劉洪剛,朱培勇

(電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都 610054)

關(guān)于賦范空間上連續(xù)自映射的回歸點(diǎn)

劉洪剛,朱培勇

(電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都 610054)

在賦范空間中討論回歸點(diǎn)的性質(zhì),主要得到了結(jié)果:(1)如果f是序列緊賦范空間X上的連續(xù)雙射，x是f的任一回歸點(diǎn),則對于任意整數(shù)N＞0都存在f的回歸點(diǎn)x0∈X使得fn(x0)=x;(2)序列緊賦范空間上連續(xù)自映射的回歸點(diǎn)集是f的強(qiáng)不變子集;(3)如果f是局部連通賦范空間X上的連續(xù)自映射,則f的每一個(gè)回歸點(diǎn)或是類周期點(diǎn)或是類周期點(diǎn)的聚點(diǎn).作為推論,在實(shí)直線段上得到了類似的結(jié)論.

回歸點(diǎn);賦范空間;類周期點(diǎn)

1 引言及其預(yù)備

周期點(diǎn)、回歸點(diǎn)是拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的兩個(gè)重要概念.文[1-4]對實(shí)線段上連續(xù)自映射的周期點(diǎn)、回歸點(diǎn)進(jìn)行了較深入細(xì)致的討論,獲得了一些很好的成果.然而,隨著當(dāng)今動(dòng)力系統(tǒng)理論向高維化與抽象化研究方向的深入發(fā)展,將區(qū)間上連續(xù)自映射的周期點(diǎn)、回歸點(diǎn)推廣到賦范空間便成為拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)值得研究的課題.本文就此問題進(jìn)行討論,利用泛函分析與點(diǎn)集拓?fù)涞募记?得到了序列緊的賦范空間和局部連通的賦范空間上連續(xù)自映射的回歸點(diǎn)的一些結(jié)果.

定義1[5]設(shè)X是實(shí)（或復(fù)）的線性空間,如果對每一個(gè)向量x∈X有一個(gè)確定的實(shí)數(shù),記為‖x‖并且下列三條被滿足:

(1)‖x‖≥0且‖x‖=0等價(jià)于x=0;

(2)‖αx‖=|α|‖x‖;

(2)‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖.

則稱‖x‖為向量x的范數(shù);稱〈X,‖·‖〉為關(guān)于范數(shù)‖·‖的賦范空間.為了簡便常將這個(gè)賦范空間簡記為X.

本文中,?表示空集,N表示自然數(shù)集;若A?X,則ˉA表示集合A在空間X中的閉包.設(shè)〈X,‖·‖1〉,〈Y,‖·‖2〉是兩個(gè)賦范空間,f是從X到Y(jié)的映射,稱f在x0∈X處連續(xù),如果?ε＞0,?δ＞0,使得對X中一切滿足‖x?x0‖1＜δ的x都有‖f(x)?f(x0)‖2＜ε;如果映射f:X→Y在點(diǎn)x0連續(xù)(?x0∈X),則稱f為空間X上一個(gè)連續(xù)自映射;設(shè)f是集合X到集合Y的一個(gè)映射,若f的逆象也具有唯一性,即對X中的任意兩個(gè)不同元素x1/=x2,它們的象y1與y2也滿足y1/=y2,則稱f為單射;如果Y中的每一個(gè)點(diǎn)都有原象(即映射f滿足f(X)=Y),則稱f為滿射,或稱f為一個(gè)從X到Y(jié)上的映射;如果映射f既是單射,又是滿射,則稱f為雙射.

類比文[1]中周期點(diǎn)、回歸點(diǎn)等概念,我們在賦范空間中引入如下相應(yīng)概念并且引入類周期點(diǎn)概念:

定義2設(shè)f是賦范空間〈X,‖·‖〉上的連續(xù)自映射,?x∈X.n∈N,記fn(x)=ffn?1(x),并且規(guī)定f0(x)=x.

(1)點(diǎn)x稱為f的一個(gè)周期點(diǎn),如果?n∈N使得fn(x)=x.f的所有周期點(diǎn)的集合記為Per(f);

(2)點(diǎn)x稱為f的一個(gè)回歸點(diǎn),如果?ε＞0.?n∈N,使得‖fn(x)?x‖＜ε.用R(f)表示f的回歸點(diǎn)集;

(3)點(diǎn)x稱為f的一個(gè)類周期點(diǎn),如果?n∈N,使得‖fn(x)‖=‖x‖,f的所有類周期點(diǎn)的集合記為SPer(f).

定義3[6]設(shè)X為拓?fù)淇臻g,A,B是X的任意子集.

(2)稱X是連通空間,如果X不能分解為兩個(gè)非空的分離集的并,即沒有X中的兩個(gè)非空的分離集A,B使得X=A∪B;

(3)稱X是局部連通空間,如果?x∈X及點(diǎn)x的任何鄰域U中都包含點(diǎn)x的一個(gè)連通的鄰域V.即X中任何點(diǎn)x的所有連通鄰域都構(gòu)成該點(diǎn)的鄰域系的基.

定義4[6]稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)序列緊空間,如果X中的每個(gè)序列都有收斂的子序列.

