張勇赴

數(shù)學(xué)概念是一類對象空間形式或數(shù)量關(guān)系方面本質(zhì)屬性的反映,是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石,是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ),是提高解題能力的前提,是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出:“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真,努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)。數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理,更要講道理,通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動,使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念?結(jié)論逐步形成的過程,體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法,追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡,把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)”。

實(shí)際教學(xué)過程中,許多教師都存在“重解題技巧教學(xué)。輕數(shù)學(xué)概念教學(xué)”的傾向,一些教師刻意追求概念教學(xué)的“最小化”與習(xí)題教學(xué)的“最大化”,并美其名曰“大容量、快節(jié)奏”。實(shí)際上這是一種應(yīng)試教育思想指導(dǎo)下典型的舍本逐末的錯(cuò)誤做法,致使學(xué)生在沒有理解數(shù)學(xué)概念的情況下,無法形成能力,只會盲目模仿老師對某些典型題的特定解法;一旦碰到新穎的題目就束手無策。在教學(xué)實(shí)踐中,筆者深切感受到:必須加強(qiáng)概念教學(xué),唯有如此才可以夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ),提高學(xué)生的解題能力,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力,這是當(dāng)前提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的“治本”之策。以下結(jié)合實(shí)踐談?wù)劯拍罱虒W(xué)的一些具體做法與體會。

一、從具體而直觀的實(shí)例中認(rèn)識概念

數(shù)學(xué)概念的引入,應(yīng)從實(shí)際出發(fā),創(chuàng)設(shè)情景,提出問題。通過與概念有明顯聯(lián)系、直觀性強(qiáng)的例子,學(xué)生在對具體問題的體驗(yàn)中感知概念,形成感性認(rèn)識。通過對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析,提煉出感性材料的本質(zhì)屬性。如在“異面直線”概念的教學(xué)中,教師應(yīng)先展示概念產(chǎn)生的背景,如長方體模型和圖形,當(dāng)學(xué)生找出兩條既不平行又不相交的直線時(shí),教師告訴學(xué)生像這樣的兩條直線就叫做異面直線,接著提出“什么是異面直線”的問題,讓學(xué)生相互討論,嘗試敘述,經(jīng)過反復(fù)修改補(bǔ)充后,給出簡明、準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x:“我們把不在任何一個(gè)平面上的兩條直線叫做異面直線”。在此基礎(chǔ)上,再讓學(xué)生找出教室或長方體中的異面直線,最后以平面作襯托畫出異面直線的圖形。學(xué)生經(jīng)過以上過程對異面直線的概念有了明確的認(rèn)識,同時(shí)也經(jīng)歷了概念發(fā)生發(fā)展過程的體驗(yàn)。

二、在尋找新舊概念間聯(lián)系的基礎(chǔ)上講清概念

數(shù)學(xué)概念具有很強(qiáng)的邏輯系統(tǒng)性,多數(shù)數(shù)學(xué)概念都是在原始概念的基礎(chǔ)上形成的。比如“單調(diào)遞增函數(shù)”的概念就是建立在“函數(shù)”、“區(qū)間”、“自變量”、“函數(shù)值”、“不等式”等一系列原有概念的基礎(chǔ)上,并加以邏輯推理而形成的。又如三角函數(shù)的定義,經(jīng)歷了以下三個(gè)循序漸進(jìn)、不斷深化的過程:(1)用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數(shù)的定義;(2)用點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)的定義;(3)任意角的三角函數(shù)的定義。由此概念衍生出:(1)三角函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號;(2)三角函數(shù)線;(3)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式;(4)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì);(5)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式等?？梢?三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學(xué)中可謂重中之重,是整個(gè)三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵作用。

如果學(xué)生對原始概念不清,新舊概念之間的聯(lián)系不明,對新概念的學(xué)習(xí)就會產(chǎn)生困難。另一方面,學(xué)生“獲得知識,如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)把它們聯(lián)系在一起,那將是一種多半會被遺忘的知識”。因此在教學(xué)中應(yīng)首先講清相關(guān)概念,講明概念之間的聯(lián)系,幫助學(xué)生了解概念的體系。

