劉曉龍

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)離不開例題的教學(xué)，但在教學(xué)實(shí)踐中，就題論題的現(xiàn)象仍普遍存在，筆者以一個例題教學(xué)案例的改進(jìn)過程為切入點(diǎn)，提出數(shù)學(xué)例題教學(xué)中值得關(guān)注的幾個問題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 例題 教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常通過例題教學(xué)讓學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用學(xué)過的知識解決問題，以提高學(xué)生的解題能力。但在教學(xué)實(shí)踐中，很多教師有這樣的感受，講課的時候?qū)W生聽得明明白白，一旦學(xué)生獨(dú)立做題又不知從何處入手。不久前學(xué)校開展教研活動，研討了一節(jié)例題教學(xué)課，感覺有益于解決上述困惑，于是把所見所為所思記錄下來，以供參考。

一、原例題教學(xué)過程簡述

本節(jié)課是教學(xué)y=ax2型二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)后，教師自己選編的內(nèi)容，主要是關(guān)于拋物線型實(shí)物的應(yīng)用題，屬于近年來各級各類考試的熱點(diǎn)題型。首先，教師以提問的形式帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了y=ax2型二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，隨后出示例題：

有一拋物線型拱橋，橋頂O離水面AB高4米時，水面寬度AB為10米，如上圖建立了直角坐標(biāo)系。

（1）若水面上漲了0.76米，此時水面CD寬度為多少米？

（2）水面上漲后，有一竹排運(yùn)送一只貨箱欲從橋下經(jīng)過，已知貨箱長8米，寬4米，高2.5米（竹排與水面持平），問該貨箱能否順利通過該橋？

第（1）題是通過教師提出的三個問題解決的：

問題1：根據(jù)題意，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)是什么？

學(xué)生回答：點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-5，-4），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（5，-4）。

問題2：怎樣求出拱橋所在拋物線的關(guān)系式？

學(xué)生較容易地用待定系數(shù)法求得y=-4/25x²。

問題3：怎樣運(yùn)用拋物線的關(guān)系式求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)？

學(xué)生求出兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-4.5，-3.24），（4.5，-3.24），進(jìn)而求得CD=9米。

第（2）題則由教師在黑板上畫圖演示，說明當(dāng)貨箱恰好在拱橋下面正中間時，貨箱寬被y軸平分，過水面CD上距y軸2米處的點(diǎn)作CD的垂線，只需求出這條垂線與拋物線的交點(diǎn)到水面CD的距離，再與2.5米相比較即可。講解思路清楚，學(xué)生接受也無障礙。例題講完后，完整的解題過程便呈現(xiàn)在黑板上。然后又出示了一個類似的題目進(jìn)行鞏固訓(xùn)練，看到學(xué)生面露難色，教師又像例題一樣進(jìn)行了講解。

下課后，授課教師不好意思地說，學(xué)生基礎(chǔ)太差，練習(xí)題跟例題差不多，可還是有困難。于是我們利用課間進(jìn)行了研究，對內(nèi)容和過程做了一些調(diào)整，隔一節(jié)課，在另一個班再次進(jìn)行了這個例題的教學(xué)。

二、改進(jìn)后教學(xué)簡述

首先提出一個“引例”：

如圖，已知拋物線y=ax2經(jīng)過點(diǎn)A（2，2），B（-1，a），C（b，2.5），試求這三點(diǎn)到x軸和y軸的距離。解完此題后你有哪些方法值得總結(jié)？

學(xué)生比較容易解答，并且主要總結(jié)到：（1）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)時，已知一點(diǎn)坐標(biāo)即可以求出關(guān)系式；（2）由已知拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以求出縱坐標(biāo)，由縱坐標(biāo)也可以求出橫坐標(biāo)；（3）由點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離。教師予以肯定。

在此基礎(chǔ)上出示原來設(shè)計的例題，開始學(xué)生也是眉頭緊鎖，陷入沉思，但是經(jīng)過一會兒便有許多人臉上露出了笑容。第一小題比較順利地由學(xué)生說出思路，老師只是規(guī)范一下解題格式。第二小題顯然學(xué)生還有一定難度，教師引導(dǎo)：可以先畫出貨箱經(jīng)過拱橋時的示意圖，請思考貨箱能否通過，主要取決于哪些量？如何求出呢？引發(fā)了學(xué)生熱烈的討論，不久學(xué)生們自己找到了解決問題的辦法。

