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        從一堂習(xí)題課片段談數(shù)學(xué)建模

        2009-06-05 03:59:50陳淑彬
        新媒體研究 2009年9期

        陳淑彬

        [摘要]建模能力的培養(yǎng),不只是通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的解決才能得到提高,更主要的是要培養(yǎng)一種建模意識(shí),解題模型的構(gòu)造也是一條培養(yǎng)建模方法的很好的途徑。

        [關(guān)鍵詞]建模地位 建模實(shí)踐 建模意識(shí)

        中圖分類(lèi)號(hào):G42文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1671-7597(2009)0510149-01

        一、建模地位

        數(shù)學(xué)是關(guān)于客觀(guān)世界模式和秩序的科學(xué),數(shù)、形、關(guān)系、可能性、最大值、最小值和數(shù)據(jù)處理等等,是人類(lèi)對(duì)客觀(guān)世界進(jìn)行數(shù)學(xué)把握的最基本反映。數(shù)學(xué)方法越來(lái)越多地被用于環(huán)境科學(xué)、自然資源模擬、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)學(xué),甚至還有心理學(xué)和認(rèn)知科學(xué),其中建模方法尤為突出。數(shù)學(xué)教育家漢斯·弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為:“數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí),存在于現(xiàn)實(shí),并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí),數(shù)學(xué)過(guò)程應(yīng)該是幫助學(xué)生把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程?!薄缎抡n程標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào):“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng),教師要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活環(huán)境,要重視從學(xué)生的生活實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)。”

        因此,不管從社會(huì)發(fā)展要求還是從新課標(biāo)要求來(lái)看,培養(yǎng)學(xué)生的建構(gòu)意識(shí)和建模方法成了高中數(shù)學(xué)教學(xué)中極其重要內(nèi)容之一。在新課標(biāo)理念指導(dǎo)下,同時(shí)結(jié)合自己多年的教學(xué)實(shí)踐,我認(rèn)為:培養(yǎng)建模能力,不能簡(jiǎn)單地說(shuō)是培養(yǎng)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,課堂教學(xué)中更重要的是要培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)。以下我就從一堂習(xí)題課的片段加以說(shuō)明我的觀(guān)點(diǎn)及認(rèn)識(shí)。

        二、建模實(shí)踐

        片段、用模型構(gòu)造法解計(jì)數(shù)問(wèn)題(計(jì)數(shù)原理習(xí)題課)。

        計(jì)數(shù)問(wèn)題情景多樣,一般無(wú)特定的模式和規(guī)律可循,對(duì)思維能力和分析能力要求較高,如能抓住問(wèn)題的條件和結(jié)構(gòu),利用適當(dāng)?shù)哪P蛯?wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問(wèn)題進(jìn)行求解,則能使之更方便地獲得解決,從而也能培養(yǎng)學(xué)生建模意識(shí)。

        例1:從集合{1,2,3,…,20}中任選取3個(gè)不同的數(shù),使這3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,這樣的等差數(shù)列可以有多少個(gè)?

        解:設(shè)a,b,c∈N,且a,b,c成等差數(shù)列,則a+c=2b,即a+c是偶數(shù),因此從1到20這20個(gè)數(shù)字中任選出3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則第1個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)必同為偶數(shù)或同為奇數(shù),而1到20這20個(gè)數(shù)字中有10個(gè)偶數(shù),10個(gè)奇數(shù)。當(dāng)?shù)?和第3個(gè)數(shù)選定后,中間數(shù)被唯一確定,因此,選法只有兩類(lèi):

        (1)第1和第3個(gè)數(shù)都是偶數(shù),有幾種選法;(2)第1和第3個(gè)數(shù)都是奇數(shù),有幾種選法;于是,選出3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為:2=180個(gè)。

        解后反思:此題直接求解困難較大,通過(guò)模型之間轉(zhuǎn)換,將原來(lái)求等差數(shù)列個(gè)數(shù)的問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為從10個(gè)偶數(shù)和10個(gè)奇數(shù)每次取出兩個(gè)數(shù)且同為偶數(shù)或同為奇數(shù)的排列數(shù)的模型,使問(wèn)題迎刃而解。

        例2:在一塊并排10壟的田地中,選擇2壟分別種植A,B兩種不同的作物,每種作物種植一壟,為了有利于作物生長(zhǎng),要求A,B兩種作物的間隔不小于6壟,則不同的選壟方法共有幾種(用數(shù)字作答)。

        解法1:以A,B兩種作物間隔的壟數(shù)分類(lèi),一共可以分成3類(lèi):

        (1)若A,B之間隔6壟,選壟辦法有3種;(2)若A,B之間隔7壟,選壟辦法有2種;(3)若A,B之間隔8壟,選壟辦法有種;故共有不同的選壟方法3+2+=12種。

        解法2:只需在A(yíng),B兩種作物之間插入“捆綁”成一個(gè)整體的6壟田地,就可以滿(mǎn)足題意。因此,原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為:在一塊并排4壟的田地中,選擇2壟分別種植A,B兩種作物有 種,故共有不同的選壟方法=12種。

        解后反思:解法1根據(jù)A,B兩種作物間隔的壟數(shù)進(jìn)行分類(lèi),簡(jiǎn)單明了,但注意要不重不漏。解法2把6壟田地“捆綁”起來(lái),將原有模型進(jìn)行重組,使有限制條件的問(wèn)題變?yōu)闊o(wú)限制條件的問(wèn)題,極大地方便了解題。

        三、建模認(rèn)識(shí)