三、從關(guān)鍵字、詞入手理解概念

一般來說,數(shù)學(xué)中的每一概念在下定義時(shí),總是用最簡潔的語言、符號表述,給出概念后,應(yīng)多角度、多層次地剖析概念,才有利于深刻地理解概念。通常應(yīng)從以下三個(gè)方面進(jìn)行“逐字逐句”地推敲:(1)找出概念中的“中心詞”,并分層確定“限定語”。以“直線的傾斜角”的定義為例,其“中心詞”顯然是“直線與x軸所成的角”,但對此有幾種限定:一是“直線向上的方向”,“x軸正向”;二是“最小正角”;三是補(bǔ)充規(guī)定:“當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),傾斜角為0”。(2)特別注意分析概念中對范圍的約束。如“橢圓定義”中,要求“定值”必須大于“兩定點(diǎn)之間的距離”。(3)教學(xué)中要常常引導(dǎo)學(xué)生反問,如“橢圓定義”教學(xué)中,反問“若2a≤|F_{1F2|,動點(diǎn)軌跡會是什么樣的呢?”通過分析得:當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),動點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2,當(dāng)2a<|F1F2|時(shí),平面上不存在這樣的點(diǎn)。}

四、在實(shí)際應(yīng)用中鞏固概念

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是為了應(yīng)用概念解決實(shí)際問題,概念的實(shí)際應(yīng)用反過來也可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。通過數(shù)學(xué)概念的實(shí)際應(yīng)用,可以幫助學(xué)生及時(shí)鞏固對數(shù)學(xué)概念的理解,培養(yǎng)學(xué)生重視概念學(xué)習(xí)的習(xí)慣,提高學(xué)生分析理解新概念,應(yīng)用新概念解決實(shí)際問題的能力。如,當(dāng)我們學(xué)習(xí)完“向量的坐標(biāo)”這一概念之后,進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算,提出問題:已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo),試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。學(xué)生展開充分的討論,不少學(xué)生運(yùn)用平面解析幾何中學(xué)過的知識(如兩點(diǎn)間的距離公式、斜率、直線方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等),結(jié)合平行四邊形的性質(zhì),提出了各種不同的解法。有的學(xué)生應(yīng)用共線向量的概念給出了解法;還有一些學(xué)生運(yùn)用所學(xué)過向量坐標(biāo)的概念,把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)和向量D聯(lián)系起來,巧妙地解答了這一問題。學(xué)生通過對問題的思考,盡快地投入到新概念的探索中去,從而激發(fā)了學(xué)生的好奇以及探索和創(chuàng)造的欲望,使學(xué)生在參與的過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造。

除此之外,教師通過反例、錯(cuò)解等進(jìn)行辨析,也有利于學(xué)生鞏固概念。如奇(偶)函數(shù)是函數(shù)中重要的概念,課本中的定義正確簡練,但是在新授或高三復(fù)習(xí)時(shí),發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對奇(偶)函數(shù)的內(nèi)涵及判斷方法沒有完整領(lǐng)會,直接影響解題的正確率。原因之一是定義中由于沒有突出函數(shù)的定義域在研究函數(shù)的奇偶性中的作用,因而容易給人造成錯(cuò)覺,以為只要形式上有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),f(x)就是奇函數(shù)或偶函數(shù)了。這時(shí)可以舉例,判斷函數(shù)f(x)=x^{2,x∈(0,2)的奇偶性,使學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)的定義域在判斷函數(shù)奇偶性中作用。}

總之,在概念教學(xué)中,要根據(jù)課標(biāo)對概念教學(xué)的具體要求及有關(guān)概念的自身特點(diǎn),靈活選用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法,優(yōu)化教學(xué)過程,使學(xué)生深刻理解和牢固掌握相應(yīng)概念,同時(shí)也是提高教學(xué)效率,減輕師生負(fù)擔(dān),提高教學(xué)質(zhì)量的有效途徑。