段學(xué)強(qiáng)　羅班強(qiáng)

過(guò)兩點(diǎn)P1(X1,Y1) P2(X2,Y2)的直線的斜率K=y₂-y₁x₂-x1,這一公式在直線方程中是非常基礎(chǔ)和重要的,因?yàn)橹本€方程的幾種形式是在它的基礎(chǔ)上推導(dǎo)而來(lái)的,因此,師生們對(duì)這個(gè)公式非常熟悉,但卻忽視了它在解題中的作用。在解題中運(yùn)用這個(gè)公式,有時(shí)會(huì)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程,優(yōu)化解題方法,提高解題速度。本文就公式解題應(yīng)用中的幾個(gè)方面進(jìn)行探討:

1.在解決與共線有關(guān)的問(wèn)題中的應(yīng)用

例1)過(guò)點(diǎn)P(2,0)的所有直線中,通過(guò)兩個(gè)不同的有理點(diǎn)(兩點(diǎn)的坐標(biāo)均為有理數(shù))的直線的條數(shù)是()。

A.有且僅有一條 B.至少有兩條 C.有無(wú)窮多條 D.不存在這樣的直線

解 ∵P(2,0)在X軸上,故X軸是符合條件的直線。設(shè)存在另一條直線過(guò)兩個(gè)不同的有理點(diǎn)P1(a1,b1) P2(a2,b2) 在同一直線上,則K㏄1P=b1a1-2=K㏄1P2=b2-b1a2-a1 ∈Q∴b1k1p2=(a1-2)∈Q,2=(a1-b1k1p2)∈Q,這與2無(wú)理數(shù)矛盾,選A。

例2)如圖,在橢圓 x2a2+y2b2=1上任一點(diǎn)M,M與短軸兩端點(diǎn)B1B2 連線交X軸于N,K,

求證:︳0N ︳? ︳0K ︳為定值。

證明:設(shè)K點(diǎn)坐標(biāo)(X璌,0)N點(diǎn)

坐標(biāo)(X璑,0),M的參數(shù)坐標(biāo)為(acosθ,bsinθ)由橢圓方程B1(0,-b)B2(0,b), ∵B1、N、M在同一直線上,∴KB1M+KB1N即=bsinθ-(-b)acosθ-0=0-(-b)X璑-0, X璶=acosθ1+sinθ,又∵B2、M、K在同一直線上,由KB2M+KB2K同理可得X璌=acosθ1-sinθ,∴ ︳0 K ︳? ︳0 N︳=︳X璶 ? X璳 ︳=︳acosθ1+sinθ?︳acos θ1-sinθ=a2。和共線有關(guān)的這一類問(wèn)題,經(jīng)常利用斜率相等作為解題的突破口,而斜率相等是由K= y₂-y₁x₂-x1來(lái)實(shí)現(xiàn)的,由此可列出有關(guān)的計(jì)算式。

2.在有關(guān)求軌跡問(wèn)題中的應(yīng)用

2.1求平行弦中點(diǎn)軌跡中的應(yīng)用

(例3)求斜率為1的圓x2+y2=4的一組平行弦的中點(diǎn)軌跡。

解:設(shè)弦的兩端點(diǎn)A(x1,y₁)B(x₂,y₂),AB的中點(diǎn)為M(x,y),則x=x1+x₂2?y=y₁+y₂2 ?！哂諥、B在圓上

∴x1²+y₁²=4 ①

x₂2+y₂2=4②,①-②得:(x1+x₂)(x1-x₂)+(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0變形:y₁-y₂x1-x₂=x1+x₂y₁+y₂ 。由已知條件K=1=y₁-y₂x1-x₂∴yx=-1即y=-x,

所以軌跡是圓的弦的中點(diǎn),故平行弦中點(diǎn)軌跡是y=-x在圓內(nèi)的一段。

2.2求過(guò)定點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡的應(yīng)用

例4求拋物線y2=4x的經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的轉(zhuǎn)跡方程。

解:設(shè)弦端點(diǎn)為A(x1,y₁)B(x₂,y₂),AB的中點(diǎn)為M(x,y),則2x= x1+ x₂,2瓂=y₁+y₂.又 ∵A、B在拋物線上,∴y₁²=4x1① ,②-①得:(y₂-y₁)y₂1=4x₂ ②

(y₂+y₁)=4(x₂-x1)∴y₂-y₁x₂-x1=4y₁+y₂=42y=2y∴K〢B=K㎝F=yx-1∴yx-1=2y化簡(jiǎn):y2=2(x-1)即為所求的軌跡方程。

這一類問(wèn)題,在設(shè)出弦的端點(diǎn)后,代入曲線方程,利用作差法,將K=y₁-y₂x1-x₂作為整體進(jìn)行代換,可以大大減少算量,優(yōu)化解題目的過(guò)程,提高解題的速度。

3.在解決軸對(duì)稱問(wèn)題中的應(yīng)用

解決軸對(duì)稱問(wèn)題的基本思路是利用對(duì)稱的特點(diǎn):對(duì)稱點(diǎn)的聯(lián)線被對(duì)稱軸垂直平分。而其中的垂直經(jīng)常由斜率體現(xiàn)出來(lái),對(duì)稱點(diǎn)聯(lián)線的斜率是分式K=y₂-y₁x₂-x₁給出的。

(例5)橢圓C:(x+5)29+(y-4)216=1關(guān)于直線x-y+3=0對(duì)稱的橢圓C,的方程。

解設(shè)橢圓C′上任一點(diǎn)A′(x′,y′),A′關(guān)于直線x-y+3=0對(duì)稱點(diǎn)A(x0,y0),則A一定在橢圓C上,由于A′A關(guān)于直線x-y+3=0對(duì)稱,∴y0-y′x0-x′=-1,AA′中點(diǎn)M(x0+x′2,y0+y′2 )在直線x-y+3=0上,∴x0+x′2,y0+y′2+3=0,由此得方程組:y0-y′x0-x′x0+x′2-y0+y′2+3=0

解之:x0=y′-3

x0=x′+3

由于點(diǎn)(x0y0)在橢圓上,代入橢圓方程得C′方程為:y+229+(x-1)216 =1。

對(duì)稱軸曲線方程的常用方法是代點(diǎn)法,實(shí)現(xiàn)代點(diǎn)法的一個(gè)基本條件是由斜率公式K=y₂-y₁x₂-x1來(lái)完成的。

4.在求最值或值域中的應(yīng)用。

例6)求函數(shù)y=3sinx-14cosx-6的值域。

解:由斜率公式K=y₂-y₁x₂-x1可知,函數(shù)y=3sinx-14cosx-6的值域可以看成是過(guò)點(diǎn)(6,1)與點(diǎn)(4cosx,3sinx)連線的斜率的取值范圍,而點(diǎn)(4cosx,3sinx)有橢圓。如圖,直線1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到1′時(shí)的斜率的范圍即或所求。由此,只須求1用1′的斜率即可,設(shè)方程為y-1=k(x-6)直線與橢圓相切,故方程y-1=k(x-6)x216+y29=1

得(9+16k2)x2+32(k-6k2)x+64(9k2-3k-2)=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,由△=0,得K1=-25,K2=1故原函數(shù)的值域?yàn)閇25,1]。

這一類問(wèn)題經(jīng)常利用數(shù)形結(jié)合的思想方法求解,而分式K=y₂-y₁x₂-x1是實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的過(guò)渡橋梁,可見(jiàn)這一分式在這類問(wèn)題中所起的作用。

收稿日期:2009-09-23