李　娜

有成語“深入淺出”,指講話或文章的內(nèi)容深刻,語言文字卻淺顯易懂。欲做好課堂教學(xué)這篇“文章”,又何嘗離得開深入與淺出呢?特別是數(shù)學(xué)教學(xué),由于內(nèi)容及其思想的深刻性是學(xué)科的重要特征,因此深入與淺出都成了值得研究的問題。筆者愿和讀者就數(shù)學(xué)教學(xué)中的“深入”與“淺出”問題作一些探討。

一、深入概念核心

就內(nèi)容來講,一個(gè)概念的核心就是此概念的內(nèi)涵本質(zhì)。但教學(xué)過程中學(xué)生(甚至還有教師)對概念的內(nèi)涵本質(zhì)常常缺乏理解,認(rèn)識(shí)不夠深刻。其實(shí),認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)有一個(gè)層次的深入問題,如同手剝一支春筍,筍殼層層剝來,春筍性質(zhì)不變但本質(zhì)逐步顯現(xiàn)。

1.對曲線與方程概念本質(zhì)的第一層認(rèn)識(shí)。曲線與方程的概念分解為“曲線的方程”和“方程的曲線”兩個(gè)概念,本質(zhì)是(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解(純粹性);(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)(完備性)。這是教材直接呈現(xiàn)的內(nèi)容,對教師來說沒什么問題,對學(xué)生來說只是有點(diǎn)“顛來倒去”的復(fù)雜但也并不難于理解。

2.對曲線與方程概念本質(zhì)的第二層認(rèn)識(shí)。追問一個(gè)問題:“曲線的方程”和“方程的曲線”實(shí)際上是在講一個(gè)什么問題?郭老師這樣概括:實(shí)際上是兩個(gè)點(diǎn)集的等價(jià)。一個(gè)是曲線上所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合,另一個(gè)是方程所有的解所對應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的集合。如果這兩個(gè)集合相等,那么方程是曲線的方程,曲線是方程的曲線.筆者贊同這樣的分析。這是在給定一個(gè)方程和一個(gè)曲線的前提下問題的本質(zhì)和關(guān)鍵所在,因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)本內(nèi)容之前,對這兩個(gè)集合的區(qū)別是缺乏重視的,而這一點(diǎn)恰恰是本課的主要教學(xué)目標(biāo)之一。

3.對曲線與方程概念本質(zhì)的第三層認(rèn)識(shí)。再追問一個(gè)問題:“曲線的方程”和“方程的曲線”是哪來的?兩位老師作了回答:因?yàn)橛辛俗鴺?biāo)系。什么是坐標(biāo)系?“直角坐標(biāo)平面是構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系的物質(zhì)基礎(chǔ)……而平面直角坐標(biāo)系則是點(diǎn)P與其坐標(biāo)之間一套對應(yīng)法則,也就是從點(diǎn)到數(shù),從數(shù)到點(diǎn)的相互轉(zhuǎn)化的映射?！?

對于同一個(gè)數(shù)學(xué)概念,人們可以從不同的角度,以不同的深度去剖析它的本質(zhì)。學(xué)習(xí)一個(gè)概念取決于對它的理解,而理解的含義就應(yīng)該是對概念本質(zhì)的把握。

二、觸及思想方法

所謂數(shù)學(xué)思想方法,是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括, 它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。數(shù)學(xué)教學(xué)的深入,不僅表現(xiàn)在對內(nèi)容本身的深入理解上,領(lǐng)悟內(nèi)容所帶來的數(shù)學(xué)思想方法是另一種方式的深入。在曲線與方程的概念中,思想方法極其豐富。

1.等價(jià)思想。等價(jià)思想直接附著在“曲線的方程”和“方程的曲線”這兩個(gè)孿生概念上。一方是曲線C,另一方是方程,一個(gè)是幾何對象,另一個(gè)是代數(shù)對象,在一定的條件下它們是等價(jià)的。有了曲線與方程的概念,以后可以“指著曲線說方程”、“指著方程說曲線”,譬如,我們說拋物線。