        從以上片段可以看到,其實(shí)數(shù)學(xué)建模并不神秘,只要我們老師有建模意識(shí),幾乎每章節(jié)中都有很好模型素材。

        現(xiàn)代心理學(xué)的研究表明,對(duì)許多學(xué)生來(lái)說(shuō),從抽象到具體的轉(zhuǎn)化并不比具體到抽象遇到的困難少,學(xué)生解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的最常見(jiàn)的困難是不會(huì)將問(wèn)題提煉成數(shù)學(xué)問(wèn)題,即不會(huì)建模。在新課標(biāo)要求下我們?cè)鯓硬拍苡行囵B(yǎng)學(xué)生建模意識(shí)呢?我認(rèn)為我們不僅要認(rèn)識(shí)到新課標(biāo)下建模的地位和要有建模意識(shí),還應(yīng)該要認(rèn)識(shí)什么是數(shù)學(xué)建模及它有哪些基本步驟、類(lèi)型。以下是對(duì)數(shù)學(xué)建模的一些粗淺認(rèn)識(shí)。

        所謂數(shù)學(xué)建模就是通過(guò)建立某個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的方法。數(shù)學(xué)模型可以是某個(gè)圖形,也可以是某個(gè)數(shù)學(xué)公式或方程式、不等式、函數(shù)關(guān)系式等等。從這個(gè)意義上說(shuō),以上一堂課就是很好地建模實(shí)例。

        一般的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題可能較復(fù)雜,但其解題思路是大致相同的,歸納起來(lái),數(shù)學(xué)建模的一般解題步驟有:

        1.問(wèn)題分析:對(duì)所給的實(shí)際問(wèn)題,分析問(wèn)題中涉及到的對(duì)象及其內(nèi)在關(guān)系、結(jié)構(gòu)或性態(tài),鄭重分析需要解決的問(wèn)題是什么,從而明確建模目的。

        2.模型假設(shè):對(duì)問(wèn)題中涉及的對(duì)象及其結(jié)構(gòu)、性態(tài)或關(guān)系作必要的簡(jiǎn)化假設(shè),簡(jiǎn)化假設(shè)的目的是為了用盡可能簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)形式建立模型,簡(jiǎn)化假設(shè)必須基本符合實(shí)際。

        3.模型建立:根據(jù)問(wèn)題分析及模型假設(shè),用一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式來(lái)反映實(shí)際問(wèn)題中對(duì)象的性態(tài)、結(jié)構(gòu)或內(nèi)在聯(lián)系。

        4.模型求解:對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型用數(shù)學(xué)方法求出其解。

        5.把模型的數(shù)學(xué)解翻譯成實(shí)際解,根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況或各種實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)模型及模型解的合理性、適用性、可靠性進(jìn)行檢驗(yàn)。

        從建模方法的角度可以給出高中數(shù)學(xué)建模的幾種重要類(lèi)型:

        1.函數(shù)方法建模。當(dāng)實(shí)際問(wèn)題歸納為要確定某兩個(gè)量(或若干個(gè)量)之間的數(shù)量關(guān)系時(shí),可通過(guò)適當(dāng)假設(shè),建立這兩個(gè)量之間的某個(gè)函數(shù)關(guān)系。

        2.?dāng)?shù)列方法建模?,F(xiàn)實(shí)世界的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中,諸如增長(zhǎng)率、降低率、復(fù)利、分期付款等與年份有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題以及資源利用、環(huán)境保護(hù)等社會(huì)生活的熱點(diǎn)問(wèn)題常常就歸結(jié)為數(shù)列問(wèn)題。即數(shù)列模型。

        3.枚舉方法建模。許多實(shí)際問(wèn)題常常涉及到多種可能性,要求最優(yōu)解,我們可以把這些可能性一一羅列出來(lái),按照某些標(biāo)準(zhǔn)選擇較優(yōu)者,稱(chēng)之為枚舉方法建模,也稱(chēng)窮舉方法建模(如我們熟悉的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題)。

        4.圖形方法建模。很多實(shí)際問(wèn)題,如果我們能夠設(shè)法把它“翻譯”成某個(gè)圖形,那么利用圖形“語(yǔ)言”常常能直觀(guān)地得到問(wèn)題的求解方法,我們稱(chēng)之為圖形方法建模,在數(shù)學(xué)競(jìng)賽的圖論中經(jīng)常用到。

        從數(shù)學(xué)建模的定義、類(lèi)型、步驟、概念可知,其實(shí)數(shù)學(xué)建模并不神秘,有時(shí)多題一解也是一種數(shù)學(xué)建模,只有我們認(rèn)識(shí)到它的重要性,心中有數(shù)學(xué)建模意識(shí),才能有效地引領(lǐng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)建模意識(shí),從而掌握建模方法。

        在新課標(biāo)理念指導(dǎo)下,高考命題中應(yīng)用問(wèn)題的命題力度、廣度,其導(dǎo)向是十分明確的。因?yàn)橥ㄟ^(guò)數(shù)學(xué)建模過(guò)程的分析、思考過(guò)程,可以深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解;通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的分類(lèi)研究,對(duì)學(xué)生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的心理過(guò)程的分析和研究,又將推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)改革向縱深發(fā)展,從而有利于實(shí)施素質(zhì)教育。這些都是我們新課標(biāo)所提倡的。也正是我們數(shù)學(xué)教學(xué)工作者要重視與努力的。

        參考文獻(xiàn):

        [1]董方博,《高中數(shù)學(xué)和建模方法》,武漢出版社.

        [2]柯友富,《運(yùn)用雙曲線(xiàn)模型解題》,中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2004(6).

        [3]陸習(xí)曉,《用模型法解計(jì)數(shù)問(wèn)題》,中學(xué)教研,2006(9).

        [4]湯浩,《回歸生活,讓數(shù)學(xué)課堂“活”起來(lái)》,數(shù)學(xué)教育研究,2006(7).

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