朱宇輝

[編者按]

蘇教版國標本小學數(shù)學教材根據(jù)《數(shù)學課程標準》的要求，在內(nèi)容編排上與以往教材有著很大的不同，其中最典型的就是比較合理地編排了各冊的教學內(nèi)容，一些教學內(nèi)容由原來的整體整塊呈現(xiàn)變?yōu)榉帜昙墶⒎謨猿尸F(xiàn)，體現(xiàn)了知識學習螺旋上升的要求，更加適合學生在不同認知水平上的學習。一些習慣于以往教材教學的老師隨意提前教學后續(xù)內(nèi)容，輕易拔高教學目標和要求，對學生的學習產(chǎn)生了負面的影響。怎樣在整體上把握這些教學內(nèi)容的前后聯(lián)系?怎樣根據(jù)不同年段學生的認知特點和認知水平進行相應內(nèi)容的教學?這些問題的解決有助于教師更好地教、學生更好地學。為此，我們從蘇教版國標本小學數(shù)學教材中選擇了5個較為典型的“知識塊”——整數(shù)乘除、分數(shù)、可能性、式與方程和平面圖形的面積，通過教材各冊相應內(nèi)容分析和教學建議，整體把握教材，弄清知識的前后聯(lián)系；通過單冊教材典型案例的設計與分析，探討如何具體把握教材內(nèi)容與學生認知水平之間的關系并據(jù)此教學；通過對該內(nèi)容典型習題的分析，探討如何準確地了解和刻畫學生的學習水平和能力。最后，我們還邀請了蘇教版國標本小學數(shù)學教材主編王林老師，對如何深入把握和理解教材，如何準確把握教材中上述內(nèi)容的特點和教學中應注意的問題，給老師們提出了指導意見和建議。希望這組內(nèi)容對老師們理解和實踐教材有啟發(fā)和幫助。

一、內(nèi)容分析

蘇教版小學數(shù)學教材中有關整數(shù)乘除的內(nèi)容主要安排在二至四年級，縱向看，整數(shù)乘法按照如下順序編排：[二年級上冊]乘法的意義和表內(nèi)乘法→[二年級下冊]兩位數(shù)乘一位數(shù)→[三年級上冊]三位數(shù)乘一位數(shù)→[三年級下冊]兩位數(shù)乘兩位數(shù)→[四年級上冊]100以內(nèi)的口算乘法→[四年級下冊]三位數(shù)乘兩位數(shù)。

整數(shù)除法按照下面的順序編排：[二年級上冊]除法的意義和表內(nèi)除法→[二年級下冊]有余數(shù)除法→[三年級上冊]兩位數(shù)除以一位數(shù)(商是兩位數(shù))→[三年級下冊]三位數(shù)除以一位數(shù)→[四年級上冊]三位數(shù)除以兩位數(shù)。

橫向看，在每一冊的教材安排中基本都涉及了口算、筆算、估算和解決問題這幾方面，并且整數(shù)乘除的內(nèi)容在教材中遵循了循序漸進、螺旋上升的原則。

1、整數(shù)乘除法教學中的情境設計。

小學生對算術運算概念的理解常常建立在情境的基礎上，為了在情境與運算概念中建立聯(lián)系，就要利用情境，也就是為學生提供豐富的表征。這些表征包括：以經(jīng)驗為基礎的活動；可操作的活動；圖畫和圖表：口頭語言；書面語言。教材中對情境的設計與處理較好地體現(xiàn)了多樣化的原則。

以乘除法的意義教學為例。乘法意義的教學為學生提供了一幅生動活潑的圖畫(見下圖1)，再提出問題：兔一共有多少只?雞呢?這種類型的圖畫是學生在日常生活中常見到的，看這樣的圖學生很有經(jīng)驗，這就是以經(jīng)驗為基礎的活動。

除法意義的教學創(chuàng)設了一個開放的活動情境——分6個桃(見圖2)，在教學之前學生都有分東西的經(jīng)歷，學生可以按照自己的想法思考并動手操作分這6個桃，這就為學生創(chuàng)造了一個具有操作性的活動情境。

再看表內(nèi)乘除法的計算教學，也為學生提供了豐富的表征。如2～4乘法口訣的教學(見圖3)，在學生通過情境圖掌握2、3的乘法口訣后，列表編寫4的乘法口訣；又如表內(nèi)除法的教學中(見圖4)，讓學生利用10個小朋友打球，每2人一組的情境圖，理解除法算式10÷2。這些都是以圖畫或圖表的方式幫助學生建立表征。

教材中關于乘除法意義的教學都是創(chuàng)設了不同的情境，聯(lián)系學生的生活，激活學生的經(jīng)驗，把抽象的概念教學建立在實景、實物表象的基礎上。學生有了多樣化的經(jīng)驗后，有助于他們對抽象數(shù)學知識的理解并建構數(shù)學知識的意義。

