正實(shí)性。文獻(xiàn)[7,8]研究了線性離散系統(tǒng)的正實(shí)控制。而對(duì)于非線性時(shí)滯系統(tǒng)的正實(shí)控制目前研究還不多。筆者就非線性系統(tǒng)的正實(shí)性進(jìn)行研究，給出其具有正實(shí)性的充分條件。

1 預(yù)備知識(shí)

記號(hào)說(shuō)明如下：Alt;0表示為A負(fù)定矩陣；BT表示矩陣B的轉(zhuǎn)置；*表示對(duì)稱矩陣的主對(duì)角線以上塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣；I表示適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣；‖·‖為歐式范數(shù)；L2[0,+∞)表示[0,∞)上平方可積空間。考慮以下非線性不確定時(shí)滯系統(tǒng)：

(1)

式中，x(t)∈Rn是狀態(tài)向量；w(t)∈Rp是控制輸入；z(t)∈Rq是被調(diào)輸出；A,Ad，B,Bw,C,Cd,D,Dw是已知適當(dāng)維數(shù)的矩陣；φ(t)是連續(xù)初始向量值函數(shù)；d(t)是滯后時(shí)間函數(shù)且滿足:

(2)

式中，τ，μ是常數(shù)；f(x(t),t),g(x(t-d(t)),t)是未知時(shí)變非線性函數(shù)，表示系統(tǒng)的不確定性，且分別滿足:

‖f(x(t),t)‖≤α‖x(t)‖

(3)

‖g(x(t-d(t)),t)‖≤β‖x(t-d(t))‖

(4)

定義1[9]u(t)=0時(shí)系統(tǒng)Σ0稱為正實(shí)的，如果以下條件成立:

定義2[9]u(t)=0時(shí)系統(tǒng)Σ0稱為嚴(yán)格正實(shí)的，如果它是正實(shí)的，且以下條件成立:

引理1[10]對(duì)給定的常數(shù)αgt;0,βgt;0，如果存在標(biāo)量ε1gt;0,ε2gt;0,ξgt;0,ηgt;0和對(duì)稱正定矩陣P,Q,Q1,Q2，則有：

其中：

L1=[τPAd,τPAd,τPAd,τPAd]L2=[P,P]

J1=diag{Q1,Q2,ξI,ηI}J2=diag{ε1I,ε2I}

則系統(tǒng)(1)魯棒漸近穩(wěn)定。

引理2[11]對(duì)于向量x,y∈Rn及對(duì)稱正定矩陣P∈Rn×n有:

2xTy≤xTPx+yTPy

特別地

2xTy≤ε-1xTx+εyTy

2 主要結(jié)論及其證明

(5)

L1=[τPAd,τPAd,τPAd,τPAd,τPAd]L2=[P,P,P]

J1=diag{Q1,Q2,Q3,ξI,ηI}J2=diag{ε1I,ε2I,R}

則在u(t)≡0時(shí)系統(tǒng)Σ0漸近穩(wěn)定且嚴(yán)格正實(shí)。

證明根據(jù)式(5)，由引理1知系統(tǒng)Σ0在u(t)≡0時(shí)穩(wěn)定。構(gòu)造Lyapunov函數(shù):

其中，P1，P2，Q3為待定的對(duì)稱正定矩陣。

由牛頓-萊布尼茲公式知：

將式(6)代入式(1)得:

則沿式(7) 的任意軌線，有:

由引理2，進(jìn)一步可得:

其中：

令：

從而:

其中：

設(shè)Hamiltonian方程為:

則:

其中:

用Q1,Q2,Q3,ξ,η分別代替τQ1,τQ2,τQ3,τξ,τη，由矩陣的Shur-補(bǔ)性質(zhì)知:

等價(jià)于式(5)成立，且由此得:

所以在u(t)≡0時(shí)系統(tǒng)Σ0嚴(yán)格正實(shí)。

下面對(duì)系統(tǒng)Σ0設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器u(t)≡Kx(t)，使其閉環(huán)系統(tǒng)Σ1嚴(yán)格正實(shí)。

關(guān)于系統(tǒng)Σ1的嚴(yán)格正實(shí)性，有如下結(jié)論。

(8)

則系統(tǒng)Σ1漸近穩(wěn)定且嚴(yán)格正實(shí)。

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[編輯] 洪云飛

O231.2

A

1673-1409(2009)02-N010-04

2009-03-27

史玉英(1980-)，女，2004年大學(xué)畢業(yè)，碩士，助教，現(xiàn)主要從事控制理論方面的研究工作。