艾莉萍 (長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

一種改進(jìn)的二階半隱式時(shí)間離散格式及穩(wěn)定性分析

艾莉萍 (長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

對(duì)二階半隱式時(shí)間的離散格式進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種可使用較大時(shí)間步長(zhǎng)的高穩(wěn)定性格式，并對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。研究結(jié)果表明，在經(jīng)典逼近格式上增加一個(gè)與時(shí)間離散格式階數(shù)相一致的項(xiàng)可以明顯增強(qiáng)計(jì)算的穩(wěn)定性。

二階半隱式時(shí)間離散格式；時(shí)間步長(zhǎng)；穩(wěn)定性

分子束外延(Molecular Beam Epitaxy，MBE)是一種新的晶體生長(zhǎng)技術(shù)[1]。筆者討論的MBE模型如下：

ht=-δΔ2h-((1-|hx|2)hx)x-((1-|hy|2)hy)y(x,t)∈Ω×(0,T]

(1)

為在數(shù)值模擬的過(guò)程中使用較大步長(zhǎng)，筆者在現(xiàn)有的二階半離散格式的基礎(chǔ)上[2,3]加以改進(jìn)，給出了高穩(wěn)定性的二次曲面形式的二階方法。

1 二階半隱式時(shí)間離散格式

由MBE模型(1)可得如下經(jīng)典二階半隱式時(shí)間離散格式：

(2)

式中，hn≡hn(x)是h(x,t)在t=tn的逼近；h0(x)由初始條件給出；h1(x)則由一階方法：

(3)

計(jì)算得到。

2 改 進(jìn)

2.1改進(jìn)的迭代格式

在經(jīng)典二階半隱式時(shí)間離散格式中，當(dāng)δ較小時(shí)不能使用較大的時(shí)間步長(zhǎng)。為提高計(jì)算的穩(wěn)定性，可以構(gòu)造如下形式的二階半隱式時(shí)間離散格式：

(4)

為方便迭代，將式(4)改寫(xiě)為：

式中，A是一個(gè)正數(shù)。與經(jīng)典迭代格式相似，h0(x)由初始條件給出，h1(x)由改進(jìn)的一階方法：

(6)

計(jì)算得到。

2.2穩(wěn)定性分析

為研究算法穩(wěn)定性，需使用離散能量估計(jì)。

引理1[1]若h(x,t)是模型(1)的解，則有如下能量等式成立：

(7)

(8)

式中，‖·‖是Ω上的標(biāo)準(zhǔn)L2范數(shù)；‖·‖Lp則是標(biāo)準(zhǔn)Lp范數(shù)，且：

(9)

定理1若式(5)中的常數(shù)A足夠大，則有：

(10)

(11)

更進(jìn)一步還可以得到：

E1(hn)≤E1(h1)+O(Δt)

(12)

式中，E1(h1)由式(9)定義。若式(5)的數(shù)值解是收斂的，則在選擇A時(shí)只需使其滿(mǎn)足:

(13)

即可，其中，h(x,t)是模型(1)的解。

證明為表述簡(jiǎn)便，記δthn=hn+1-hn，δtthn=hn+1-2hn+hn-1，則有：

即有：

由以上分析可知：

綜上所述，有：

同時(shí)成立時(shí)，式(10)成立。又由E1的定義式，可得式(12)。

[2]Xu Chuanju, Tang Tao.Stability analysis of large time-stepping methods for epitaxial growth models[J]. SIAM J Numer Anal,2006,(44):1759～1779.

[3]艾莉萍.Cahn-Hilliard方程的大時(shí)間步長(zhǎng)方法的穩(wěn)定性分析[D].廈門(mén)：廈門(mén)大學(xué)，2006.

[編輯] 洪云飛

O241.82

A

1673-1409(2009)02-N007-03

2009-02-23

艾莉萍(1983-)，女，2003年大學(xué)畢業(yè)，碩士，助教，現(xiàn)主要從事偏微分方程數(shù)值解方面的教學(xué)與研究工作。