2.坐標(biāo)法思想。為什么一個(gè)幾何對象能與一個(gè)代數(shù)對象等價(jià)呢?這就是坐標(biāo)系的功勞,是坐標(biāo)法思想的直接產(chǎn)物。所謂坐標(biāo)法思想,就是通過以坐標(biāo)為對象的代數(shù)研究來獲得幾何結(jié)論的思想與方法。這也是一種數(shù)形轉(zhuǎn)化思想,是解析幾何的核心思想。

3.軌跡思想。簡單地說,將幾何圖形看成動(dòng)點(diǎn)軌跡的思想就是軌跡思想。從點(diǎn)與坐標(biāo)的對應(yīng)到曲線與方程的對應(yīng),其中軌跡思想是使其必然的關(guān)鍵因素。我們說平面是二維的,在坐標(biāo)平面內(nèi)的自由動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是整個(gè)平面。

三、教學(xué)活動(dòng)低起點(diǎn)

有效教學(xué)必須基于學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ),它包括知識(shí)、能力、認(rèn)知等諸多因素水平。有效的教學(xué)活動(dòng)需要“低起點(diǎn)”。以設(shè)計(jì)曲線與方程概念的教學(xué)活動(dòng)為例,教材直接用“平分第一、三象限的直線的方程”和“以為圓心、r為半徑的圓的方程”的分析來組織教學(xué)活動(dòng),內(nèi)容是學(xué)生所熟悉的,問題是具有代表性的,手段是簡單的,指向是直接的。

在本次課題會(huì)上,兩位開課教師在該問題上都采用了教材的內(nèi)容,但是活動(dòng)設(shè)計(jì)卻值得商榷。其中一位老師的做法是引領(lǐng)學(xué)生回顧教材“直線與方程”和“圓與方程”兩章的“章頭語”,另一位老師的做法是用“位置的確定”生活實(shí)例。兩位老師都想從“坐標(biāo)法思想”入手,然而教學(xué)活動(dòng)涉及的內(nèi)容離課題太遠(yuǎn)、思想性太強(qiáng),因而活動(dòng)的起點(diǎn)太高,致使學(xué)生“不知教師想干什么” 。

教學(xué)活動(dòng)低起點(diǎn),要求教師在組織教學(xué)活動(dòng)時(shí),選擇的材料要簡潔,呈現(xiàn)的問題要明了,要能使學(xué)生都“動(dòng)起來”。低起點(diǎn)的核心是思維起點(diǎn)比較低,要使大多數(shù)學(xué)生能開始有效的思考。起點(diǎn)低不等于要求低,因?yàn)樗季S有一個(gè)發(fā)生與發(fā)展的過程,高要求是逐步實(shí)現(xiàn)的。這也是教學(xué)之“淺出”的藝術(shù)。

四、思想滲透多落點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)需要重視數(shù)學(xué)思想方法,這是大家比較一致的觀點(diǎn)。但是,在如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的問題上,人們似乎有不同的認(rèn)識(shí)。有的教師在課堂內(nèi)直接與學(xué)生大談特談數(shù)學(xué)思想方法,也有其他的教師在評價(jià)這樣的課堂時(shí)說“該教師十分重視數(shù)學(xué)思想方法”的教學(xué)。筆者不贊同這樣的做法和說法。

筆者以為,思想方法的教學(xué)不同于一般知識(shí)的教學(xué),思想方法更多地具有“默會(huì)知識(shí)”屬性,不在于教師如何說教而在于學(xué)生怎樣領(lǐng)悟。教師可以偶爾與學(xué)生談一點(diǎn)思想方法范疇的感悟,但更多地需要教師去創(chuàng)設(shè)能讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)思想方法的問題情境。也就是說,數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)更多地依賴于“滲透”,而不是“頭腦風(fēng)暴”。

曲線與方程的概念中蘊(yùn)涵了豐富的而且是深刻的數(shù)學(xué)思想方法。這些思想方法的教學(xué)需要分散滲透到各個(gè)具體內(nèi)容、具體教學(xué)過程中去。滲透是一個(gè)逐步達(dá)成的過程,絕對不是這一節(jié)課就要全部完成的目標(biāo)。課堂教學(xué)中的“深入”與“淺出”是一對矛盾,處理好這對矛盾是教學(xué)的藝術(shù)。

(河北省石家莊市井陘礦區(qū)外國語學(xué)校)