本文有關(guān)賦范空間〈X,‖·‖〉的相關(guān)概念和內(nèi)容都來自于文[5,7],有關(guān)拓?fù)淇臻gX的相關(guān)概念和內(nèi)容都來自于文[6].

為了證明本文的主要定理,我們首先在一般賦范空間和拓?fù)淇臻g上給出下列各引理:

引理1[6]設(shè)X,Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g,映射f:X→Y是連續(xù)映射當(dāng)且僅當(dāng)Y中任意開集V的原像f?1(V)是X中的開集.

引理2[7]賦范空間X中的范數(shù)‖·‖是關(guān)于x∈X的連續(xù)函數(shù).

引理3[6]設(shè)f為連通空間X上的一個(gè)連續(xù)實(shí)值函數(shù),任取a,b∈X,則f在X上必能取得f(a)和f(b)間的一切實(shí)數(shù)值.

2 基本引理及其證明

引理4設(shè)f是賦范空間〈X,‖·‖〉上的連續(xù)自映射,則per(f)?R(f).

證明對于?x∈per(f),?n∈N使得fn(x)=x,則對?ε＞0有‖fn(x)?x‖=‖0‖=0＜ε.所以x∈R(f).故per(f)?R(f).

?x∈G,由(a),有‖fn2n1(x)‖＜‖x‖;由(b),有‖fn2n1(x)‖＞‖x‖.這就導(dǎo)致了矛盾.因此,本引理中的結(jié)論(2)是成立的.

定義5如果G滿足引理6中的條件(2)a,則稱G是(相對于f)的伸展集;如果G滿足引理6中的條件(2)b,則稱G是(相對于f)的壓縮集.

因?yàn)閷?shí)線段是連通的,所以當(dāng)G取線段I=[0,1],范數(shù)取實(shí)數(shù)的絕對值時(shí),自然得到文[8]中結(jié)果:

推論1[8]設(shè)f是線段I上的連續(xù)自映射,J?I,如果J中沒有f的周期點(diǎn),那么

(1)對任何一個(gè)n∈N,下面兩條件中總有一個(gè)成立:

(1)a對任何x∈J有fn(x)＞x;

(1)b對任何x∈J有fn(x)＜x.

(2)下面兩條件中總有一個(gè)成立:

(2)a對任何一個(gè)n∈N和任何x∈J只要fn(x)∈J便有fn(x)＞x;

(2)b對任何一個(gè)n∈N和任何x∈J只要fn(x)∈J便有fn(x)＜x.

3 主要定理

點(diǎn).因?yàn)閄是局部連通的,所以可設(shè)G是賦范空間〈X,‖·‖〉的連通子集.由引理6知,G或是伸展集或是壓縮集,不妨設(shè)G是伸展集.

根據(jù)回歸點(diǎn)的定義可知,有一個(gè)整數(shù)n1＞0,使得fn1(x)∈G.由于G是伸展集,所以‖x‖＜‖fn1(x)‖.令

[1]張景中,熊金城.函數(shù)迭代與一維動(dòng)力系統(tǒng)[M].成都:四川教育出版社,1992.

[2]熊金城.周期點(diǎn)集為閉集的閉線段連續(xù)自映射[J].中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào),1981,4:14-23.

[3]周作領(lǐng).線段上自映射的非游蕩點(diǎn)等于周期點(diǎn)集的一個(gè)充要條件[J].科學(xué)通報(bào),1981,23:1409-1410.

[4]林強(qiáng).局部凸空間擬非擴(kuò)張集映射不動(dòng)點(diǎn)定理[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),1991,7:23-26.

[5]江澤堅(jiān),孫善利.泛函分析[M].北京:高等教育出版社,2006.

[6]Engelking R.General Topology[M].Warszawa,Polish Scientific Publishers:1997.

[7]程其襄,張奠宙.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,2006.

[8]熊金城.對于線段連續(xù)自映射f?(f|?(f))=[J].科學(xué)通報(bào),1982,9:513-514.

The reurrent points of continuous self-maps on a normed space

LIU Hong-gang,ZHU Pei-yong
(School of Applied Mathematics,University of Electronic Science and Technology,Chengdu610054,China)

This paper mainly discusses some properties of the recurrent points of a continuous mapping from a normed space X to oneself.The following results are showed:(1)Let f be a surjective and injective continuous self-mapping from a sequentially compact normed space X to oneself,if x is a recurrent point of f,then there is some recurrent points x0of such that fn(x0)=x for every positive integer n;(2)If f is a continuous mapping from sequentially compact normed space to oneself,then the set of all recurrent points is a strong invariant set of f;(3)If f be a continuous mapping from a loclly connected space to oneself,then every recurrent point x of f is an almost periodic point or an accumalation point of the set of all almost periodic points.As corollaries, similar results are obtained about a continuous self-mapping on real interval.

recurrent point,normed space,almost periodic point

O189.11

A

1008-5513(2009)03-0617-05

2008-06-05.

國家自然科學(xué)基金(10671134).

劉洪剛(1975-),碩士,研究方向：混沌理論.

2000MSC:54H20,58F08