解題后教師又問：通過這個問題，我們又應(yīng)該總結(jié)哪些方法呢？待學(xué)生紛紛回答后教師作結(jié)：有關(guān)拋物線型實(shí)物的實(shí)際問題，要善于把已知條件中的距離轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系中有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，把求距離的問題也轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解。

接下來仍然是練習(xí)鞏固，所選習(xí)題不變，只是允許同座間互相交流，同學(xué)中出現(xiàn)了小聲議論的現(xiàn)象，教師對有困難的同學(xué)個別指導(dǎo)。

三、幾點(diǎn)思考

這節(jié)課下來，這位老師比較滿意，但還有些疑惑，為什么內(nèi)容大體相當(dāng)，而效果迥異呢？我們一起進(jìn)行了總結(jié)與反思。

1. 例題教學(xué)要找到學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，搭好教學(xué)“腳手架”。

“最近發(fā)展區(qū)理論”認(rèn)為學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，兩者之間的差距就是最近發(fā)展區(qū)。改進(jìn)前的教學(xué)設(shè)計就是這個“差距”過大，使學(xué)生面對問題無從下手，只好老師親自出馬；改進(jìn)后所設(shè)計的“引例”與學(xué)生的原有水平之間、例題與“引例”之間的差距更切合學(xué)生的實(shí)際，跳一跳能夠得著，起到了教學(xué)“腳手架”的作用。奧蘇伯爾有句名言：“如果我不得不把全部教育心理學(xué)還原為一條原理的話，我將會說，影響學(xué)習(xí)唯一的最重要的因素是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么?！辈⑶抑赋?，要“根據(jù)學(xué)生原有知識進(jìn)行教學(xué)”。他倡導(dǎo)在學(xué)習(xí)新知識之前，應(yīng)首先為學(xué)生設(shè)計一個能把握所授知識的本質(zhì)，對新知識具有引導(dǎo)性、起同化作用的知識結(jié)構(gòu)——組織者，并將其內(nèi)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。本課對“引例”的解答與總結(jié)，便是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中新知識的固著點(diǎn)，為完成例題，實(shí)現(xiàn)知識的遷移做好了準(zhǔn)備。

2. 例題教學(xué)的過程應(yīng)該成為學(xué)生知識建構(gòu)的過程。

建構(gòu)主義教學(xué)觀認(rèn)為，教學(xué)的最核心的任務(wù)不是如何把現(xiàn)成的知識傳授給學(xué)生，而是如何激發(fā)出學(xué)生原有的相關(guān)知識經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)知識經(jīng)驗(yàn)的“生長”，促進(jìn)學(xué)生的知識建構(gòu)活動。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也指出，有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。本節(jié)原設(shè)計雖然提出了幾個問題，看似學(xué)生解答了題目，實(shí)則講授與灌輸，學(xué)生對為什么要解答這幾個問題缺乏理性思考，也難怪學(xué)生練習(xí)時不知所措。改進(jìn)后通過合作、探究得出結(jié)論，增加了學(xué)生的思維含量，使其經(jīng)歷了思維過程，由機(jī)械學(xué)習(xí)變成了理解學(xué)習(xí)，即有意義的學(xué)習(xí)。

3. 例題教學(xué)要善于歸納思想方法。

思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，從例題中提煉思想方法是例題教學(xué)的一項(xiàng)重要目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)要達(dá)到的一種境界。抽象、概括乃至創(chuàng)新能力都可從中得到培養(yǎng)。 但教學(xué)中就題論題現(xiàn)象仍很普遍，在這種情況下學(xué)生也不得不去記憶與模仿，例題教學(xué)很難達(dá)到舉一反三、觸類旁通的作用。本課改進(jìn)后注重了方法的歸納，學(xué)生也感到數(shù)學(xué)方法是學(xué)得到、用得上的，使單純的解題過程升華為方法的習(xí)得。

4. 數(shù)學(xué)教師要善于進(jìn)行自我反思。

為了不斷改進(jìn)教學(xué)方法，教師在課后進(jìn)行自我反思是非常必要的，要經(jīng)?；剡^頭來審視教學(xué)過程是否符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，把握住問題的關(guān)鍵加以解決。在本課研究過程中教師開始把問題歸結(jié)為學(xué)生基礎(chǔ)差，就沒有抓住矛盾的主要方面，這種傾向在教學(xué)實(shí)踐中也不是個別的，如果我們數(shù)學(xué)教師真正認(rèn)識到教學(xué)中的問題，首先應(yīng)從反省自己開始，那么方法的改進(jìn)、質(zhì)量的提高就為時不遠(yuǎn)了。