2、整數(shù)乘除法教學中的數(shù)學思想。

小學生學會了整數(shù)乘除法，并用它來解決問題，在這樣的學習過程中，也形成了他們思考問題的策略，并從中感受各種數(shù)學思想。教材在數(shù)學思想方面也作了許多孕伏和滲透。

(1)滲透函數(shù)的思想。

函數(shù)的思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數(shù)量關系。小學生對函數(shù)的理解不是符號化的理解，而是在現(xiàn)實生活中的體驗。小學生對于函數(shù)的體驗是在日常的數(shù)學生活實踐的基礎上獲得的，它和問題情境緊密相關。例如三年級上冊教材中教學三位數(shù)乘一位數(shù)(乘數(shù)中間或末尾有0的乘法)的練習部分設計了一道關于乘法填表練習(見圖5)，讓學生先填表，然后通過觀察體會匾的個數(shù)和蠶繭的個數(shù)之間的依存關系和變化規(guī)律。

這就是通過表格的問題情境，結合不同乘除教學內(nèi)容進行的一種函數(shù)思想滲透。

(2)滲透比例的關系。

比例是一個總體中各個部分的數(shù)量占總體數(shù)量的比重，用于反映總體的構成或者結構，比例也是一種函數(shù)思想。小學生對比例關系的體驗也是需要在現(xiàn)實問題情境中進行的。雖然教材在六年級有單獨教學比和比例的單元，但其實在之前就進行了逐步滲透。例如四年級上冊的除法練習中設計了一道填表的題(見圖6)，讓學生先填表再說說發(fā)現(xiàn)。學生不僅會發(fā)現(xiàn)被除數(shù)和除數(shù)之間的倍數(shù)關系，也可以通過觀察被除數(shù)自身的變化或除數(shù)自身的變化，發(fā)現(xiàn)其中的倍數(shù)關系。這就是結合倍的知識在滲透比例的關系。

(3)滲透“不變量”。

三年級上冊乘法單元中涉及“單價、數(shù)量、總價三量的關系”問題，當總價和數(shù)量這兩個變量發(fā)生變化時，單價保持不變，單價反映了總價與數(shù)量之間的關系，像這樣的量就是“不變量”。例如四年級上冊除法單元中三位數(shù)除以整十數(shù)練習部分的一題(見圖7)，不變量是長方形土地面積，學生也能從面積不變中體會長和寬這兩個變量的變化規(guī)律。

3、整數(shù)乘除法教學中的數(shù)學能力。

(1)估算能力。

估算是重要的數(shù)學技能，估算在一定程度上反映出學生的數(shù)學能力，對學生的數(shù)學思維發(fā)展具有促進作用。蘇教版教材中，估算教學與口算、筆算的教學相結合，逐步滲透進行。整數(shù)乘除的估算第一次出現(xiàn)在二年級下冊連續(xù)進位乘的前一個練習中(見圖8)，第一次在例題教學中出現(xiàn)是在連續(xù)進位乘的筆算教學中(見圖9)。這兩次估算教學都體現(xiàn)了估算的同一種策略——簡約，把兩位數(shù)看成一個整十數(shù)計算比較簡單。

(2)口算能力。

口算能力是指不用紙筆，直接在腦中進行計算的能力，在計算能力中占有重要的位置。是筆算與估算的基礎?？谒愠３玫焦浪愕牟呗?，但是口算是為了得到一個準確的答案，筆算能力是在口算能力的基礎上發(fā)展起來的。教材中口算部分的編排與估算類似，都采用了逐步滲透的方式。小學生口算內(nèi)容的核心是基本口算，在整數(shù)乘除內(nèi)容中主要是指乘法口訣。

除了表內(nèi)乘法和表內(nèi)除法的教學，教材中其他整數(shù)乘除的口算教學基本上是滲透了一種策略，我們可以把它理解為一種“分解因數(shù)”的策略。以各冊教材中的一道乘法口算練習為例(見圖10)，這些練習都是把其中的一個乘數(shù)分解成一個數(shù)乘10或乘100，使計算簡便。

二、教學建議

1、乘除法概念的正確建構。

乘除法是繼加減法后再學習的一種運算，學習乘除法時，學生在理解乘除法的過程中，數(shù)學思維會發(fā)生重要的變化。

(1)乘法概念的建構。

求幾個相同加數(shù)的和就是乘法，這句話可以理解為加法在某種程度上是乘法的基礎，解決乘法運算的方法之一就是重復做加法。但如果將乘法僅僅看成是復雜的加法，顯然是不對的，乘法需要小學生更多的數(shù)學理解。例如，教材中教學2的乘法口訣時所呈現(xiàn)的是一個生活情境(見圖11)：1個蹺蹺板可以坐2人，2個蹺蹺板可以坐4人。其實這是一個“一對多”的情境，1個蹺蹺板對應2個人(1與2對應)，2個蹺蹺板就是2乘2得4。它并不是簡單的幾個相同數(shù)相加的問題，而是兩個集合之間的一與多相對應的恒定關系。這種方法與加法思維方式具有本質區(qū)別。

