萬(wàn)波,江曉濤,曹于忠

(重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400067)

一般混合似變分不等式的隱式迭代算法

萬(wàn)波,江曉濤,曹于忠

(重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400067)

對(duì)一般混合似變分不等式的若干隱式迭代算法進(jìn)行了研究;利用一般混合似變分不等式與不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題和預(yù)解方程的等價(jià)關(guān)系,采用分裂技巧和自適應(yīng)迭代技巧結(jié)合,提出了一個(gè)求解一般混合似變分不等式的新的隱式迭代算法；并證明了該算法在算子T 是g-偽單調(diào)連續(xù)的條件下收斂.

變分不等式；預(yù)解方程；自適應(yīng)；隱式迭代

1 引言

一般混合似變分不等式是經(jīng)典變分不等式的一種重要推廣,在交通運(yùn)輸,金融,經(jīng)濟(jì),最優(yōu)化,市場(chǎng)平衡等實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用[17].在眾多求解一般混合似變分不等式的算法當(dāng)中,隱式迭代算法有著相當(dāng)重要的作用.最近幾年,文[1-3]先后提出了幾種新的和改進(jìn)的求變分不等式的隱式迭代算法.2007年,文[4]在文[3]中算法3.5的基礎(chǔ)上利用投影技巧提出了一個(gè)求解一般變分不等式的非精確隱式迭代算法,該算法相對(duì)文[3]中隱式算法3.5而言,運(yùn)用了自適應(yīng)迭代技巧使得迭代參數(shù)ρ可以自動(dòng)更好的調(diào)整;但是該算法的迭代條件需要算子T單調(diào)連續(xù).2006年,文[5]利用投影技巧并結(jié)合分裂技巧,自適應(yīng)迭代技巧給出了一個(gè)求解一般變分不等式的改進(jìn)的經(jīng)典隱式迭代算法.受文[5]的啟發(fā),文中利用預(yù)解算子并結(jié)合分裂技巧,自適應(yīng)迭代技巧提出了一個(gè)新的求解一般混合似變分不等式的隱式迭代算法,該算法在推廣文[5]結(jié)論的基礎(chǔ)上;考慮到二元非線性泛函的存在,改進(jìn)了文[5]中算法最后一步的迭代方向;通過(guò)求解一個(gè)二次函數(shù)的最大值找到了更合理的迭代步長(zhǎng)并添加了松弛迭代因子使得自適應(yīng)的迭代步長(zhǎng)更完善.最后證明了該算法在算子T是g-偽單調(diào)連續(xù)的條件下收斂.眾所周知,偽單調(diào)要比單調(diào)條件弱得多,因此降低了對(duì)條件的嚴(yán)格要求.

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)H是一個(gè)實(shí)Hilbert空間,其內(nèi)積和范數(shù)分別為〈…,…〉和‖…‖,K是一個(gè)H中的非空閉凸集.T,g:H→H是非線性連續(xù)映射,?(…,…):H×H→R∪{+∞}是一個(gè)關(guān)于兩個(gè)分量都連續(xù)的二元泛函.現(xiàn)在考慮文[3]中所研究的一般混合似變分不等式問(wèn)題:求u∈H,使得

3 算法及收斂性

在該部分,本文提出一個(gè)新的算法5,并利用文[2-3,5]中的技巧討論了算法5的收斂性.引理3表明問(wèn)題(1)和(7)等價(jià).現(xiàn)在定義余函數(shù)

注1該算法和文[3]中算法3.3是不一樣的.當(dāng)?≡0時(shí),算法2、算法3就分別退變成文[5]中算法3.2和算法3.3.現(xiàn)在換一種角度來(lái)考慮算法3,可以認(rèn)為由(11)式定義的g(y)是問(wèn)題(1)的一個(gè)近似解,并且定義

[1]Noor M A.M ixed quasivariational inequalities[J].App lied Mathematics and Com putation,2003,146:553-578.

[2]Noor M A.Iterative methods for general m ixed quasivariational inequalities[J].Journal of Optim ization Theory and App lications,2003,119(1):123-136.

[3]Noor M A,Noor K I.On generalm ixed quasivariational inequalities[J].Journal of Op tim ization Theory and App lications,2004,120(3):579-599.

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[5]Noor M A.Pro jection-proxim al methods for general variational inequalities[J].J.M ath.Anal.App l., 2006,318:53-62.

[6]齊成輝,石超峰.廣義集值變分不等式的一類新的外梯度算法[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2006,22(2):194-197.

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Im plicit iterative methods for generalm ixed quasi-variational inequalities

WAN Bo,JIANG Xiao-tao,CAO Yu-zhong

(Mathem atics and Statistics College of Chongqing Technology and Business University,Chongqing 400067,China)

In this paper,we study several im p licit methods for solving general m ixed quasi-variational inequalites.It is well known that the general m ixed quasi-variational inequalities are equivalent to the fixed point prob lem s and the resolvent equations.Using this equivalence,combining sp litting methods and selfadaptive resolvent m ethod,we suggest and analyze a new im p licit iterative m ethod for solving generalm ixed quasi-variational inequalities.Thesemethods converge for g-pseudomonotone and continuous operators T.

variational inequalities,resolvent equations,self-adaptive,im p licit iterativemethods

O177.91

A

1008-5513(2009)02-0384-06

2007-04-23.

重慶市自然科學(xué)基金(CQSC(2007BA 2024)).

萬(wàn)波(1979-),講師,研究方向：變分不等式及最優(yōu)化算法.

2000M SC:49H 09,49J40