李春華,劉二根,徐保根

(華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,江西南昌 330013)

關(guān)于左型A半群上的fuzzy同余

李春華,劉二根,徐保根

(華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,江西南昌 330013)

引入了左富足半群上fuzzy右好同余和fuzzy右消去同余的概念,給出了左富足半群上fuzzy右好同余的性質(zhì)和特征.在此基礎(chǔ)上,給出了左型A半群上fuzzy右好同余和fuzzy右消去同余的性質(zhì).得到了左型A半群上的fuzzy右好同余為fuzzy右消去同余的充要條件.

左富足半群;左型A半群;fuzzy右好同余;fuzzy右消去同余

眾所周知,半群同余是刻畫半群性質(zhì)最深刻的工具之一.自Samhan在文[1]中定義了半群上的fuzzy同余關(guān)系,對(duì)半群上的fuzzy同余進(jìn)行了研究之后,國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)各類半群上的fuzzy同余進(jìn)行了卓有成效的研究[25].作為后續(xù)研究,本文進(jìn)一步定義了左富足半群上的fuzzy右好同余和fuzzy右消去同余的概念,并給出了左富足半群上fuzzy右好同余的性質(zhì)和特征.在此基礎(chǔ)上,給出了左型A半群上fuzzy右好同余和fuzzy右消去同余的性質(zhì)[67].得到左型A半群上的fuzzy右好同余為fuzzy右消去同余的充要條件.

1 預(yù)備知識(shí)

文中一般定義及記號(hào)均參見(jiàn)文[8-9].

設(shè)X是一個(gè)非空集合,稱映射f:X→[0,1]為X的一個(gè)fuzzy子集.?x∈X,稱f(x)為x對(duì)f的隸屬度.令S為半群,稱映射μ:S×S→[0,1]為S上的fuzzy關(guān)系.

定義1.1[8]令μ,ν為半群S上的兩個(gè)fuzzy關(guān)系,作如下定義:

(1)μ?ν??x,y∈S,μ(x,y)≤ν(x,y);(2)μ?ν(a,b)=∨x∈S{μ(a,x)∧ν(x,b)}.

定義1.2[8]令μ為半群S上的fuzzy關(guān)系,則稱μ為半群S上的fuzzy等價(jià)關(guān)系,如果?a,b∈S下列各款成立:(1)μ(a,b)=1;(2)μ(a,b)=μ(b,a);(3)μ?μ?μ.

定義1.3[8]令μ為半群S上的fuzzy關(guān)系,則稱μ在S上關(guān)于乘法是相容的,如果?a,b,x∈S下列各款成立:(1)μ(ax,bx)≥μ(a,b);(2)μ(xa,xb)≥μ(a,b).

半群S上的fuzzy等價(jià)關(guān)系μ稱為S的fuzzy同余,如果μ在S上關(guān)于乘法是相容的.為方便記,用μa表示半群S上所有與a具有μ關(guān)系的fuzzy子集;用Cρ表示半群S上的二元關(guān)系ρ的特征函數(shù).不難驗(yàn)證,ρ為S上的同余等價(jià)于Cρ為S上的fuzzy同余.令μ為半群S上的fuzzy同余,按如下定義乘法“?”:μa?μb=μab(?a,b∈S),則容易驗(yàn)證S/μ={μa|a∈S}關(guān)于乘法?為半群且?e∈E(S),μe=(μe)2.

引理1.1[8]令μ為半群S上的fuzzy同余,則

(1)?a,b∈S,μa=μb?μ(a,b)=1;

(2)β={(a,b)∈S×S|μ(a,b)=1}為S上的同余.

Fountain在文[9]中定義了半群S上的等價(jià)關(guān)系R?,S的元素a,b符合關(guān)系R?當(dāng)且僅當(dāng)(?x,y∈S1)(xa=ya?xb=yb),其中S1=S∪{1}.

引理1.2[9]令S為半群,a,b,e=e2∈S,則以下各款等價(jià):

(1)aR?e;

(2)a=ea且?x,y∈S1,xa=ya?xe=ye.

一般地,R?R?,但當(dāng)a,b是正則元時(shí),aR?b當(dāng)且僅當(dāng)aRb.為方便記,用Ra?表示含a的R?類, E(S)表示S中冪等元集.記a+為E(Ra?)中元.半群S稱為左富足的,若它的所有R?類都含冪等元.左富足半群S稱為左適當(dāng)?shù)?若它的所有R?類都含唯一冪等元且它的冪等元集為半格.顯然,冪等元集為半格的左富足半群為左適當(dāng)半群.左適當(dāng)半群S稱為左型A的,若對(duì)S中任意元素a及冪等元e,恒有ae=(ae)+a.

引理1.3[10]令S為左型A半群,a,b∈S,按如下定義關(guān)系σ

則σ為S上最小的右消去同余.

2 主要結(jié)果

[1]Samhan M.Fuzzy congruences on semigroups[J].Inform.Sci.,1993,74:165-175.

[2]Xie X Y.Fuzzy Rees congruences on senigroups[J].Fuzzy Sets and Systems,1999,102:353-359.

[3]Tan Y J.Fuzzy congruences on a regular semigroup[J].Fuzzy Sets and Systems,2001,117:447-453.

[4]Zhang C.Fuzzy congruences on completely 0-simple semigroups[J].Fuzzy Math.,2002,10:27-48.

[5]李春華.適當(dāng)半群上的模糊好同余[J].南昌大學(xué)學(xué)報(bào):理科版,2007,31(1):35-37.

[6]郭小江,田振際.右消去幺半群、左正則帶和左正則型-A幺半群[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,1999,19(3):563-568.

[7]Guo X J,Xie X Y.A note on left type-A semigroups[J].Semigroup Forum,1999,58:313-316.

[8]John N,Mordeson,Davender S,et al.Fuzzy Semigroups[M].New York:Springer-Verlag,2003.

[9]Fountain J B.Abundant semigroups[J].Proc.London Math.Soc.,1982,44:103-129.

[10]Fountain J B,Gomes G M S.Proper left type A monoids revisited[J].Glasgow Math.J.,1993,35:293-306.

On fuzzy congruences of left type-A semigroups LI Chun-hua,LIU Er-gen,XU Bao-gen

(School of Basic Science Departments,East China Jiaotong University,Nanchang330013,China)

This paper introduces the notions of a fuzzy right good congruence relation and a fuzzy right cancellative congruence relation on left abundant semigroups,and gives some properties and characterizations of fuzzy right good congruences on such semigroups.On this base,some properties of fuzzy right good congruences and fuzzy right cancellative congruences on left type-A semigroups are given.Finally,sufficient and necessary conditions for a fuzzy right good congruence on a left type-A semigroup to be fuzzy right cancellative are proved.

left abundant semigroup,left type-A semigroup,fuzzy right good congruence,fuzzy right cancellative congruence

O152.7

A

1008-5513(2009)04-0681-05

2008-02-10.

國(guó)家自然科學(xué)基金(10661007),江西省自然科學(xué)基金(07GZS0715),江西省教育廳基金(GJJ08254,GJJ07134),華東交通大學(xué)科研基金(01308136).

李春華(1973-),碩士,講師,研究方向：半群代數(shù)理論.

2000MSC:20M10