(2)除法概念的建構。

除法概念的建構是基于平均分的活動的，平均分的活動雖然也和加減法一樣，涉及總體與部分的關系，但是也有很大的不同。在加減法中，整體是部分之和，但每一部分無需相等。如二上認識除法的例題教學中(見圖12)，第一種分法就是基于加減法的理解，第二種和第三種分法就要考慮3個因素：總個數(shù)、平均分和每份同樣多。所以，平均分是一種不同于加減法的新情境。

2、整數(shù)乘除法教學需要一定的記憶。

口算是筆算的基礎，能熟練口算，特別是基本口算，對筆算具有重要作用。這里的基本口算主要指乘法口訣，這也是口算表內(nèi)除法的基礎。張奠宙說：“沒有記憶就無法理解，理解是記憶的綜合，數(shù)學雙基強調(diào)必要的記憶。”乘法口訣的教學需要記憶，課程標準也要求在第一學段結束時，口算要達到每分鐘8-10題。因此，在教學時可以從以下幾方面入手：

(1)利用乘加、乘減教學，幫助記憶乘法口訣。

教材中乘加、乘減教學的主要目的并不是為了教學運算順序，而是讓學生進一步理解乘法的意義，記憶乘法口訣。例如乘加乘減課例中的一道練習題(見圖13)，就是用意明顯的特別設計。其中3×2+2可以理解為3個2加1個2是4個2得8，滲透的是相鄰乘法口訣之間的聯(lián)系，這有助于學生有意義地記憶乘法口訣。

(2)利用多樣化的活動練習，幫助記憶乘法口訣。

小學生解決基本乘除口算題的策略中有一種稱為“直接提取”，使用這種策略時，這些計算已經(jīng)在學生頭腦中有一定的答案，他們所要做的是從長期記憶中提取出來。有研究表明?？谒闶炀毜膶W生和不熟練的學生相比，前者更偏好使用“直接提取”，而后者難以做到。所以，在教學時要更加關注口算不熟練的學生。教材中采用了多種練習方式幫助學生記憶口訣，如編口訣，整理口訣，積累口訣，題組練習等。教師在教學中也可以組織學生通過不同的方式練習口算，比如獨立口算，兩人互相出題口算，三人或四人口算比賽，集體搶答等。

3、加強估算教學。

估算在生活中有著廣泛的應用，一個人在日常生活中使用估算的次數(shù)要遠遠大于精確計算。在整數(shù)乘除教學中，估算的教學與筆算的教學總是緊密結合的，教師要注重發(fā)展學生的估算意識和估算策略。小學生估算常用的策略主要有簡約、轉換和補償，但是不同的學生對同一題使用的策略常常不盡相同。例如三年級下冊兩位數(shù)乘兩位數(shù)的估算(見圖14)，學生在估算29×42時就會出現(xiàn)不同的方法，有的把29和42分別看作20和40；也有的把29和42分別看作30和50；還有的把29和42分別看作30和40。這三種方法采用的策略都是簡約，把兩位數(shù)看成整十數(shù)再算，但是使用第三種方法的學生還涉及了其他數(shù)學思維過程，可以解釋為“29接近30，42接近40，這樣估計的結果趨于精確”。前兩種方法雖然沒有第三種精確，但也是正確的。教師可以在筆算教學完成后讓學生比較一下估算與筆算的結果，逐步幫助學生優(yōu)化估算策略。

4、注重培養(yǎng)學生解決問題的能力。

解決問題與計算教學相結合是蘇教版教材的特色之一。在計算教學時穿插解決問題，又在解決問題中鞏固計算，同時滲透解決問題的策略，將為第二學段專門學習解決問題的策略打下堅實基礎。比如教材在第一學段解決問題時以圖文結合的方式呈現(xiàn)問題情境，設置“情境”就是一種策略。用人或物模擬問題情境，不僅使學生更清楚問題，還便于用語言具體敘述，易于理解。又如四年級上冊除法單元的練習題(見圖7)，如果將這題的發(fā)現(xiàn)應用到下面一題(見圖15)，這種“延伸”策略，會有利于學生對具體問題的理解和解答。

食堂買來40筐西紅柿，用去800元。

(1)平均每筐西紅柿多少元?

(2)如果每筐西紅柿的價錢降到原來的一半，用800元可以買多少筐這樣的西紅柿?